第二节数项级数敛散性判别法

1、,第二节 数项级数敛散性判别法,一、正项级数及其敛散性,可知数列 为单调增加数列.,定理 正项级数 收敛的充分必要条件为：它的前n 项部分和所构成的数列 有上界.,对于正项级数 ，由于 ，因此,定理(比较判别法1) 设两个正项级数 与 如果满足,那么,(1) 若 收敛, 则 收敛.（大的收敛小的必收敛）,(2) 若 发散, 则 发散. (小的发散大的必发散）,证明 对于正项级数 与 ，由 则有,如果 收敛, 可知 有上界, 从而知 有上界.再由正项级数收敛的充分必要条件可知 收敛.,如果 发散, 可知 无界, 从而知 无界. 因此，级数 也发散.,推论 若正项级数 收敛，且存在N，当 时，有

2、，则正项级数 也收敛.,若正项级数 发散，且存在N，当 时， 有 ，则正项级数 也发散.,解 (1)因为,例 判定级数 的敛散性.,而级数 发散，由比较法知 发散.,因为,(2)对于正项级数,而级数 收敛，由比较法知 收敛.,例 判定级数 的敛散性.,解,故 为正项级数.,若取 ，则 为等比级数且收敛，,因此 ，由比较判别法可知 收敛.,因当x0时，有sin xx，因此,例 判定 p-级数 （其中p0为常数）的敛散性.,若0p1, 因 ，又调和级数 发散.,由比较判别法可知 发散.,解 若p =1，则级数为调和级数,发散.,若p1, 将级数加括号有,后者级数为等比级数, 公比 , 级数收敛.,

3、因此，利用比较判别法可得知, 当p1时， 收敛.,综合上述有,解 (1)因为,(2)因为,例 判定 的敛散性.,而级数 收敛，由比较法知 收敛.,而级数 收敛，由比较法知 收敛.,在使用比较判别法时，需要根据待判别级数特征，选择一个比较级数，常用的比较级数为,定理(比较判别法2) 设两个正项级数 与 且 若极限 则,（1）当 时，级数 与 敛散性相同.,（2）当 时，若级数 收敛，则级数 收敛.,（3）当 时，若级数 发散，则级数 发散.,为了使用上的方便，比较判别法可以写成下面极限形式.,例 判定级数 的敛散性.,解 所给级数的通项,由,或由,解 所给级数的通项,由于,例 判别级数 的敛散性

4、.,因为 发散，由比较法知 发散.,解 （1）由于,例 判别 的敛散性.,因为 收敛，由比较法知 收敛.,（2）由于当 时,因为 收敛，由比较法知 收敛.,说明：比值判别法比比较判别法使用方便，它主要判别一般项由指数幂或阶乘等形式构成的正项级数的敛散性.但当 时，判别法失效.,定理 (比值判别法) 若正项级数 后项与前项之比值的极限 ，则 （1）当 时，级数收敛； （2）当 时，级数发散； （3）当 时，级数可能收敛也可能发散.,解 (1),所以原级数收敛.,例 判定 的敛散性.,（2）,所以原级数收敛.,例 判定级数 敛散性.,解 原级数为正项级数，其通项为,当ae时，原级数收敛；当0ae时

5、，原级数发散.,例 判定级数 的敛散性.,解 所给级数为正项级数，其通项,由比较判别法可知 发散.,比值判别法失效, 利用比较判别法, 因级数 发散.,定理 (根值判别法) 设正项级数 且 （1）当 时，级数收敛； （2）当 时，级数发散； （3）当 时，级数可能收敛也可能发散.,说明：如果正项级数的一般项为n 次幂形式时，可以使用柯西根值判别法但当 时判别法失效.,解 (1),所以原级数发散.,（2）,所以原级数收敛.,例 判定 的敛散性.,定理 (积分判别法) 设 是 上非负单调连续函数，则正项级数 与 同时敛散.,解 因为积分,所以原级数收敛.,例 判定级数 的敛散性.,3.使用比较判别

6、法时, 先选择适宜的比较级数, 针对其敛散性, 对级数一般项相对于比较级数进行适当的放大或缩小(或考虑相比极限) , 再判别其敛散性.,判定正项级数 的敛散性应注意以下几点：,1.如果 易求，应先判定是否 ？若 则可知 发散.,2.可先考虑利用比值判别法（或根值判别法）判定其收敛性.,二、交错级数及其敛散性,交错级数 是指级数的各项是正负(或负正)相间的级数. 设 其一般式为,定理(莱布尼茨定理) 若交错级数 满足：,级数必定收敛, 且其和 , 其余项 满足,则交错,证明 考察所给级数前2 n项的部分和 ，,由 知 为单调增加数列. 又,因括号中的值皆非负, 有 故数列 有界,且,由数列极限存

7、在定理知极限 存在，设为,由于 ，再由条件 从而 ，可得,由极限性质：若 中的子列 与 都有极限，且两极限值相等，则 必有极限. 因此 收敛，且其和 .,由于,为交错级数.,由前述讨论，知其收敛，且其和,例 判定 敛散性.,由莱布尼茨定理可知该交错级数收敛.,解 所给级数为交错级数，且 因为,三、绝对收敛与条件收敛,对于任意项级数,定理 若 收敛，则 必定收敛.,如果对其每一项均取绝对值则可得正项级数 .,证,由比较判别法知，因,由性质知 收敛.,定义 如果 收敛，则称 绝对收敛. 如果,级数 收敛，而 发散，则称 条件收敛.,说明：若级数 绝对收敛, 则该级数 必定收敛. 反之，若级数 收敛，则未必绝对收敛.,例 交错级数 收敛.,但级数 发散,故 条件收敛.,例 判定级数 的收敛性.如果它收敛，是绝对收敛，还是条件收敛？,解 此级数非交错级数，,为 的p-级数，为收敛级数.,其通项,从而知 收敛，且为绝对收敛.,解 因为x为任意实数，所以级数为任意项级数,由于,例 讨论级数 的敛散性.,所以，当 时，级数绝对收敛；当 时级数发散；,当 时，级数为调和级数 ，级数发散；当 时，级数 条件收敛,例 判定级数 的收敛性(其中p0) , 如果其收敛, 是绝对收敛, 还是条件收敛?,解 记 ，则 .,当p1时， 收敛，,因此 绝对收敛.,由,知交错级数 收敛,故为条件收敛.,数项级