高等数学第十一章习题课(一)

1、第十一章 习题课（一）,曲线积分部分,重点掌握：1.第一类曲线积分的计算,2.第二类曲线积分的计算,3.应用,一、基本内容,区域 D 分类,单连通区域 ( 无“洞”区域 ),复连通区域 ( 有“洞”区域 ),域 D 边界L 的正向: 域的内部靠左,定理1. 设闭区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,则有,( 格林公式 ),函数,在 D 上具有连续一阶偏导数,格林公式,基本方法,曲线积分,第一类 ( 对弧长 ),第二类 ( 对坐标 ),(1) 统一积分变量,定积分,用参数方程,用直角坐标方程,用极坐标方程,(2) 确定积分上下限,第一类: 下小上大,第二类: 下始上终,“变量参数化，一小二起

2、下”,(1) 利用对称性及重心公式简化计算 ;,(2) 利用积分与路径无关的等价条件;,(3) 利用格林公式 (注意加辅助线的技巧) ;,(4) 利用斯托克斯公式求曲线积分（空间）（第七节） ;,(5) 利用两类曲线积分的联系公式 .,基本技巧,(1) 如果曲线弧L关于y轴对称,且被积函数关于x,为奇函数,则曲线积分为零.,(2) 如果曲线弧L关于y轴对称,且被积函数关于x,为偶函数,则曲线积分为,一半曲线上的积分的2倍.,(3) 如果曲线弧L关于x，y轴均对称,且被积函数,关于x为偶函数,关于y为偶函数，则曲线积分,为四分之一曲线的积分的4倍.,第一类曲线积分的对称性定理：,第二类曲线积分,

3、闭合,非闭,闭合,非闭,补充曲线或用公式,利用格林公式求解对坐标的曲线积分,（1）适宜范围：,当平面曲线L封闭时，直接利用格林公式.,但必须注意使用条件（L取正向边界，,若L不是封闭的，直接计算又困难，可以添加,、,在闭区域D上连续， D上可以不是单连通域）,辅助曲线C，使积分曲线封闭，从而利用格林公式，,但须注意将所加曲线积分减去,利用格林公式求解对坐标的曲线积分,（2）注意：,利用格林公式将曲线积分化为二重积分时，应,若L是D的负向边界，则利用格林公式前，,特别注意两种积分计算的不同：曲线积分可以将L的,表达式直接代入积分式，而二重积分却不能直接代入,边界线方程.,应先作变换,再对积分,用

4、格林公式.,带奇点的曲线积分的处理方法.,说明:,根据定理2 , 若在某区域内,则,2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:,及动点,或,则原函数为,若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;,取定点,1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;,二、典型例题,1.计算,其中L为圆周,提示: 利用极坐标 ,原式 =,说明: 若用参数方程计算,则,解,例3. 计算,其中L 是沿逆,时针方向以原点为中心,解法1 令,则,这说明积分与路径无关, 故,a 为半径的上半圆周.,解法2,它与L所围区域为D,(利用格林公式),思考:,(2) 若 L 同例2 , 如何计算下述积分:,(1) 若L 改为顺时针方向,如何计算下述积分:,则,添加辅助线段,思考题解答:,(1),(2),P247 6 .,设在右半平面 x 0 内, 力,构成力场,其中k 为常数,证明在此力场中,场力所作的功与所取的路径无关.,提示:,令,易证,P247 11.,求力,沿有向闭曲线 所作的,功, 其中 为平面 x + y + z