用灰色模型进行数学建模

1、灰色数学建模方法在数学建模过程中经常遇到人口模型、全国物资运输、运输、生产销售等问题，其中许多信息无法确定，很难建立这样的模型。 现在的系统分析方法的量化分析方法，大部分是数学统计法，但该方法在很少的要素、线性的情况下经常被使用。 多因素的非线性很难处理。 对于这些个的不足，邓耿龙教授创立了数不清的方法，即灰色系统生成法。 建立灰色系统的学科体系与灰色系统“概念与公理体系”，提出灰色生成空间、灰色关联空间理论、灰色建模理论，建立灰色预测理论与方法体系。 (一)、灰色系统、定义：系统由任意种类的要素构成，包括若干相互关联、相互制约，作为具有某种特定功能的整体。 在系统内部存在物质流、情报流、能量

2、流。 (1)灰色系统的公理：1.信息不完整，不确定的解不是唯一的(解的非唯一性原理)2.信息是认识的依据(认识是基于原理的)3.灰色系统理论的特征是把已经占有的“最小信息”用于一盏茶(最小信息原理) 4 .新信息比旧信息的识别作用大(新信息优先原理) (2)灰色系统的记述：灰色系统用灰色参数、灰色方程式、灰色沉积基质、灰色度等综合记述，灰色数是灰色系统的基本用户针织面料。 灰度参数(灰度数) :灰度数是只知道大致的范围的数，不知道其准确值的数(只知道数学特征的一部分，不知道具体的数值的参数)。 例如，“某人身高约170cm，体重约60kg”，这里的“(约) 170(cm )”、“6.0”为灰色

3、数，分别为、 作为别的例子，“那个孩子的身高在157160cm之间”，关于身高的灰数。 标记为灰色数的白化差动奥尔特数简称为白化数。 灰色系统理论认为随机变量是灰色的，即在指定范围内变化的所有光电合十礼的总数。 例如，购买价格在100元左右的衣服时，100为事前购买价格的白化值。 灰数有离散灰数(属于离散定径套)和连续灰数(属于某区间)。、2 .灰色代数方程是包含灰色系数的代数方程。 例如，灰度的差分方程是包含灰度的微分系数或灰度的微分的方程式。 例如，虽然3 .灰度矩阵的矩阵数确定，但是当a的m*n个元素之中有n个灰度元素时，包含灰度元素的矩阵可用d来表示该矩阵的灰度程度。重要的是，选择合适

4、的方法进行发掘和利用。 灰色系统通过整理原始数据来求出其变化规律，这是关于数据求出数据的现实规律的途径，是灰度序列的生成。 所有的灰色排列通过某种生成来减弱随机性，并显示规定性。 数据生成的通常方法是累积生成器、累积减法生成器、加权累积生成器。 (1)依次累计累计生成数列的各项目(时刻)的数据的过程称为累计生成过程(AGO )。 在累积生成过程中得到的数列称为累积生成数列。 将原始数列设为将得到的新数列称为数列的1次累计生成数列。 同样，还有被称为r次累积生成数列的。 (2)对累计减法生成源数据列依次进行前后相邻的两个数据的减法运算的运算过程称为累计减法生成过程IAGO。 假设原始数据串通过被

5、称为得到的数列的一次累加减法来生成数列。 注意：从这里的符号可以明显看出，从原始数列可以得到新的数列，并且可以通过累减来恢复原始数列。 在实际操作中，基于数列，预测通过累积减法得到预测数列。 把，3 )，加权邻接值生成源的数列作为称为数列的邻接值。对后邻值、前邻值、常数将通过此操作而得到的数列称为数列权重下的邻接值数，将权重称为生成系数。 特别是在生成系数时，称为平均生成数，也称为等权相邻值生成数。 灰色系统理论的主要方法是关联度分析法的最基本的方法(在由多个要素构成的系统中，哪个要素对系统的影响大/中/小)。 )基于白化加权函数的灰色统计和灰色聚类法。 灰色预测法(GM (1，1，1 )等)

6、。 灰色决策。 灰色的优化技术(灰色的计划等)。 三、灰度预测模型GM(m，n )，灰色系统理论根据相关空间、光滑离散函数等概念对灰度导函数和灰度差分方程进行了定义，并利用离散数据串建构差分方程形式的动态模型，称之为灰度模型(GM )。 灰色预测是用灰色模型GM分析、建模、计算、预测灰色系统的过程。 由于灰色建模理论应用了数据生成手段，削弱了系统的随机性，表现了紊乱的原始序列的某个规律，规则不明确，建模后可进行残差识别，用较少的历史数据、任何随机分布也可得到高预报准确率。 因此，灰色预测在社会经济、管理决策、农业规划、气象生态等各部门和行业中得到广泛应用，(1) GM (1，1 )模型为原始数

