高等数学上册总复习(定义、公式、定理)

1、高等数学上册总复习,知识脉络,定义、定理、公式及重要结论,函 数 的定义,反函数,隐函数,反函数与直接 函数之间关系,基本初等函数,复合函数,初等函数,函 数 的性质 单值与多值 奇偶性 单调性 有界性 周期性,双曲函数与 反双曲函数,第1章 函数与极限,左右极限,两个重要 极限,求极限的常用方法,无穷小 的性质,极限存在的 充要条件,判定极限 存在的准则,无穷小的比较,极限的性质,数列极限,函 数 极 限,等价无穷小 及其性质,唯一性,两者的 关系,无穷大,左右连续,在区间a,b 上连续,连续函数 的 性 质,初等函数 的连续性,间断点定义,连 续 定 义,连续的 充要条件,连续函数的 运算

2、性质,非初等函数 的连续性,求 导 法 则,基本公式,导 数,高阶导数,高阶微分,第2章 一元函数的微分学,Rolle 定理,Lagrange 中值定理,常用的 泰勒公式,Cauchy 中值定理,Taylor 中值定理,积分法,原 函 数,选 择 u 有 效 方 法,基 本 积 分 表,第一换元法 第二换元法,直接 积分法,分部 积分法,不 定 积 分,几种特殊类型 函数的积分,第3章 一元函数的积分学,问题1: 曲边梯形的面积,问题2: 变速直线运动的路程,存在定理,广义积分,定积分,定积分 的性质,定积分的 计算法,牛顿-莱布尼茨公式,微 元 法,理 论 依 据,名称释译,所求量 的特点,

3、解 题 步 骤,定积分应用中的常用公式,常数项级数,函数项级数,一 般 项 级 数,正 项 级 数,幂级数,三角级数,收 敛 半 径 R,泰勒展开式,数或函数,函 数,数,任 意 项 级 数,傅氏展开式,傅氏级数,泰勒级数,满足狄 氏条件,第4章 无穷级数,函数的定义,函数的分类,函数,初等函数,非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数),代数函数,超越函数,有理函数,无理函数,有理整函数(多项式函数),有理分函数(分式函数),(1) 单值性与多值性:,函数的性质,(2) 函数的奇偶性:,偶函数,奇函数,(3) 函数的单调性:,(4) 函数的有界性:,设函数 f(x) 的定义域为D，如果存在一个

4、不为零的数l,使得对于任一 ,有 .且 f(x+l)=f(x)恒成立,则称f(x)为周期函数,l 称为 f(x) 的周期.（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.,(5) 函数的周期性:,反函数,隐函数,反函数与直接函数之间的关系,基本初等函数,1）幂函数,2）指数函数,3）对数函数,4）三角函数,5）反三角函数,复合函数,初等函数,由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.,双曲函数与反双曲函数,双曲函数常用公式,极限的定义,左极限,右极限,无穷小:,极限为零的变量称为无穷小.,绝对值无限增大的变量称为无穷大.,无穷大:,在同

5、一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.,无穷小与无穷大的关系,无穷小与无穷大,定理1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.,推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.,推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.,无穷小的运算性质,定理,推论1,推论2,极限的性质,求极限的常用方法,a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限.,判定极限存在的准则,(夹逼准则)

6、,(1),(2),两个重要极限,定义:,无穷小的比较,定理(等价无穷小替换定理),等价无穷小的性质,极限的唯一性,连续的定义,定理,连续的充要条件,单侧连续,间断点的定义,(1) 跳跃间断点,(2)可去间断点,间断点的分类,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.,特点:,可去型,第一类间断点,跳跃型,无穷型,振荡型,第二类间断点,第二类间断点,闭区间的连续性,连续性的运算性质,定理,定理1 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.,定理2,初等函数的连续性,定理3,定理4 基本初等函数在定义域内是连续的.,定理5 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.,定义区间是指包含在定义域内的区间

7、.,闭区间上连续函数的性质,定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.,定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.,推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.,导数的定义,定义,2.右导数:,单侧导数,1.左导数:,基本导数公式,（常数和基本初等函数的导数公式）,求导法则,(1) 函数的和、差、积、商的求导法则,(2) 反函数的求导法则,(3) 复合函数的求导法则,(4) 对数求导法,先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.,适用范围:,(5) 隐函数求导法则,用复合函数求导法则直接对方程两边求导.,(6

8、) 参变量函数的求导法则,高阶导数,记作,二阶导数的导数称为三阶导数,(二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数),微分的定义,定义,(微分的实质),导数与微分的关系,定理,微分的求法,求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.,基本初等函数的微分公式,函数和、差、积、商的微分法则,微分的基本法则,微分形式的不变性,罗尔中值定理,拉格朗日中值定理,有限增量公式.,柯西中值定理,推论,洛必达法则,定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.,关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决 的类型 .,注意：洛必达法则的使用条件.,泰勒中值定理,常用函数的麦克劳林公

