计算区域与控制方程的离散.ppt

1、2020/7/9,流体流动与传热的数值计算 第二章 计算区域与控制方程的离散化,1,复习与总结,所有流动与传热过程都受到最基本的3(4)个物理规律支配： 质量守恒； 动量守恒； 能量守恒； 组分守恒。,守恒定律的数学表达式： 偏微分方程 (控制方程),2020/7/9,流体流动与传热的数值计算 第二章 计算区域与控制方程的离散化,2,质量守恒方程,动量守恒 (Navier-Stokes) 方程,对于粘度系数为常数的不可压缩流体：,2020/7/9,流体流动与传热的数值计算 第二章 计算区域与控制方程的离散化,3,能量守恒方程,化简后的能量守恒方程：,组分守恒方程,2020/7/9,流体流动与传

2、热的数值计算 第二章 计算区域与控制方程的离散化,4,封闭方程,上述 7 个方程中包含 7 个未知量：，u，v，w，p，T，ml，方程封闭。,控制方程的通用形式：,流动与传热问题的控制方程可以表达为通用形式：,2020/7/9,流体流动与传热的数值计算 第二章 计算区域与控制方程的离散化,5,第二章 计算区域与控制方程的离散化,2020/7/9,流体流动与传热的数值计算 第二章 计算区域与控制方程的离散化,6,对流与传热问题数值计算的步骤：,网格生成 (区域的离散) 对空间区域进行剖分，将它划分为许多子区域，并确定每个区域中的节点。,控制方程的离散化 (方程的离散) 生成网格后，将描写流动与传

3、热过程的偏微分方程转化为各个节点上的代数方程。,代数方程组的求解 (方程的求解),建立数学模型(控制方程及定解条件),2020/7/9,流体流动与传热的数值计算 第二章 计算区域与控制方程的离散化,7,第一节 空间区域的离散化 一、区域离散化的内容,一、区域离散化的内容,1. 区域离散化的定义 区域离散化：用一组有限个离散点来代替原来 的连续空间。,第一节 空间区域的离散化,2. 区域离散化的步骤 把计算区域划分为许多互不重叠的子区域； 确定每个子区域的节点位置 确定每个节点所代表的控制容积。,2020/7/9,流体流动与传热的数值计算 第二章 计算区域与控制方程的离散化,8,第一节 空间区域

4、的离散化 一、区域离散化的内容,3. 区域离散化的几何要素,节点： 需要求解的未知物理量的几何位置；,控制容积： 应用控制方程的最小的几何单位；,界面： 各控制容积的分界面；,网格线： 沿坐标方向联结相邻节点而成的曲线簇。,2020/7/9,流体流动与传热的数值计算 第二章 计算区域与控制方程的离散化,9,第一节 空间区域的离散化 一、区域离散化的内容,4. 说明,一般将节点看成为控制容积的代表； 控制容积 与子区域 并不总是重合的(视节点位置而定)；,子区域：区域离散化过程中，由一系列与坐标轴相应的直线或曲线簇所划分出来的小区域。,在不同的离散方法时，节点在子区域中的位置不同。,2020/7

5、/9,流体流动与传热的数值计算 第二章 计算区域与控制方程的离散化,10,第一节 空间区域的离散化 二、设置节点的方法,二、设置节点的方法,1. 外点法(FDM),节点位于子区域的角顶上，划分子区域的曲线簇就是网格线，但子区域不是控制容积。,在相邻两节点的中间位置做界面线，由这些界面线构成各节点的控制容积。,2020/7/9,流体流动与传热的数值计算 第二章 计算区域与控制方程的离散化,11,第一节 空间区域的离散化 二、设置节点的方法,2. 内点法(FVM),节点位于子区域中心。,子区域即为控制容积,2020/7/9,流体流动与传热的数值计算 第二章 计算区域与控制方程的离散化,12,第一节

6、 空间区域的离散化 三、一般规定,三、几个规定,1. 实线表示网格线，虚线表示界面线，黑点表示节点。,2020/7/9,流体流动与传热的数值计算 第二章 计算区域与控制方程的离散化,13,第一节 空间区域的离散化 三、一般规定,2. 对节点及有关要素的命名：,(1) 对离散方程进行特性分析时： 采用 i-j-n 表示法,所研究的问题的节点位置为 (i, j)； 与该节点相邻的界面分别为： i+1/2, i-1/2, j+1/2, j-1/2 n 表示非稳态问题的时间层。,2020/7/9,流体流动与传热的数值计算 第二章 计算区域与控制方程的离散化,14,第一节 空间区域的离散化 三、一般规定

