一元高次不等式和分式不等式的解法

1、一元高次不等式和分式不等式的解法(第二课时),掌握一类简单的可化为一元二次不等式的分式不等式的解法 会解与一元二次不等式有关的恒成立问题和实际应用题,【课标要求】,【核心扫描】,一元二次不等式的应用(重点) 一元二次不等式中的恒成立问题(难点) 与二次函数、二次方程、实际应用题联系密切，而且应用广泛 注意实际问题中变量有意义的范围,1,2,1,2,3,4,一、一元高次不等式的解法： 只含有一个未知数，并且未知数的次数高于2次的不等式称为高次不等式。 一元高次不等式用穿针引线法求解，其步骤是： (1)将不等式化为标准形式；将高次项的系数化为正数，不等式一端为0，另一端为一次因式(因式中x的系数为

2、正)或二次不可约因式的乘积 (2)求出各因式为0时的实数根，并在数轴上标出 (3)自最右端上方起，用曲线从右至左依次由各根穿过数轴，遇奇次重根一次穿过，遇偶次重根穿而不过(说明：奇过偶不过) (4)记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号写出解集,用数轴标根法解简单高次不等式的步骤： （1）整理。先将不等式化成标准形式，即一端为0，另一端为一次（或二次）因式的积的形式。注意各因式中x的系数一定为正数 （2）标根。求出各因式的根，并在数轴上依次标出。 （3）穿线。用一条曲线由右上方开始从右到左，从上到下依次穿过各根相应的点，注意偶次重根穿而不过，奇次重根照样穿过，即“奇穿偶不穿”。 （4）写解

3、集。在数轴上方的曲线所对应的区间是不等式 大于0 的解集；在数轴下方的曲线所对应的区间是不等式 小于0 的解集,二、分式不等式的解法（转化为标准形） （1）转化为整式不等式求解：,（2）转化为整式不等式组求解：,三、例题讲解,解：,例1 解不等式：,三、例题讲解,例2 解不等式：,解：原不等式化为：,即,由于,原不等式进一步转化为同解不等式,原不等式的解集为：x|-3x1.,解：,3,1,-2,原不等式的解集为：,三、例题讲解,三、例题讲解,解：原不等式化为：,即,例4 解不等式：,原不等式的解集为：,思路探索 将分式不等式等价转化为一元二次不等式或一元一次不等式组,【例2】,题型二分式不等式

4、的解法,由二次函数图像与一元二次不等式的关系分析，可以得到常用的两个结论： (1)不等式ax2bxc0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是当a0时，b0，c0；,不等式恒成立问题,1,分离参数法解不等式恒成立问题 对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决当然这必须以参数容易分离作为前提分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)af(x)恒成立af(x)max；(2)af(x)恒成立af(x)min.,3,题型一恒成立问题,当a为何值时，不等式(a21)x2(a1)x10的解集为R? 思路探索 不等式的解集为R，也就是函数f(x)(a21)x2(a1)x1的图像恒在x轴下方，注意二次项系数a21可能为0，也可能小于0，应分两种情况讨论加以解决,【例1】,(2)审清题意，弄清楚哪个是参数，哪个是自变量例如，“已知函数yx22(a2)x4，对a3,1，y0恒成立”中，变量是a，参数是x，该函数是关于a的函数,不等式(a1)x2axam(x2x1)对任意x恒成立，试比较a与m的大小 解原不等式整理得 (am1)x2(am)xam0对任意x恒成立 当am10时，原不等式