第三章 微分方程和差分方程模型.ppt

1、第三章差分方程和差分方程模型，3.1差分方程模型3.2差分方程模型3.3观众厅地板设计3.4碳年代法3.5范围.梅伦根伪造名画方案研究实际问题时，我们不能经常直接得到变量之间的关系，但可以容易地得到包括变量导函数在内的关系式。 这就是差分方程。 在现实社会中，许多变量离散地变化，如人口、生产周期、商品价格等离散运算具有操作性，差分是连接连续和离散量的桥梁。 无论是差分方程还是差分方程式模型，有时都得不到该解析解(必要时，可利用计算机求出数值解)，即使得到该解析解，在实际问题中，研究问题的解的变化趋势也是重要的，因此，以下仅研究其平衡点的稳定性。 关于常微分方程群的平衡点及其稳定性，若平衡点P0

2、稳定，则如下所示，判别平衡点P0是否稳定的判别基准，在P0或q0时，判定平衡点P0是否稳定如果存在xn，xn 1，xn k )=0 (3-6)，xn=x (n )，则F(n； 如果x(n )，x(n 1)，x(n k )=0，则xn=x (n )是差分方程式(3-6)的解，包含任意常数的解称为(3-6)的通解，如果x0，x1，xk-1是已知的则为(3-6)的初始条件，通解中的任意常数为xn，xn 1，xn k-1 )的差分方程式的解可以在计算机上实现，如果常数a是差分方程式(3-6)的解，则F (n； 如果a，a，a )=0，则a是差分方程式(3-6)的平衡点，另外，如果在差分方程式(3-6)

3、的任意初始条件下决定的解xn=x(n )中存在xna (n )，则可以说该平衡点a是稳定的。 b是常数，a -1 0 )的通解是xn=C(- a) n b/(a 1)易懂的b/(a 1)是其平衡点，在只有|a|1的情况下，b/(a 1)是稳定的平衡点，在二次常数线性差分方程式xn2axn1bxn=r(a，b，r是常数. r=0的情况下，奇异解x *。 在r 0、a b 1 0的情况下，有奇异解x*=r/(a b 1)，在任一情况下，x*都是其平衡点，若将特征式2 a b=0的两根分别设为=1、=2.则为1， 2是两个不同实根时，二次常数线性差分方程式的解为xn=x* C1(1)n C2(2)n

4、，二次常数线性差分方程式的解为xn=x* C1(1)n C2(2)n 在1，2=(cossin )是一对共轭复根的情况下，二次常数线性差分方程式的解是xn=x* n (C1cosn C2sinn )，可知平衡点x*仅在特征方程式的任一个特征根|i |1处稳定，一次非线性差分方程式xn 1=f (xn ) 为了分析平衡点x*的稳定性，上述差分方程近似于一阶常数线性差分方程，3.3观众厅地板设计，提出一个问题，就是在电影厅和报告厅，前面的观众总是为遮挡自各儿的视线而烦恼。 很明显，场内的观众都在看舞台剧。 场内的地面如果不是前后倾斜的模式，前面的观众一定会遮住后面观众的视线。 建立数学模型，设计良

5、好的报告厅地面坡度曲线。建立坐标系，o、o在舞台上的设计视点，b、b第一列的观看者的眼睛到x轴的垂直距离，x、y、a、d、d、a第一列的观看者和设计视点的水平距离，d相邻的两列的距离，视线上升基准，x表示任一列和设计视点的水平距离问题：2个问题的假设与观众厅地面的纵剖视图一致，只需要中轴线上地面的起伏曲线。同一排座位在同一等高线上。 坐在座位上的观众的眼睛和地面的距离是一样的。 坐在座位上的观众的头和地面的距离也是一样的。 求得的曲线，只要观众的视线从前面座位的人的头上掠过即可。 (3)眼睛的上升曲线应满足差分方程，初始条件为： o、b、x、y、a、d、d、1 )从第一列开始，观众的眼睛和o点