7、,(2) 在进行其他分析时：,采用P, N, E, W, S表示所研究的节点及相邻的4个节点；,用n, e, w, s 表示相应的界面；,用上标0表示非稳态问题中上一时间层的值； 相邻两节点间的距离用x 表示； 相邻两界面间的距离用x 表示。,说明：在均匀的网格系统中，不强调x与x的区别。,2020/7/9,流体流动与传热的数值计算 第二章 计算区域与控制方程的离散化,15,第一节 空间区域的离散化 四、两类节点的比较,四、内点法与外点法的比较,相同点： 当网格划分均匀时，在区域内部，内点法和外点法的节点没有太大区别，仅是控制容积有半个控制容积厚度的错位。,2020/7/9,流体流动与传热的数

8、值计算 第二章 计算区域与控制方程的离散化,16,第一节 空间区域的离散化 四、两类节点的比较,不同点：,边界节点所代表的控制容积不同。,网格不均分时，节点在控制容积中的位置不同。,网格不均分时，界面在两邻点之间的位置不同。,在内节点法中，位于非顶角上的边界节点代表了厚度为零的控制容积。,外节点法中，界面永远处于两邻点的中间位置，内节点法则不然。,外节点法中，位于非顶角上的边界节点代表了半个控制容积。,内节点法中，节点永远处于控制容积中心，外节点法则不然。,2020/7/9,流体流动与传热的数值计算 第二章 计算区域与控制方程的离散化,17,第一节 空间区域的离散化 四、两类节点的比较,说明：

9、,在某些情况下，外节点法与内节点法的离散误差不同； 内节点法由于取子区域为控制容积，界面可自然生成，程序的编制与计算较容易； 在使用一个软件时，应明确该软件是用何种方式设置节点的。,2020/7/9,流体流动与传热的数值计算 第二章 计算区域与控制方程的离散化,18,第一节 空间区域的离散化 五、网格划分中的注意问题,五、网格划分中的注意问题,1. 不同控制容积的宽度比 为充分利用计算机的内存资源，进行工程问题计算时，网格可划分为不均匀网格(不同控制容积可以具有不同的宽带)；,2020/7/9,流体流动与传热的数值计算 第二章 计算区域与控制方程的离散化,19,对每个控制容积在不同方向的宽度应

10、保持一个合适的比例： 对各个方向物理量变化率均匀的椭圆型问题，宽度比应接近于1； 对抛物型问题或某个方向的物理量变化率明显大于另一个方向的椭圆型问题，才适宜采用狭长的控制容积。,第一节 空间区域的离散化 五、网格划分中的注意问题,在同一坐标方向上，相邻两控制容积宽度的变化应保持在一个合适的范围内： 一般为0.8 1.2,2020/7/9,流体流动与传热的数值计算 第二章 计算区域与控制方程的离散化,20,2. 网格疏密的调整,网格应足够细密 细密与否的依据是：再进一步加密网格已经对计算结果基本不再产生影响。,第一节 空间区域的离散化 五、网格划分中的注意问题,可(需)根据初步的计算结果对网格进

11、行修改或调整。使网格疏密的分布与物理量的局部变化率更好地适应。自适应网格。,2020/7/9,流体流动与传热的数值计算 第二章 计算区域与控制方程的离散化,21,第二节 建立离散方程的Taylor展开法 一、一维模型方程,一、一维模型方程(以一维问题为例介绍),一维非稳态有源项的对流-扩散方程为：,第二节 建立离散方程的Taylor展开法,广义变量(如速度、温度、浓度等),对应于广义变量的广义扩散系数,广义源项,非稳态项,对流项,扩散项,源项,广义源项中包括了不能归入非稳态项、对流项及扩散项的一切其他项，使方程更具有通用性。,2020/7/9,流体流动与传热的数值计算 第二章 计算区域与控制方

12、程的离散化,22,第二节 建立离散方程的Taylor展开法 二、导数的差分表达式,二、导数的差分表达式,将函数(x,t) 在点(i+1,n) 对点(i,n) 做Taylor展开：,1. 广义变量对坐标的差分,2020/7/9,流体流动与传热的数值计算 第二章 计算区域与控制方程的离散化,23,第二节 建立离散方程的Taylor展开法 二、导数的差分表达式,由此得到：,截断误差： Kx,2020/7/9,流体流动与传热的数值计算 第二章 计算区域与控制方程的离散化,24,第二节 建立离散方程的Taylor展开法 二、导数的差分表达式,总结：,向前差分： 向后差分： 中心差分：,2020/7/9,

13、流体流动与传热的数值计算 第二章 计算区域与控制方程的离散化,25,第二节 建立离散方程的Taylor展开法 二、导数的差分表达式,表：一阶、二阶导数的几种差分表示式：,2020/7/9,流体流动与传热的数值计算 第二章 计算区域与控制方程的离散化,26,第二节 建立离散方程的Taylor展开法 二、导数的差分表达式,续表：,2020/7/9,流体流动与传热的数值计算 第二章 计算区域与控制方程的离散化,27,2. 广义变量对时间的差分,第二节 建立离散方程的Taylor展开法 二、导数的差分表达式,向前差分： 向后差分： 中心差分：,2020/7/9,流体流动与传热的数值计算 第二章 计算区

