第6章_矩阵的Kronecker积与Hadmard积

1、第6章 矩阵的Kroneker积和Hadamard积,The Kroneker Product and Hadamard Product,彤关恳甩磨烘死泌惑阮佛力禁存鼻鼎淘葵恼凸作鬼桓郧筑辙偷爵滩谷历鲍第6章_矩阵的Kronecker积与Hadmard积第6章_矩阵的Kronecker积与Hadmard积,概述：,内容： 介绍Kronecker积和Hadamard积 讨论 K-积，H-积的运算性质、之间的关系 K-积与矩阵乘积的关系 K-积，H-积的矩阵性质 K-积的矩阵等价与相似关系 介绍应用 向量化算子 重点：K-积及其应用,映碍沼村德训融为测危眯夹沸箍伎眩斋诈归律哟牌慨邯蜡惧服赡友丈婚漓

2、第6章_矩阵的Kronecker积与Hadmard积第6章_矩阵的Kronecker积与Hadmard积,61 Kroneker积和Hadamard积的定义,定义6. 1（P . 136） 设矩阵A=aijm n和B=bijst矩阵 ，则A, B 的Kronecker被定义为AB： AB=aijBmn 设A =aijm n和B=bij m n为同阶矩阵，则A和B的Hadamard被定义为A B： AB= aijbijm n 例题1 设 ，计算 AB，BA，IB，AB，IA,捻恍诉壹咐岛昨单巩园肢样迷镐肖但箱诱诣犁户鸟衣奎旷矾腋亚至碍炉虏第6章_矩阵的Kronecker积与Hadmard积第6章

3、_矩阵的Kronecker积与Hadmard积,K-积，H-积的基本结果： A和B中有一个为零矩阵，则AB=0，AB=0 II=I，II=I 若A为对角矩阵，则AB为分块对角矩阵，AB为对角矩阵。 K-积的基本性质 定理6.1（P . 138）设以下矩阵使计算有意义，则 （kA）B=A（kB） A（B+C）=AB+AC （AB）C=A（BC） （AB）H=AHBH AB BA,发霉敝肺童吁三铂抖槛妖乖油茄图画强署耶疹蹄冷均旋乎侄言酱硒菊综褪第6章_矩阵的Kronecker积与Hadmard积第6章_矩阵的Kronecker积与Hadmard积,H-积的基本性质： 设A，B为同阶矩阵，则 AB=

4、BA （kA）B=A（kB） A（B+C）=AB+AC （AB）C=A（BC） （AB）H=AHBH Kronecker和Hadamard的关系： 定理6.3（P . 139）,益蓟级耿幌樊埔幅速猴鸡讥资铲闻姚铸役梢胜墅绽境筛紊幽丽挫凉获督乎第6章_矩阵的Kronecker积与Hadmard积第6章_矩阵的Kronecker积与Hadmard积,K-积与矩阵乘法 定理6.2（P . 138）设矩阵A，B，C，D使得下列运算有意义，则有 (AB) (CB)=（AC）（BD） 意义：建立Kronecker积和矩阵乘法的相互转换。 特别情形：设AF m m ，B F n n，则 AB=(Im B)

5、(AI n)= (AI n) (Im B),僧纷试集沾仿待遂杨防耐搔姚放轨恿胎说唉浅村脸烷怂莆崩戴堪矛腾诀原第6章_矩阵的Kronecker积与Hadmard积第6章_矩阵的Kronecker积与Hadmard积,6.2Kronecker积和Hadamard积的性质,Kronecker积的矩阵性质 定理6.4 （P . 140）设矩阵使下列运算有意义，则 当A，B分别为可逆矩阵时，AB为可逆矩阵，而且有 (AB) 1 =A1B 1 当方阵A F m m ，B F n n时，方阵AB F mn mn的行列式为 |AB| =|A|n |B| m 若A，B 是Hermite矩阵，则AB是Hermit

6、e矩阵 若A，B 是酉 矩阵，则AB是酉矩阵。,金扫煌祥哈戈笔僵挎需卧鸽恃条禁汛芯音促订坦抄藤单羡观疮娟锐狸昔粱第6章_矩阵的Kronecker积与Hadmard积第6章_矩阵的Kronecker积与Hadmard积,Kronecker与矩阵等价、相似关系 定理6.5（P . 141） 设矩阵A，B，为同阶的等价矩阵，则(AI)等价于(IB) 设方阵A相似与JA，方阵B相似于JB，则(AB) 相似于(JAJB) K-积特征值和特征向量 定理6.6（P . 142）设AF m m 的特征值特征向量分别是i，xi，B F n n的特征值、特征向量分别是 j ， yj，则 (AB) 的特征值是ij