7、列，其一阶累积生成数列生成数列，使其中定义的灰色导函数为数列的相邻值，即定义GM (1，1 ) 在(1)式中，被称为灰色的导函数，a被称为发展系数，被称为白化背景值，b被称为灰色的作用量。 将时刻表代入(1)式导入矩阵向量符号：数据向量参数向量数据矩阵、由此，GM (1，1 )模型能够将当前的问题归纳起来求出a，b的值。 线性回归，即通过最小二乘法求出的估计值注：实际通过回归预测求出的估计值通过软件计算，求出matlab等标准的普计程仪程序。 GM (1，1 )的白化型是针对GM (1，1 )的灰度差分方程(1)，如果将灰度导函数的时刻设为连续变量t，则视为时间t函数，所以对应于导函数电平，白

8、化背景值对应于导函数。 因此，与GM (1，1 )的灰度差分方程对应的白差分方程是(2)、(2) GM (1，1 )的灰度预测的顺序，1 .数据的验证和处理为了保证GM (1，1 )的建模方法的可行性，对已知的数据进行必要的验证处理原始数据列为了计算数列的等级比，如果所有的等级比都在对象区间内，则数据列能够建构GM (1，1，1 )模型，能够进行灰色的预测。 否则，对数据进行适当的转换处理。 例如，移位变换：取c，使得数据列的秩比全部在对象之外。 建立、2.GM (1，1 )模型满足上述要求，将其作为数据列来建立GM (1，1 )模型用回归预测求出a、b的估计值，并相应地得到预测值：3 .验证

9、预测值(1)残差检验：计算相对残差(2)等级比偏差值检验：对所有的东西进行计算，如果不认为达到了很高的要求，就认为所有的东西都满足了一般的要求。、四、应用实例，SARS疫病对某一经济指标的影响问题1 .问题的提出2003年的SARS疫病对我国部分行业的经济发展有一定的影响，特别是部分疫病对严重的省市相关行业的影响很明显，经济影响主要分为直接经济影响和间接影响，直接经济影响是商品零售业、观对多方面难以定量评价、目前SARS感染严重的市商品零售业、旅游业、综合服务业的影响进行定量评价分析。 SARS疫病对商品零售业、旅游业、综合服务业有多大影响，某市1997年1月至2003年1.2月商品零售金额、

10、接待旅行人数、综合服务收入的统计数据如图3360，2，2 .模型分析掌握的历史统计数据显示，在正常情况下因此，我们将预测分为两个部分：利用灰色理论建构GM (1，1，1 )模型，根据199802年各年度的合计值预测2003年年度的合计值，再根据历史数据计算每月指标值与年总和的关系，即可预测2003年的每月指标值。 假设： (1)给出的统计数据可靠、准确；(2)该市在SARS流行期间和结束后，数据的变化仅与SARS流行的影响有关，不考虑其他即时因素的影响。 建立灰度预测模型GM (1，1，1 )，根据已知数据求199802年某指标的行列计算年总和，作为检验比。 获得GM (1，1，1 )以确定一

11、次相加的数字序列(即，通过加权分数进一步相加的邻近值所获得的参数)的白化差分方程模型的参数是由灰度差分方程来确定的。 能够根据、系数求出白化差分方程的解，因此能够相应地求出2003年的年度总和值。 进而，根据历史数据，合计了第一年的指标值占年的总和的比例，2003年的每月的指标值(预测值)为，4 .模型求解(1)商品的零售金额根据从主题赋予的数据通过计算明确的全部等级比在再对象区间内根据计算，当时，残差检验的相对误差绝对值之和最小，用GM (1，1，1 )模型计算，2003年的年商品零售总额是。 计算的各个月的比例是(0. 0794，0.0807，0.0749，0.0786，0.0819，0.

12、0818，0.0845，0.0838，0.0872，0.0886， 0.0866 0.0920 )因此，2003年各月商品零售额的预测值为(153.3065155.8166.6178151.7618158.1335157.9404163.153161.8021168.3668.0700.20 ) (2)接受海外旅行者数处理商品零售金额的方法是每月的比例是(0. 04070.07330.07030.08780.0907.08480.0836.10220.10100.10410.) 2003年全年海外旅行者数的预测值为357.6331 (万) 中，每个月的预测值是(1.4.5733.1742.15325.1539.409591.4516.3222.90036 53535353535353535353535353535353535353535353535353535353535353535353535353535 .模型的结果分析根据该市的统计报告书，2003年的