高数 隐函数与参数方程求导

1、1,主讲教师: 王升瑞,高等数学,第十三讲,2,第四节,一、隐函数的导数,三、由参数方程确定的函数的导数,隐函数与参数方程求导,第二章,二、对数求导法,3,一、隐函数的导数,若由方程,可确定 y 是 x 的函数 ,由,表示的函数 , 称为显函数 .,例如,可确定显函数,可确定 y 是 x 的函数 ,但此隐函数不能显化 .,此函数为隐函数 .,则称,如,4,两边对 x 求导,(含导数 的方程),隐函数求导方法:,例1 设,是由方程,所确定的，,求,解：方程两边同时对 x 求导。,5,例2 求由方程,在 x = 0 处的导数,解: 方程两边对 x 求导,得,因 x = 0 时 y = 0 , 故,

2、确定的隐函数,代入(*)求解。,6,例3. 求椭圆,在点,处的切线方程.,解: 椭圆方程两边对 x 求导,故切线方程为,即,7,求其反函数的导数 .,解:,方法1,方法2,等式两边同时对 求导,例4. 设,8,由方程,确定 ,解:,方程两边对 x 求导,得,再求导, 得,当,时,故由 得,再代入 得,求,例5 设,若求,9,观察函数,方法:,先在方程两边取对数,对数求导法-,适用范围:,二、对数求导法,然后利用隐函数的求导方法求出导数.,10,例6. 求,的导数 .,解: 两边取对数 , 化为隐式,两边对 x 求导,11,1) 对幂指函数,可用对数求导法求导 :,说明:,注意:,12,例7 求

3、下列函数的导数,两边取对数,两边对 x 求导,1.,13,2.,对 x 求导,两边取对数,求,14,例8. 设,求,提示: 分别用对数微分法求,答案:,15,三、由参数方程确定的函数的导数,若变量 y 是 x 的函数，,其对应关系是通过第三个变量,t 联系在一起的，,即 x , y 是 t 的函数,这就是参数方程。,参数方程的一般形式为：,t 是参变量。,例如：,表示抛物线,表示半径为 a 的圆：,例如： 炮弹以初速度 v0 与水平方向角 t 射出，,其运动轨迹方程为：,表示。,又如：,16,若参数方程,可确定一个 y 与 x 之间的函数,可导, 且,则,时, 有,时, 有,(此时看成 x 是

4、 y 的函数 ),关系,参数方程求导,17,求在,处的切线方程。,解：点坐标：,切线方程：,例9 已知摆线方程,18, 求,解：,例10 设,方程组两边同时对 t 求导, 得,19,极坐标：,若将直角坐标系中的原点取为极点，,轴的正半轴取为极轴。,设直角坐标系中点,的坐标,极坐标系中点,的坐标,称为极坐标的极径。,称为极坐标的极角。,把,由极轴出发逆时针方向为正。,两坐标系中变量间关系：,20,在对应于,的点处的切线方程.,解: 化为参数方程,当,时对应点,斜率, 切线方程为,例11 求螺线,21,求参数方程,所表示的函数,的,二阶导数.,解: 已知,存在则,也可使用一阶导数,22,例12 设,求,?,已知,注意 :,则有,23,求,解：,例13 设,24, 且,求,已知,解:,例14,25,内容小结,1. 隐函数求导法则,直接对方程两边求导,2. 对数求导法 :,适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数,3. 参数方程求导法,极坐标方程求导,转化,求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式,26,作业,P109 1 ; 2 ; 3 ; 4 ； 5（1）