信号分析与处理第4章.ppt

1、第4章 离散时间信号的分析,4.1 连续时间信号的时域抽样,4.2 离散时间信号的z域分析,4.3 离散信号的傅里叶分析,第4章 离散时间信号的分析,随着计算机技术的飞速发展，传统上以连续时间信号处理技术为原理的设备或系统逐渐被以离散时间信号处理技术为原理的设备或系统取代，而且还可以利用离散时间信号处理技术实现原来连续时间系统不可能实现的功能。 数字信号处理是用数值计算的方法对信号进行处理的一门科学。为了对连续信号进行处理，必然要先把连续时间信号转换为离散时间信号，如果需要还要把离散时间信号转换为连续时间信号。本章将对连续时间信号的时域采样和恢复问题进行较详细的讨论。 离散时间信号的分析也像连

2、续时间信号的分析一样，包括时域分析、频域分析和复频域分析。在时域内分析信号是将离散时间信号表示成单位脉冲信号的加权和。在复频域分析信号则是将离散时间信号表示为复指数信号（这里）的加权和，从而引入了Z变换。在频域内分析信号是将离散时间信号表示为虚指数信号的加权和，这就是离散信号的傅里叶分析，它包括非周期信号的离散时间傅里叶变换DTFT和周期信号的离散傅里叶级数DFS。,4.1 连续时间信号的时域抽样,用数字信号处理技术处理模拟信号需要将模拟信号经过采样和量化编码形成数字信号，再采用数字信号处理技术进行处理；处理完毕，如果需要，再转换成模拟信号，这种处理方法称为模拟信号数字处理方法。问题是：采样信

3、号的频谱能否反映原模拟信号的频谱？如何将数字信号恢复为模拟信号？本节主要从理论上回答这两个问题，介绍采样定理和采样恢复。,4.1.1 采样定理,1. 周期单位冲激串的傅里叶变换,对模拟信号进行采样可以看作一个模拟信号通过一个电子开关S。设电子开关每隔周期T合上一次，每次合上的时间为T，在电子开关输出端得到其采样信号（实际采样）。当电子开关闭合时间非常短时，就可以认为它是冲激函数（理想采样）。,实际采样时，电子开关的作用可以等效成一宽度为，周期为T的矩形脉冲串p(t)。,理想采样时， 0，电子开关的作用可以等效成单位冲激函数串p (t)。,设采样周期为T，单位冲激函数串为,p(t)是周期函数，可

4、以表示成傅立叶级数，即,称为采样角频率，单位是弧度/秒,即,上式表明，单位冲激函数串的傅里叶级数中，只包含位于,处的频率分量，每个频率分量的大小相等且都等于,故有：,为求p(t)的傅里叶变换，先考查一个傅立叶反变换：,p(t)的傅里叶变换为,p(t)的傅里叶级数pk及傅里叶变换P()如图4-1 (b)和(c)所示。单位冲激函数串的傅里叶变换是强度等于0的冲激串。,图4-1 单位冲激函数串的傅里叶级数与傅里叶变换,2、理想采样信号的频谱,理想采样如图4-2所示，p(t)为单位冲激函数串，x(t)为连续时间信号，它们的乘积xs(t)= x(t) p(t)称为x(t)的采样信号，xs(t)中各冲激强

5、度构成的序列则为x(t)在t=nT时刻的样本xa(nT) 。,图4-2 理想采样,对式（4-2）两边取傅里叶变换，根据频域卷积定理,为采样间隔，采样角频率为,上式表明采样信号的频谱是原模拟信号的频谱沿频率轴，以采样角频率s为间隔而重复，或者说采样信号的频谱是原模拟信号的频谱以s=2fs为周期，进行周期性延拓而成的。采样信号（离散信号）的频谱是的周期函数，包含原模拟信号的频谱。,图4-3 采样信号的频谱,3. 采样定理,由上左图可以看出：当 s/2M时，这种情况下采样信号的频谱完整的保留了的频谱，不会发生频谱重叠。当 s/2M时，频谱发生混叠，在这种情况下无法用滤波器无失真地恢复原信号x(t)。

