解析函数的洛朗展式与孤立奇点

1、第五章 解析函数的洛朗展式与孤立奇点,第一节 解析函数的洛朗展式 第二节 解析函数的孤立奇点 第三节 解析函数在无穷远点的性质,形如 的级数称为双边幂级数,第一节解析函数的罗朗展式,1 双边幂级数,正则部分是幂级数，故收敛圆 对于主要部分， 可作代换,成为一幂级数 它的收敛区域为,因此当 时，两者有公共的收敛区域即圆环： 在此圆环内有,定理5.1 设双边幂级数 （5.1） 的收敛圆环为,则（1）(5.1)在内绝对收敛且内闭一 致收敛于 （2）在内解析 （3） 级数在内可逐项求导任意次。,2、解析函数的罗朗展式 定理5.2（罗朗定理） 在圆环内解析的函数必可展开成双边幂级数 （5.2） 其中 (

2、5.3) 且展式唯一.,定义5.1（5.2）称为在点a的罗朗展式， （5.3）称为其罗朗系数，而（5.2）右 边的级数则称为罗朗级数。 注意: 泰勒级数是罗朗级数的特殊情形。,例5.1 将函数 在下列三个区域内 （1）圆 （2）圆环 （3）圆环 求的罗朗展式。,解：首先,（）在圆内,（）在圆环 内,有 故,（）在圆环上 故,3、孤立奇点邻域内的罗朗展式 定义5.2 若 在奇点的某一去心邻域 内解析，则称为 的一个孤立奇点。,若为的一个孤立奇点，则必存在数，使在的去心邻域 内可展成罗朗级数。,例5.2 求 在其孤立奇点的去心邻域内的罗朗展式。,解：有两个奇点和。 在的（最大）去心邻域 内,在的（

3、最大）去心邻域 内,5.2解析函数的孤立奇点, 孤立奇点的分类 可去奇点、极点、本性奇点。,定义5.3 设是的孤立奇点， （1）若主要部分为0，则称a是的 可去奇点。 （2）若主要部分为有限多项，则称是的 极点.此时主要部分的系数必满足 , 此时称 为 极点阶级点，亦称为级极点。 （3） 若主要部分有无限多项，则称是f(z)的本性奇点。,2、可去奇点的判断 定理5.3 设为的孤立奇点，则下述等价： （1） 在的主要部分为0； （2） （）在点的某去心邻域内有界。,证： （1）（2）由（1）有 因此,（2）（3）即例1.27 （3）（1）考虑主要部分的系数 其中 可任意小，故,极点 定理5.4

4、若 以点为孤立奇点，则下述等价 （1）是级极点，即主要部分为,（） 在点的去心邻域内有 且解析且 （） 以为级零点。,定理5.5 的孤立奇点为极点的充分必要条件是,5、本性奇点 定理5.6 的孤立奇点 为本性奇 点的充分必要条件是,定理5.7 若为之一本性奇点，且在点的充分小去心邻域内不为零，则亦必为 的本性奇点。 如： 为的本性奇点， 亦为的本性奇点。,6、毕卡定理 定理5.8 若为的本性奇点，则对任意数 A（可以是)，都有一个收敛于a的点列 使,定理5.9（毕卡大定理） 若为的本性奇点，则对每一个， 除掉可能一个值外，必有趋于的无限点列 使,第三节 解析函数在无穷远点的性质,定义5.4 设

5、函数在无穷远点（去心）邻域 内解析，则称为的一个孤立奇点。,作变换于是函数 在去心邻域 内解析。即是 的一孤立奇点， 依此可规定的类型。,定义5.5 若为的可去奇点、级极点或本性奇点，则我 们相应地称为 的可去奇点、级极点或本性奇点。,类似于有限孤立奇点的分类，可依在 的主要部分的项数对 进行分类。 主要部分为,例5.6 求出 （1）（） 的奇点（包括），并确定其类别。,解：（1） 以为可去奇点,为一级极点。 为非孤立奇点。 （因是的聚点）,（2） 令，得该函数的所 有奇点为,是一级极点，是非孤立奇点，因是的聚点。至于应是可去奇点。,例5.7 若在 内解析，且不恒为零，又若有一列异于但却以为聚点的零点， 试证必为的本性奇点。,证： 是的孤立奇点，且不能是可去奇点，若不然，令 则 在内解