6、的线的倾斜度随列数的增加而增加，眼睛的上升曲线明显与这些个的直线相交，因此上升曲线是凹的(2)选择一列和相邻列，然后设置、o、y、x-d、C(x，0 )、C2(x d，0 )、m、M1、x、N1、a、b、n、相似性、d、重新计算、相似性、4模型求解、导数不等式(比较定理)、函数如果d中唯一性定理满足存在的条件的2)d有不等式，初始值的问题，和，的解在它们共存的区间满脚丫子，求曲线的近似曲线方程(权衡法)，权衡法，5总结和讨论，有时只求近似解。 利用微分不等式建模的方法，模型讨论，o，b，x，y，a，d，d，1 )如何求出视点移动时的上升曲线，2 )如何减小地面的坡度？ 调整参数、相邻列的偏差。

7、 3 )衡量经济的指标是？ 座位尽量多，上升曲线所占的空间尽量少等。 3.4碳年代测定法、考古学、地质学等专门人才使用14C测定法(通常称为碳年代测定法)推定文物和化石的年代。 14C的蜕变规律14C是宇宙射线不断碰撞大气，使大气中发生中子，在中子和氮的作用下生成的放射物质。 这种放射性碳被二氧化碳氧化，二氧化碳被植物吸收，植物作为动物的食物被带入各种动植物中。 14C是放射性的，无论是在空气中还是在生物体内他都在不断变化，这个变化规律我们可以求得。 通常，假设其脱离速度与该时刻的馀量成比例。 设时刻t (年)、生物体中14C的库存量为x(t )、生物体的死亡时间为t0=0时，假设14C的含量

8、为x0，则初始值问题(1.1)的解(1.2)中，常数、k前的符号表示14C的库存量减少。 (1.2 )式表示14C呈指数减少，但常数k可由半寿期决定，如果、14C的半寿期为t，则将(1.3 )代入(1.2 )，(1.4 )、碳年代法的生物通过新陈代谢持续摄取14C，因此他们体内的14C与空气中的14C含量相同，生物死后，因为没有摄取14C，所以体内的14C不断减少。 碳年代法根据生物体死亡后体内14C逃逸减少量的变化判断生物体的死亡时间。 碳年代法的计算由于(1.4)解到(1.5)x(0)、x(t )不便于测定，因此可以将(1.5)修正如下。 在式(1.2 )的两侧求出导函数，得到(1.6 )

9、， 将(1.6)和(1.7)两个公式相除，将公式代入(1.5)，得到(1.8)的情况下，如果知道从(1.8)可知生物体死亡时的体内14C的脱离速度和当前时刻t的脱离速度，就可以求出生物体的死亡时间，在实际的计算中，在现代生物体中14C的脱离在1972年8月，确定了马王堆一号墓年代的马王堆一号墓出土时，发现出土的木炭标本的14C的平均原子蜕变为29.78/s，新采伐的木炭的14C的平均原子蜕变为38.37/s，14C的半寿期为5568年，因此，T=5568(1)马王山古代科学技术的神秘素纱蝉衣：两件薄衣服，丝绸，非常轻，两千年没有腐烂，南京云锦研究所接受了国家科学技术的难关，花了二十年的时间，在

10、1990年开发了素纱蝉衣一样的复印件，但这个复印件比汉代要50 g 女尸千年不朽：病理知识：女尸体解剖显示患有非常严重的冠心病肺部有肺结核钙化，肺部钙化是肺结核痊愈后的表现。 2000年后的今天，特罗尔肺结核不仅仅需要自各儿抵抗力强的营养，而且很难治愈。 有两个胆结石，一个在胆总管，蚕豆大，胆道阻塞不出水。 三种寄生虫，其中有血吸虫，其症状应该是腹胀、骨瘦的，但这位女性皮下脂肪异常丰富，说明血吸虫有效地特罗尔了。 这位西汉贵妇生前被疾病所困扰，但从其遗体中没有发现长期卧床疗养的征兆。 一个人有这么多病的人，可以长期稳定地特罗尔整病情，今天也是奇迹，显示汉代的医疗技术达到了相当高的水平。 的双曲