6、,采样定理为： s 2 M,图4-4 频谱的混叠,为满足采样定理，采样前加预滤波电路，消除高于s/2的频率，使 xa(t)为有限带宽信号。,一般称fs/2为折叠频率(奈奎斯特（Nyquist）频率 )，只有当信号最高频率不超过该频率时，才不会产生频率混叠现象，否则超过fs /2的频谱会折叠回来形成混叠现象，因此频率混叠均产生在fs /2附近。,4.1.2 信号的内插恢复(将数字信号转换成模拟信号),当满足采样定理时，由采样信号得到模拟信号，只需经过一个低通滤波器，把周期性的重复部分滤除掉即可。理论分析如下：,理想低通滤波器的频率特性为,式中c是滤波器的通带频率，TS为采样间隔。,由时域卷积定理

7、得：,若取,，滤波器的冲激响应为,上式表明，由无穷多用x (nT)加权的内插函数移位后的和，即可重建出原模拟信号。,图4-5 由抽样信号恢复原信号,4.1.3 实际采样与理想采样的差别,理想周期单位冲激串p(t)是一个不可实现的信号，这是因为采样需要花费时间，因此实际采样是用图4-7所示的脉宽为、振幅为A的矩形脉冲串代替p(t)。,图4-7 脉冲串抽样,图4-8 矩形脉冲抽样序列及其抽样信号的频谱,若信号x(t)是带限的，最高频率为M，采样函数为周期脉冲串，且采样频率也满足S2M的条件，这种情况下X()在延拓的过程中加权系数不为恒定值，而是逐渐衰减，如图4-8所示。但这种情况下也能够无失真地恢

8、复原信号x(t)。,4.1.4 离散时间信号的表示形式,1. 直接表示法,离散时间信号是在时间上不连续的“序列”。若在时间上均匀间隔为TS，则以函数x(nTS)来表示此离散时间信号，n取整数，计算机在处理信号时，只需要清楚是第几个数据，而并不必知道准确的时间，因此，可以认为，一个离散时间信号是一组序列值的集合x(n)。为书写方便，以x(n)表示序列，不再加注外面的花括号。,x(n)可以写成一般闭合形式的表达式，例如,也可逐个列出x(n)的序列值，例如对上面的序列也可以写成,还可以用图形表示，上面序列的图形表示如图4-10所示。,图4-10 序列的图形表示,2. 单位样值序列加权和表示,单位样值

9、序列用(n)表示，定义为,序列(n)在n=0处的值为1，在其余n处的值为零，见图4-11。单位样值序列(n)在离散时间系统中的角色与连续时间系统中冲激信号(t)的类同，二者都为基本信号。,右移m点的单位样值序列（如图4-12所示）为,图4-11 单位样值序列 图4-12 右移m点的单位样值序列,序列x(n)在n=m处的样本可用单位样值序列表示为,考虑所有样点，序列x(n)可表示为,上式说明，任一序列可用不同加权并移位的样值序列表示。例如，序列,也可表示为,在连续系统中，为了避开解微分方程的困难，可以通过拉氏变换把微分方程转换为代数方程。出于同样的动机，也可以通过一种称为z变换的数学工具，把差分

10、方程与卷积和转换为代数方程。,4.2 离散时间信号的z域分析,4.2.1 z变换的定义,1. 抽样信号的拉氏变换,取样信号xS(t)可写成连续时间信号x (t)乘以冲激序列 ，即,取上式的双边拉氏变换，考虑到,得,2. 双边z变换：,上式是复变量z的函数。,3. 单边z变换：,令,，或,，则,这样拉普拉斯变换式就可以变成另一复变量z的变换式，即,当定义式中n的取值范围为 n0时,双边z变换的定义式就变成了单边z变换的定义式了。,1.z变换存在的条件,z变换定义为一无穷幂级数之和，显然只有当该幂级数收敛，即,时，其z变换才存在。上式称为绝对可和条件，它是序列x(n)的z变换存在的充分必要条件。,

