机械振动课件

1、第十一章 简谐运动,图为我国返回式卫星开展 环境等 晶体研究用的搭载桶正在进行振动试验。,主 讲： 物理教研室 张孟 Email:,简谐运动,教 学 要 求 1 理解振幅、周期、相位、及谐振动的速度、加速度等概念； 2 深刻理解简谐振动的特征，建立谐振动方程并理解其意义； 3 理解简谐振动的旋转矢量法并用以分析讨论问题； 4 理解同方向、同频率的合成规律，了解相互垂直谐振动的合成；,机械振动：物体在一定位置附近所作的周期性的往复运动； 振动：描述物质运动状态的物理量，在某 一数值附近作周期性的变化。是物质的一种普遍的运动形式； 简谐运动：最简单、最基本的振动，是各种形式振动的基础；, 11-1

2、 简谐运动及其特征,一 弹簧振子及其运动分析（理想模型）,弹簧振子的振动,平衡位置（O）：物体所受合外力为零的位置。,令,二 简谐运动的特征,1 运动特征,简谐运动判据（任一满足即可）,注：量x不局限于位移，它可以是角度、电量、电压、磁感应强度-广义的简谐振动,动力学特征,运动学特征,运动方程,当很小时（小于5）,单摆,单摆,2 准弹性力,3 能量特征,系统做简谐运动时，势能和动能相互转换，系统机械能守恒：,三 常见的简谐运动,1 竖直弹簧振子,例 竖直悬挂的弹簧上挂一重物，把重物从静止位置拉下一段距离（在弹性限度内），然后放手任其运动。证明物体的运动是简谐运动。,证 以平衡位置为坐标原点，向

3、下为正方向建立坐标。,在任意位移y处,则物体的运动是简谐运动，且,在平衡位置处,讨论下列情况下系统的运动特征：,当角位移很小时（小于 5),复摆,2 复摆,一 简谐运动方程,振动量 x 随时间 t 变化的函数关系，即x=x(t),11.2 简谐运动的描述方法,1 振动量 x,任意时刻物体离开平衡位置的位移，x以平衡位置为参考点,2 振幅A 简谐运动物体离开平衡位置最大位移的绝对值 ，称做振幅（A）。,3 周期 、频率和角频率 物体作一次完全振动所经历的时间叫做振动的周期，用T表示。,单位时间内物体所作的完全振动的次数叫做频率，用表示，单位Hz,角频率（又称圆频率），单位是rad/s。,注：周期

4、和频率只和振动系统本身的物理性质有关。由振动系统固有属性所决定，因此叫 固有周期和固有频率。,所以弹簧振子的周期为,频率为,例如，心脏的跳动80次/分,周期为,动物的心跳频率(参考值,单位:Hz),昆虫翅膀振动的频率（Hz）,雌性蚊子 355415 雄性蚊子 455600 苍 蝇 330 黄 蜂 220,4 相位 初相位,相位（t+）：决定简谐运动物体的运动状态,初相位（）：决定初始时刻简谐运动物体的运动状态,5 简谐运动的三个特征量,常数A和 的确定,例 一质点沿x轴作简谐运动，平衡位置在x轴原点，已知质点完成一次全振动的时间为0.63s，求下列情况下的振动方程。 1）t=0时质点过原点，且

5、朝x轴正向运动，速率为0.6m/s。 2） t=0时质点过0.03m处，朝x轴负向运动，速率为0.6m/s。,解：,（1）,振动方程,（2）,振动方程,思 考 题: 一 何为简谐运动？下列运动是否简谐运动？ 1 完全弹性球在硬地面上的跳动； 小球沿半径很大的光滑凹球面滚动（设小球经过的弧线很短）； 二 把一单摆从其平衡位置拉开，使悬线与竖直方向成一小角度 ，然后放手任其摆动，如果从放手时开始计算时间，此角是否是振动初相？单摆的角速度是否是振动的角频率？,6 简谐运动的能量,1) 动能,2) 势能,情况同动能。,3 ) 机械能,简谐振动系统机械能守恒,由起始能量求振幅,由能量守恒推导简谐运动微分

6、方程(将能量守恒式对 t 求导),势能曲线,例 质量为 的物体，以振幅 作简谐运动，其最大加速度为 ，求：,解 （1）,（2）,（3）,由,二 振动曲线,x =Acos( t + ),1 振动量x随时间按余弦（或正弦）规律变化，任一点斜率是振动速度v,2 曲线的峰（或谷）对应的x值大小为振幅A,3 t=0时振子位置决定了振动初相位,4 振子经过一个周期完成一次振动，运动状态回到初状态，经过的时间为T, =( 2 t+ 2)-(1 t+ 1),同相和反相,当 = 2k , ( k =0,1,2,), 两振动步调相同,称同相,当 = (2k+1) , ( k =0,1,2,), 两振动步调相反 ,