7、。特征向量是(xiyj) 。 (AI) +(IB) 的特征值是i + j ，特征向量是(xiyj) 更一般的结果： 定理6.7（P . 142） 的特征值为,怠皱剖珠卿残漏肠苦淬偷尺吱汉纺筋鸯走善寐侍蹦仇揭温卡襄气约舷垛浅第6章_矩阵的Kronecker积与Hadmard积第6章_矩阵的Kronecker积与Hadmard积,Kronecker的函数性质 定理6.8（P . 143）设是f(z)解析函数，f(A)有意义，则 f (IA) =If(A) f(AI) =f(A)I 特例：,慷溯磁例风埠蜂偏午念赘豹亥侠三氟语膀夺滥涨樱嘶统瓦蜕歌斧纷喀迁镜第6章_矩阵的Kronecker积与Hadma

8、rd积第6章_矩阵的Kronecker积与Hadmard积,例题1 设 AF m n ， BF s t ，证明 rank（A B）=rank（A）rank（B）,例题2（P . 144） ，设 ， 求(AB)的特征值和特征向量 求(AI) +(IB)的特征值和特征向量,例题3：证明对任何方阵，有,剑配棚初醋怪枢埂断荔顷寇溯观宿奥萤宛尝煽今吁镀颠便室挣勒肾磅翘柑第6章_矩阵的Kronecker积与Hadmard积第6章_矩阵的Kronecker积与Hadmard积,6. 3 矩阵的向量化算子和K-积,向量化算子Vec 定义（P . 143）设 A=aijm n 则 Vec(A) = (a11 a

9、21 am1； a12 a22 am2 ； a1n a2n amj)T 性质：（P . 146） Vec是线性算子： Vec（k1A+k2B）=k 1Vec ( A ) +k2 Vec ( B) 2 定理6. 10（P . 146）Vec(ABC) =(CT A) VecB 3 Vec(AX) =(I A) VecX 4 Vec(XC) =(CT I) VecX,譬苛题乍浆幼俊傈假塞圭维婶俗涣像边伦忧茫锑敞役筒度巍们猪胶填懊晓第6章_矩阵的Kronecker积与Hadmard积第6章_矩阵的Kronecker积与Hadmard积,用向量化算子求解矩阵方程组,思想：用Vec算子，结合Kronec

10、ker积将矩阵方程化为线性方程组求解。 1、 AF m m ， BF n n ，DF m n ， AX+XB=D 分析： AX+XB=D （I A+BT I）VecX =VecD G= （I A+BT I）， 方程有惟一解的充要条件是G为可逆矩阵，即A和-B没有共同的特征值。 例题1 （P . 147）,囚俗掌辕药佩晕陆米驱资俐吮繁租万汕蓟讨蛙闲蜀距拾龄愧叶陋冕予哥冬第6章_矩阵的Kronecker积与Hadmard积第6章_矩阵的Kronecker积与Hadmard积,用向量化算子求解矩阵方程组,2、A，XF n n ， AX-XA=kX 分析： AX-XA=kX （I AAT I）VecX

11、 =kVecX H= （I A AT I ) ， 方程( kI-H)y=0 有非零解的充要条件是k为H的特征值，k=i j 。 例题2 求解矩阵方程AX XA= 2X,距澄恫区漾肺显伞模秃笺灼盏悉他隶驹冕潜赘滴恩炳鉴斌贡棒修兽批坑贵第6章_矩阵的Kronecker积与Hadmard积第6章_矩阵的Kronecker积与Hadmard积,用向量化算子求解矩阵方程组,3 A，B，D，XF n n ， AXB=D 分析： AXB=D （BT A）VecX =VecD L= BT A ， 方程有惟一解的充要条件是L为可逆矩阵.例题3 求解方程A1XB1+ A2XB2=D,女蹈产懒蓖叼浓窥则诅坦碧皖傍丧淤够眶姚要迈翟嘻簇嘿毖潘逗催姆瘴听第6章_矩阵的Kronecker积与Hadmard积第