11、2. z变换的收敛域,满足存在条件的所有z值组成的集合称为z变换的收敛域。简记为ROC（Region of Convergence）。,若x(n)为因果序列，则单边、双边z 变换相等，否则不等。今后在不致混淆的情况下，统称它们为z变换。,4.2.2 Z变换的收敛域,例4-1 试根据Z变换收敛域的定义指出下列序列的收敛域。,(1),(2),解：根据等比级数的求和方法，可求得序列的Z变换为,X1(z)的ROC为,，即,X2(z)的ROC为,，即,要描述一个序列的Z变换，必须包括Z变换的表达式和Z变换的收敛域ROC两个部分。 由上例可以看出，同一个z变换函数，收敛域不同，其对应的序列是不相同的。,序

12、列特性对收敛域的影响,1. 有限长序列,有限长序列的z变换，其收敛域可以直观分析。 如果有限长序列x(n)为有界序列，,可以看出因果序列的收敛域包括z=点。,n10时， 00时， 0z,因此具体有限长序列的收敛域表示如下：,2. 右边序列 右边序列是在nn1时， 序列值不全为零， 而nn1时， 序列值全为零的序列。其z变换为,(1) 第一项为有限长序列， 设n1-1， 其收敛域为0|z|。 (2) 第二项为因果序列， 其收敛域为r10，级数在以原点为中心， Rx-为收敛半径的圆外任何点都绝对收敛。 (3) 两项共同的收敛域为r1 |z|。 如果n10，收敛域为r1 |z|。 n1=0是因果序列

13、 。,根据根值法求右边序列的r1 ：,根据级数收敛的阿贝尔定理,n,3. 左边序列 左边序列是在nn2时， 序列值不全为零， 而在nn2， 序列值全为零的序列。 左边序列的z变换表示为,(1) 如果n20，第二项为有限长序列，其收敛域为0z。第一项为z的正幂，根据级数收敛的阿贝尔定理，存在一最大收敛半径r2 ，级数在|z| r2 的圆内收敛,取上述两项的共同区域，得收敛域为0|z| r2 。 (2) 如果n20, z=0点收敛， z=点不收敛， 其收敛域是在某一圆(半径为r2)的圆内， 收敛域为0|z| r2 。,根据根值法求左边序列的r2 ：,若令m= -n,变为n,4. 双边序列 一个双边

14、序列可以看作一个左边序列和一个右边序列之和， 其z变换表示为,X(z)的收敛域是第一项收敛域(左边序列，|z| r1 ， 其收敛域为r1 |z| r2 ，这是一个环状域。如果r2 r1 ， 两个收敛域没有公共区域， X(z)没有收敛域， 因此，X(z)不存在。,4.2.3 常用序列及其Z变换,1. 单位脉冲序列(n)（也称为单位采样序列）,单位脉冲序列，特点是仅在n=0时取值为1，其它均为零。它类似于模拟信号中的单位冲激函数(t) ，但不同的是(t)在t = 0时，取值无穷大，t 0时取值为零，对时间t的积分为1，即,(a)单位脉冲序列； (b)单位冲激信号,由(n)作为激励（输入）产生的响应

15、（输出），称为单位脉冲响应：,根据双边Z变换的定义式,2. 单位阶跃序列(n),(n)与(n)的关系:,(n) = (n) (n-1),图4-13 单位阶跃序列,反因果阶跃序列(-n-1)如图4-14所示。,图4-14 反因果阶跃序列,单位阶跃序列(n)如图4-13所示。,单位阶跃序列(n)的z变换：,显然不论n为何值(n0) ，都有(n)=1，因总有一个且只有一个m = n，使(n-m) =1。,令n m = k，m=0时，k=n； m = 时，k= -，得,显然不论n为何值(n0) ，都有(n)=1，因其中，只有一项(0) =1，其余项(k) =0。,对应的反因果序列的Z变换为,令m=-n