7、称反相,5 振动曲线形象的展示出相位的超前或落后关系,相位差,超前和落后,若 = 2- 10, 则x2比x1较早达到正最大（小）, 称x2比x1超前 (或x1比x2落后)。,注：超前、落后以小于 的相位角来判断、说明,比较同一振动的x、v、a的相位关系,取, t+,y,t = t,t = 0,x = A cos( t + ),三 旋转矢量法（参考圆法）,振幅矢量,t + ：矢量 A 在t 时刻与x轴正方向的夹角, ：矢量 A 在 t=0 时与x 轴正方向的夹角,：矢量 A 的旋转角速度,A ：矢量A的模（长度）,T ：矢量 A 旋转一周所需的时间,Acos( t+ )：矢量 A ,t 时刻在x

8、轴上的投影,注：旋转矢量本身并不作简谐运动，我们是利用旋转矢量端点在ox轴 上的投影点的运动，来形象地展示简谐运动规律的。,旋转矢量的应用,例 求下列各振动的初相或相位。 1）t=0时， 且向x 轴正向运动； 2）t=0时，x =0， 且向x轴负向运动； 3）t时刻， 且向x轴负向运动； 4）t时刻，x = -A。,2 由初相（相位）确定初始状态（t时刻的状态），求解振动方程并作振动曲线。,1 由初始条件（t时刻的状态）确定初相（相位）,例 如图，一轻弹簧的右端连着一物体，弹簧的劲度系数 ，物体的质量 （1）把物体从平衡位置向右拉到 处停下后再释放，求简谐运动方程；,（3）如果物体在 处时速度

9、不等于零，而是具有向右的初速度 ，求其运动方程.,（2）求物体从初位置运动到第一次经过 处时的速度；,解（1）,由旋转矢量图可知,解,由旋转矢量图可知,（负号表示速度沿 轴负方向）,（2）求物体从初位置运动到第一次经过 处时的速度；,解,（3） 如果物体在 处时速度不等于零，而是具有向右的初速度 求其运动方程.,因为 ，由旋转矢量图可知,例 质量为0.01kg的物体作简谐运动，其振幅为0.08m，周期为4s，起始时刻物体在x=0.04m 处，向x 轴负方向运动，如下图所示，试求：,（1）t=1.0s 时，物体所处的位置和所受的力； （2）由起始位置运动到x = -0.04m处所需要的最短时间；

10、,代入,解（1）,代入上式得,（2）由起始位置到 处所需最短时间.,解一 设由起始位置到 处所需最短时间为,解二,起始时刻,时刻,11-3 简谐运动的合成,一 同方向同频率的简谐运动的合成,合振动 : x = x1+ x2,x =A cos( t+ ),合振动是简谐运动，频率仍为（三角函数）,1 代数法,2 旋转矢量法,结论：两个同方向同频率简谐运动合成后仍为简谐运动,讨论：两种特殊情况,(1)若两分振动同相 21= 2k (k=0,1,2,),(2)若两分振动反相 2 1= (2k+1) (k=0,1,2,),如 A1=A2 , 则 A=0,则A=A1+A2 , 两分振动相互加强,则A=|A

11、1-A2|, 两分振动相互减弱,(1)相位差,(2)相位差,(3)一般情况,合振动,不是简谐振动,当 2 1时 2- 1 2+ 1,随快变,合振动可看作振幅缓变的简谐振动,x = x1+ x2,二 同方向不同频率的简谐运动的合成 拍,分振动,x1=Acos 1 t x2=Acos 2t,拍频：单位时间内强弱变化的次数 =|2-1|,合振动忽强忽弱的现象拍,三 两个相互垂直的同频率简谐运动的合成,质点运动轨迹,(1) 或,（椭圆方程）,(1),(2),旋转矢量描绘振动合成图,四 两相互垂直不同频率的简谐运动的合成,测量振动频率和相位的方法,李 萨 如 图,11-4 阻尼振动 受迫振动,一 阻尼振

12、动,1 振幅随时间而减小的振动叫做阻尼振动。,2 阻尼振动的振动微分方程,C 阻力系数,阻力,振动系统的固有角频率,阻尼系数,3 过阻尼、欠阻尼和临界阻尼,阻尼系数较小,在阻尼不大时，可近似地看作是一种振幅逐渐减小的简谐运动,(1)欠阻尼,若阻尼很大，即 时，物体从开始的最大位移处缓慢地逼近平衡位置。,时，物体从开始的最大位移处快速地逼近平衡位置。,(2) 过阻尼,(3) 临界阻尼,二 受迫振动,系统受力,弹性力 -kx,振动方程,阻力,振动系统在周期性策动力作用下的振动,周期性策动力,令,振幅:,初相:,频率: 等于策动力的频率,三 共振,当策动力频率为某一定值时,受迫振动振幅出现极大值,振动剧烈的现象。,共振频率 :,共振振幅 :,1940 年7月1