高考数学一轮单元复习第31讲平面向量的概念及其线性运算

1、第31讲平面向量的概念及其线性运算,第31讲 平面向量的概念及其线性运算,第31讲知识梳理,大小,方向,箭头所指的方向,长度,长度,零,(5)单位向量：长度为的向量叫做单位向量 (6)共线向量：的向量叫共线向量，共线向量也叫平行向量，规定零向量与任何向量共线 (7)相等的向量：向量叫相等的向量 2向量的加法 (1)定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法 (2)法则：三角形法则，平行四边形法则 (3)运算律：a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c).,第31讲知识梳理,1个长度单位,方向相同或相反,长度相等且方向相同的,3向量的减法 (1)定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法 (2)

2、法则：三角形法则，平行四边形法则 4实数与向量的积 (1)定义：实数与向量a的积是一个向量，记作a，规定：|a|a|，当0时，a的方向与a的方向；当0时，a的方向与a的方向；当0时，a与a平行 (2)运算律：(a)()a， ()aaa， (ab)ab. 5向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数，使得ba，即baba(a0),第31讲知识梳理,相同,相反,探究点1向量的有关概念,第31讲要点探究,例1判断下列各命题是否正确： (1)零向量没有方向； (2)若|a|b| ,则a=b； (3)单位向量都相等； (4)向量就是有向线段； (5)两相等向量若共起点，则终点也相同

3、； (6)若 ab，bc 则ac； (7)若ab，bc，则ac；,第31讲要点探究,(8)若四边形ABCD是平行四边形，则 (9)ab的充要条件是|a|b|且ab.,【思路】 正确理解向量的有关概念，以概念为判断依据，或通过举反例说明,【解答】 (1)不正确，零向量方向任意；(2)不正确，只能说明模相等，还有方向；(3)不正确，单位向量的模为1，方向很多；(4)不正确，有向线段是向量的一种表示形式；(5)正确；(6)正确，向量相等有传递性；(7)不正确，因若b0，则对不共线的向量a，c也有a0，0c；,(8)不正确，如图 (9)不正确，当ab，且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到ab；,第

4、31讲要点探究,【点评】 对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的含义入手，也可以通过举出反例来排除或否定相关命题,探究点2向量的线性运算,第31讲要点探究,例2 2009湖南卷 如图311所示，D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则(),【思路】 利用相等向量和三角形法则进行计算,第31讲要点探究,【点评】 利用中位线的性质得到相等向量和相反向量是解题关键向量的线性运算除三角形法则外还有平行四边形法则，如下题：,【解析】 A 得或 故选A.,第31讲要点探究,变式题 2009山东卷 设P是ABC所在平面内的一点， 则(),【思路】 由图形可知：P为AC中点,【解析】 B因为所以

5、点P为线段AC的中点，所以应该选B.,探究点3共线向量定理的应用,第31讲要点探究,例3设两个非零向量a与b不共线， (1)若 求证：A、B、D三点共线； (2)试确定实数k，使kab和akb共线,【思路】 (1)可证共线(2)待定系数法求k.,第31讲要点探究,【解答】 (1)证明： 共线， 又它们有公共点B， A、B、D三点共线,第31讲要点探究,(2)与共线， 存在实数，使 即 是不共线的两个非零向量， kk10，k210. k1.,【点评】 利用两向量共线证明三点共线要强调有一个公共点若是两个不共线的非零向量，则 的充要条件是0.这一结论结合待定系数法应用非常广泛,第31讲要点探究,变

6、式题若是两个不共线的非零向量，与起点 相同，则当t为何值时，三向量的终点在同一条直线上？,【思路】 设出三向量的终点，利用条件列方程组,第31讲要点探究,【解答】 设 要使A、B、C三点共线，只需(R)， 即 有 当t时，三向量终点在同一直线上,探究点4向量线性运算的综合问题,第31讲要点探究,【思路】 数形结合,例4 2009全国卷 设非零向量满足 则() A150 B120 C60 D30,【解析】 B由向量加法的平行四边形法则，知可构成菱形的两条相邻边，且起点处的对角线长等于菱形的边长，故选择B.,第31讲要点探究,【点评】 向量的线性运算主要是利用三角形法则和平行四边形法则，数形结合是

7、必不可少的在进行运算时表示向量的字母顺序特点也要熟悉，如下题：,变式题已知A、B、C、P为平面内四点，求证：A、B、C三点在一条直线上的充要条件是存在一对实数m、n，使 mn，且mn1.,【思路】 题设条件中向量表达式未涉及可以利用来转化,第31讲要点探究,【解答】 充分性，由mn1，得 A、B、C三点共线 必要性：由A、B、C三点共线知，存在常数，使得 即 取m1，n，mn1，,第31讲规律总结,1本讲内容概念较多，应加深理解，熟练掌握 (1)向量的有关概念：向量、向量的模、零向量、单位向量、平行向量(共线向量)、相等向量、相反向量 (2)向量加法与减法：三角形法则，平行四边形法则，运算律及运算性质 (3)向量数乘的定义及其运算律 (4)共线向量基本定理的内容及应用,第31讲规律总结,2数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的