16、代入上式，得,3. 矩形序列RN (n),上式中N称为矩形序列的长度。当N=4时，R(n)的波形如图所示。,矩形序列常用来表示序号的取值范围，如,可以写成：,矩形序列可用单位阶跃序列表示，如下式：,矩形序列RN (n)的Z变换为,4. 指数序列,(1) 实指数序列,， a为实数,如果|a|1， x(n)的幅度随n的增大而增大，则称为发散序列。,单边实指数序列的Z变换为,式中0 为数字角频率，当=0时，称为虚指数序列，虚指数序列是以2为周期的周期序列:,(2) 复指数序列,M=0,1,2, ,因cos(2k)=1，sin(2k)=0, 故,k=0,1,2, ,单边虚指数序列的Z变换:,式中称为正

17、弦序列的数字角频率，单位是弧度。如果正弦序列是由模拟信号采样得到的，那么,5. 正弦序列,因此，数字角频率与模拟角频率之间的关系为,式中，T为采样周期。可以看出，数字角频率与模拟角频率之间为线性关系。正弦序列的Z变换参看例4-3。,正弦序列是周期序列的条件,需要指出的是，正弦（余弦）序列不一定是周期序列。周期序列的定义为：如果存在一个最小的正整数N，使序列x(n)=x(n+N)，-n，则序列x(n)是周期序列，周期为N。,设任意正弦序列为,显然，满足 0N=2k时，x(n) = x(n+N)，正弦序列为周期序列，N、k为正整数。因此，正弦序列是周期序列的条件是：2/0 =N/k为有理数（整数和

18、分数）。,1）当2/0为整数时，k=1，正弦序列是以2/0为周期的周期序列。例如sin(/8) n ，0 =/8，2/0 =16，该正弦序列周期为16。 2）当2/0为分数时，设2/0 =N/k，式中N、k是互为素数（意思是不可约分）的正整数，则正弦序列是以N为周期的周期序列。例如sin(3/7) n，0 = 3/7， 由于2/0= 14/3为有理数，故它的周期为N= 14。 3）当2/0是无理数（不循环的无限小数），任何整数k都不能使N为正整数，因此，此时的正弦序列不是周期序列。,1.线性,4.2.4 Z变换的性质,本节讨论z变换的性质，若无特殊说明，它既适用于单边也适用于双边z变换。,设

19、X(z)=Z x(n), Rx-|z|Rx+ Y(z)=Z y(n), Ry- |z| Ry+ m(n)=ax(n)+by(n) 则 M(z)=Z m(n)=Z ax(n)+by(n) =aX(z)+bY(z), R m-|z|R m+ Rm+=min Rx+, Ry+ Rm-=max Rx-, Ry-,其收敛域是X(z) 与Y(z)收敛域的公共部分。,例4-2 求序列,的Z变换。,解,收敛域,可见，线性叠加后序列Z变换的收敛域可能扩大，本例扩展到全z平面。,例4-3 求单边余弦序列,和单边正弦序列,的Z变换。,解 余弦和正弦序列可分别用复指数序列表示为,由于复指数序列的Z变换为,则余弦序列的

20、Z变换为,即,同理可求出正弦序列的Z变换为,2.移位（移序）特性,设X(z)=Zx(n)， r1 |z| r2 则Zx(n-n0)= z-n0 X(z)，r1 |z| r2,证明：,利用此性质，可以把时域的差分方程变换为z域的代数方程，可以大大简化计算。,例4-4 已知,，利用移位性质求,和,的Z变换。,解,样值序列与阶跃序列的关系为,对上式两边取Z变换，由于,，,，故,则,根据移位性质,3. z域微分性质 （序列乘以n）,若 X(z)=Zx(n), r1 |z| r2,， r1 |z| r2,例4-5 已知,，求序列,的Z变换。 解 利用z域微分性质可得,当a=1时，,即为斜变序列,，因此,