11、馀弦值。 的双曲馀弦值。 的双曲馀弦值。 的双曲馀弦值。 的双曲馀弦值。 的双曲馀弦值。 的双曲馀弦值。 的双曲馀弦值。 的双曲馀弦值。 (2)碳测年法的不足现在被怀疑为14C测年法，在2500-10000年前期间与其他测年法的结果不同。 1966年，耶鲁研究所的Minze Stuiver和加利福尼亚大学圣地亚哥分校的Hans E.Suess报告了在这一时期，14C年代测定产生误差的根本原因。 那个时代，宇宙射线的辐射强度在减弱，偏差的高峰发生在约6000年前。 这两位研究者的结论是根据对Brist/econe松进行的14C年代测定的结果，这棵松还提供了正确的年轮断代。 他们提出成功的误差公式

12、，修正14C断代所规定的2300-6000年前期间的年代：真实的年代=14C年1.4900。 3.4范围.梅格伦伪造名画案，二战比利时解放后，荷兰保安机构开始搜索纳粹分子合作者。 三流绘画家H.A.Vanmeegren发现，把17世纪荷兰著名的绘画家Jan.Vermeer的著名油画卖给了装饰公司，于1945年5月2.9逮捕了这个人。 Vanmeegren被捕后，他声称从未卖掉过荷兰的利益，所有的油画都声称是自各儿伪造的，为了证明这一点，他开始在监狱里伪造Vermeer的画耶稣。 工作即将结束，知道有可能因伪造罪而被定罪，为了不留下罪证，拒绝使画老化。 为了审理此案，法庭组织了化学家、物理学家、

13、艺术家等参加的国际专门小组，采用当时最尖端的科学方法，利用x射线透视等对颜料成分进行分析，终于在几幅画中发现了现代颜料钴蓝的痕迹。 如此伪造罪成立，Vanmeegren被判处徒刑一年。 1947年1.1月3.0，他在监狱心脏病发作死亡。 然而，许多人仍不相信馀韵的名画是伪造的。 Vanmeegren在监狱里画的画质量不好，找理由也不能让嫌疑犯满意。 2.0年后，1967年，卡内基梅隆高等院校科学家采用差分方程模型解决了这个问题。 原理上，著名的物理学家拉夫指出，物质的放射性与现存物质的原子数成正比。 设时刻的原子数为，则为物质的衰变常数。初始条件、半寿期、碳-14、铀-238、镭元素-226、

14、金属铅-210，可以测量或计算，知道就可以计算，这是问题的难度，以下是间接决定的方法。 下一代。 油画中的放射物质、白金属铅(金属铅的氧化物)是油画中的颜料之一，已有2000多年，白金属铅中含有少量的金属铅(Pb210 )和少量的镭元素(Ra226 )。 白金属铅由金属铅金属产生，金属铅金属熔炼从金属铅矿中提取。从放射性平衡态的矿床提取金属铅时，Pb210的大部分电源切断，Pb210和少量的镭元素必须迅速脱离，直至再次达到放射平衡。 (1)镭元素的半寿期是1600年，我们只对17世纪的油画感兴趣，有时经过300多年，白金属铅中的镭元素至少有原量的90%以上，因此，白金属铅中每分钟的镭元素的崩溃数可以看作常数，用来表示。 (2)钚的半寿期为138天，便于测定，金属铅210的半寿期为2.2年，对于要鉴别的300年以上的颜料，可认为每克白金属铅1分钟钚的衰变数与金属铅210的衰变数相等。建模，将在时刻包含金属铅的金属铅21