9、式,导数的应用,定理,(1) 函数单调性的判定法,定义,(2) 函数的极值及其求法,定理(必要条件),定义,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.,驻点和不可导点统称为临界点.,定理(第一充分条件),定理(第二充分条件),求极值的步骤:,步骤:,1.求驻点和不可导点;,2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;,注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值),最大值、最小值问题,实际问题求最值应注意:,1)建立目标函数;,2)求

10、最值;,(4) 曲线的凹凸与拐点,定义,定理1,方法1:,方法2:,利用函数特性描绘函数图形.,第一步,第二步,函数图形的描绘,第三步,第四步,确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其他变化趋势;,第五步,弧微分 曲率 曲率圆,曲率的计算公式,定义,原函数,定义,原函数存在定理,即：连续函数一定有原函数,不定积分,(1) 定义,(2) 微分运算与求不定积分的运算是互逆的.,(3) 不定积分的性质,基本积分表,是常数),第一类换元法,直接积分法,第一类换元公式（凑微分法）,由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不定积分的方法.,常见类型:,第二类换元法,第二类换元公式,常用代换:,分部积分法,分部积

11、分公式,选择u的有效方法:“反对幂指三”,几种特殊类型函数的积分,（1）有理函数的积分,定义,两个多项式的商表示的函数称之.,真分式化为部分分式之和的待定系数法,四种类型分式的不定积分,此两积分都可积,后者有递推公式,令,（2） 三角函数有理式的积分,定义,由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为,（3） 简单无理函数的积分,讨论类型：,解决方法：,作代换去掉根号,问题的提出,实例1 （求曲边梯形的面积A）,实例2 （求变速直线运动的路程）,方法:分割、求和、取极限.,定积分的定义,定义,记为,可积的两个充分条件：,定理1,定理2,存在定理,定积分的性质,性质1,性质2,性质3

12、,性质5,推论：,（1）,（2）,性质4,性质7 (定积分中值定理),性质6,积分中值公式,牛顿莱布尼茨公式,定理1,定理2（原函数存在定理）,定理 3（微积分基本公式）,也可写成,牛顿莱布尼茨公式,定积分的计算法,换元公式,（1）换元法,（2）分部积分法,分部积分公式,记住一些结论,广义积分,(1)无穷限的广义积分,(2)无界函数的广义积分,定积分应用的常用公式,(1) 平面图形的面积,直角坐标情形,如果曲边梯形的曲边为参数方程,曲边梯形的面积,参数方程所表示的函数,极坐标情形,(2) 体积,平行截面面积为已知的立体的体积,(3) 平面曲线的弧长,弧长,A曲线弧为,弧长,B曲线弧为,C曲线弧

13、为,弧长,(4) 旋转体的侧面积,常数项级数,级数的部分和,定义,级数的收敛与发散,性质1: 级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.,性质2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.,性质3:在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.,性质4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和.,级数收敛的必要条件:,收敛级数的基本性质,常数项级数审敛法,定义,2、正项级数及其审敛法,审敛法,(1)比较审敛法,(2) 比较审敛法的极限形式,定义 正 、负项相间的级数称为交错级数.,交错级数及其审敛法,定义 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.,任意项级数及其审敛法,重要参考级数: 几何级数, P-

14、级数, 调和级数.,函数项级数,(1) 定义,(2) 收敛点与收敛域,(3) 和函数,(1) 定义,幂级数,(2) 收敛性,推论,定义: 正数R称为幂级数的收敛半径.,幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间.,a.代数运算性质:,加减法,(其中,(3)幂级数的运算,乘法,(其中,除法,b.和函数的分析运算性质:,幂级数展开式,(1) 定义,(2) 充要条件,(3) 唯一性,(3) 展开方法,a.直接法(泰勒级数法),步骤:,b.间接法,根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法,求展开式.,(4) 常见函数展开式,(1) 三角函数系,三角函数系,傅里叶级数,上的积分不等于 0 .,两个相同的函数的乘积在,(2) 傅里叶级数,定义,三角级数,其中,称为傅里叶级数.,(3)狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理),由Dirichlet充分条件可知:,注意:,(4) 正弦级数与余弦级数,周期延拓,傅里叶展开,上的傅里叶级数.,定义在-,上的函数 f(x)的傅氏级数展开法:,周期延拓 F (x),f (x) 在 0, 上展成,周期延拓 F (x),余弦级数,奇延拓,偶延拓,正弦级数,