21、4. z域尺度变换,设 X(z)=Z x(n), r1|z| r2,证明：,|a| r1|z| |a| r2,则,|a| r1|z| |a| r2,5. 时域卷积定理,设 w(n)=x(n)*h(n) X(z)=Zx(n), R x-|z| R x+ H(z)=Zh(n) R h-|z| R h+,则 W(z)=Zw(n)=X(z)H(z)， Rw- |z | Rw+ Rw+ =min Rx+ , Rh+ Rw- =maxRx-, Rh-,证明：,W(z)的收敛域就是X(z)和H(z)的公共收敛域。,例4-6 求下列两个单边指数序列的卷积。,解 由于,应用卷积定理得,把Y(z)展开成部分分式，

22、得,其逆变换则为,4.2.5 逆Z变换,式中c为收敛域中的一条逆时针绕原点的闭合曲线。,逆Z变换,Z变换,求逆z变换的方法有：留数法、幂级数展开法和部分分式展开法等。,1.幂级数展开法,根据z变换的定义,如果将X(z)写成幂级数。其系数就是相应的序列值。,右序列对应负幂级数z-1 ，左序列对应正幂级数z。,例4-7 设X(z)=3z -1+5z -3-2z -4，求x(n)。,解 x(n)为移位样值序列的和，由下式给出,该序列也可表示为,许多序列的Z变换X(z)通常可以表示为如下形式的有理函数,式中，ai、bi为实系数。当X(z)的分子的次数M小于等于分母的次数N时，用长除法将分子除以分母可得

23、z的负幂级数，进而可求得x(n)。,如果收敛域是|z|r1，即x(n)是右边序列(因果序列)， X(z)应展成z的负幂级数，则N(z)和D(z)要按照z的降幂（或z-1的升幂）次序进行排列。,如果收敛域是|z|r2，即x(n)是左边序列， X(z)应展成z的正幂级数，则N(z)和D(z)要按照z的升幂（或z-1的降幂）次序进行排列。,例4-8 求,的逆变换。其收敛域分别是|z|2和|z|1。,解 （1）收敛域|z|2，是因果序列。 将X(z)的分子和分母按z的降幂排列，用长除法有,则,（2）收敛域|z|1，是反因果序列。,将X(z)的分子和分母按z的升幂排列，即,则,利用幂级数展开法求解逆Z变

24、换，方法比较直观和简单，但有时难以归纳出x(n)的闭式解。,2.部分分式展开法,对于大多数单阶极点的序列，常常用部分分式展开法求逆Z变换。,设x(n)的z变换X(z)是有理函数，分母多项式是N阶，分子多项式是M阶，将X(z)展成一些简单的逆变换已知的部分分式的和，通过查表求得各部分的逆变换，再相加即得到原序列x(n)。设X(z)只有N个一阶极点，可展成下式,观察上式，X(z)/z在z=0的极点留数就是系数A0，即,X(z)/z在z=zm的极点留数就是系数Am ， 即,求出Am系数(m=0,1,2,N)后，很容易示求得x(n)序列。,取逆变换得,解 先把X(z)写成z的正幂形式,例4.9,取逆变

25、换得,通过前面的学习可以看到，连续信号的傅里叶变换、拉普拉斯变换和离散信号的z变换之间有着密切的联系，在一定的条件下可以互相转换。本节通过它们之间的关系引出离散时间信号的傅里叶分析。,4.3 离散信号的傅里叶分析,4.3.1 离散信号的Z变换与傅里叶变换的关系,一、s平面与z平面的映射关系,对模拟信号x(t)以抽样间隔TS进行冲激抽样得到抽样信号xS(t)= x(nTS)，进行拉普拉斯变换，引入了新的复变量,即,或,上式分别给出了序列x(n)的Z变换X(z)与冲激采样信号xS(t)的拉普拉斯变换XS(s)之间的变换关系。,考察复变量,这是一个s域到z域的变换。复变量（直角坐标形式）,经变换后也