14、域与控制方程的离散化,28,第二节 建立离散方程的Taylor展开法 三、一维模型方程的离散,三、一维模型方程的离散,显式格式： 按每一时层前一时刻的参数值进行计算的格式。,1. 三种常用离散格式,(2) 隐式格式： 按每一时层本时刻的参数值进行计算的格式。,(3) Crank-Nicolson格式： 按每一时层中间时刻的参数值进行计算的格式。,2020/7/9,流体流动与传热的数值计算 第二章 计算区域与控制方程的离散化,29,第二节 建立离散方程的Taylor展开法 三、一维模型方程的离散,2. 一维模型方程的显式格式,总截断误差,2020/7/9,流体流动与传热的数值计算 第二章 计算区

15、域与控制方程的离散化,30,第二节 建立离散方程的Taylor展开法 三、一维模型方程的离散,第二节 建立离散方程的Taylor展开法 三、一维模型方程的离散,3. 一维模型方程离散的三种格式,显式格式：,隐式格式：,2020/7/9,流体流动与传热的数值计算 第二章 计算区域与控制方程的离散化,31,第二节 建立离散方程的Taylor展开法 三、一维模型方程的离散,第二节 建立离散方程的Taylor展开法 三、一维模型方程的离散,Crank-Nicolson格式：,2020/7/9,流体流动与传热的数值计算 第二章 计算区域与控制方程的离散化,32,第三节 建立离散方程的控制容积法 一、控制

16、容积积分法的实施步骤,一、控制容积积分法的实施步骤,(1) 写出控制方程在任一控制容积内对空间与时间的积分式；,第三节 建立离散方程的控制容积法,(2) 选定未知函数及其导数在时间及空间的局部分布曲线(选定型线)；,(3) 对方程中各个项按选定的型线积分，并整理成关于未知值的代数方程。,选定型线的目的是从相邻节点的函数值来计算出控制容积界面上被求的函数值。,2020/7/9,流体流动与传热的数值计算 第二章 计算区域与控制方程的离散化,33,第三节 建立离散方程的控制容积法 二、常用型线,二、常用型线：分段线性分布 与 阶梯式分布,2020/7/9,流体流动与传热的数值计算 第二章 计算区域与

17、控制方程的离散化,34,第三节 建立离散方程的控制容积法 三、控制容积积分法离散一维方程,三、控制容积积分法离散一维方程,选定一个控制容积P，将一维方程对控制容积P在t 时间间隔内做积分：,2020/7/9,流体流动与传热的数值计算 第二章 计算区域与控制方程的离散化,35,第三节 建立离散方程的控制容积法 三、控制容积积分法离散一维方程,(1) 非稳态项,取随x变化的型线为阶梯式(同一控制容积中各处的值相同，等于节点上的值P ),2020/7/9,流体流动与传热的数值计算 第二章 计算区域与控制方程的离散化,36,第三节 建立离散方程的控制容积法 三、控制容积积分法离散一维方程,(2) 对流

18、项,在控制容积内，t取随 x 分段线性。,采用阶梯显式，即在整个t内，t取 t 时刻的值，当(t+t)时刻才跃升为t+t。,2020/7/9,流体流动与传热的数值计算 第二章 计算区域与控制方程的离散化,37,(3) 扩散项,第三节 建立离散方程的控制容积法 三、控制容积积分法离散一维方程,在控制容积内，取t随 x 分段线性。,选取一阶导数随时间做显式阶跃式变化。,2020/7/9,流体流动与传热的数值计算 第二章 计算区域与控制方程的离散化,38,(4) 源项,第三节 建立离散方程的控制容积法 三、控制容积积分法离散一维方程,源项在 t 时刻控制容积中的平均值,2020/7/9,流体流动与传

19、热的数值计算 第二章 计算区域与控制方程的离散化,39,第三节 建立离散方程的控制容积法 三、控制容积积分法离散一维方程,2020/7/9,流体流动与传热的数值计算 第二章 计算区域与控制方程的离散化,40,说明：,第三节 建立离散方程的控制容积法 三、控制容积积分法离散一维方程,在上述均匀网格系统的内部控制容积中，对一维模型方程采用 控制容积积分法 和 Taylor展开法 导出的差分方程完全相同，但这不具有普遍性。 在某些场合下，用控制容积积分法导出的离散方程与用Taylor展开法导出的离散方程不同，计算结果的准确度也不一样。,2020/7/9,流体流动与传热的数值计算 第二章 计算区域与控制方程的离散化,41,第三节 建立离散方程的控制容积法 四、关于型线假设的说明,四、关于型线假设的说明,在有限容积法中，选取型线仅仅是为了导出离散方程，一旦离散方程建立起来，型线就不再具有任何意义。 型线对于离散方程的求解方法