26、是一个复变量(极坐标形式),其中,，,。重复频率为,由此可得sz平面有如下的映射关系： 1、s平面的整个虚轴映射到z平面的是单位圆；s平面的右半平面映射到z平面是单位圆的圆外；s平面的左半平面映射到z平面是单位圆的圆内。,2、s平面的整个实轴映射到z平面的是正实轴；s平面平行于实轴（=0是常数）的直线映射到z平面是始于原点的辐射线，当,时，平行于实轴的直线映射到z平面的是负实轴。,3、由于,是以2为周期的周期函数， s平面与z平面的映射,的水平带面，这些水平带面都互相重叠地映射到整个z平面上。因此，s平面和z平面的映射关系不是单值的。,关系相当于把s平面分割成无穷多条宽度为,二、Z变换与傅里叶

27、变换的关系,单位圆上的z变换对应于离散时间信号的傅里叶变换。因此，若一个离散时间信号的傅里叶变换存在，它在z平面的收敛域应包含单位圆。,4.3.2 离散时间傅里叶变换(DTFT),一、离散时间傅里叶变换的定义,把Z变换和反变换重写如下：,当z只在z平面的单位圆上取值,，即,时，可以得到,离散时间序列x(n)的傅里叶变换，即DTFT（Discrete Time Fourier Transformation）和傅里叶反变换，即IDTFT。,X(ej)又可以写成,X(ej)表示序列x(n)的频域特性，又称为x(n)的频谱。其中，|X(ej)|称为幅度频谱，()称为相位频谱，二者都是的连续函数。,由于

28、ej是变量以2为周期的周期性函数，因此X(ej)也是以2为周期的周期性函数，即x(n)的频谱都是随周期变化的。, =0与=2点为信号的直流分量，=对应信号的最高频率。,例4-10 求,的离散时间傅里叶变换，其中|a|1。,解 根据式（4-42）可求出离散时间单边指数信号的傅里叶变换为,显然，要使上式成立，必须有|a|1。,图4-16(a)和(b)给出了a=0.8时X(ej)的幅度频谱和相位频谱。由于频谱的周期性，一般只需要给出0 2或-区间的频谱，如图4.16(c)和(d)所示。,例4-11 求序列x(n)=(n)的傅里叶变换。,解 由定义式得,例4-12 求序列x(n)=1的傅里叶变换。 解

29、 显然，对x(n)=1的信号不满足绝对可和的条件，但可以仿照连续时间信号情况，在变换中引入冲激函数。由于离散时间信号的傅里叶变换是以2为周期的，考察下式给出的等间隔冲激频谱函数,利用逆变换公式得,例4-13 若,求此序列的傅里叶变换X(ej)。,解：由定义式得,其中，幅频特性为,相频特性为,1. 线性,2. 时移与频移 设X(ej)=DTFTx (n)， 那么时移性质为,设X1(ej)=DTFTx1(n)， X2(ej)=DTFTx2(n) 那么,DTFTax1(n) + bx2(n) =aX1(ej)+ bX2(ej),二、离散时间傅里叶变换DTFT的基本性质,频移(频域移位)性质为,4.

30、反转与 DTFT的对称性,3. 时域信号的线性加权,设X(ej)=DTFTx (n)， 那么线性加权性质为,设X(ej)=DTFTx (n)， 那么反转性质为,DTFTx (-n) = X(e-j),= X(e-j),DTFT的对称性,（1）共轭对称与共轭反对称序列 满足关系 xe(n)=x*e(-n)的序列xe(n) 称为共轭对称 序列。 将xe(n)用其实部与虚部表示 xe(n)=xer(n)+jxei(n) 将上式两边n用-n代替，并取共轭，得到 x*e(-n)=xer(-n)-jxei(-n),由上面两公式左边相等，可以得到 xer(n)=xer(-n) 和 xei(n)= - xei(-n) 即共轭对称序列的实部是偶函数， 而虚部是奇函数。,满足关系xo(n)= - x*o(-n) 的序列xo(n)称为共轭反对称 序列。将x0(n)表示成实部与虚部： xo(n)=xor(n)+jxoi(n) 将上式两边n用-n代替，并取共轭，再取负号，得到 - x*o(-n)= - xor(-n)+