电动力学 电磁场与电磁波课件第1章 矢量分析.ppt

1、电磁场与电磁波,刘子龙 武汉理工大学物理系,使用教材,参考书目,电磁场与电磁波，王家礼，朱满座，路宏敏，西安电子科技大学，2000年12月第1版 电磁场与电磁波，李书芳等，科学出版社，2004年第1版 电动力学，郭硕鸿，高等教育出版社，1979年第1版 J.D. Kraus, D.A. Fleish, Electromagnetics With Application, Fifth Edition, 北京：清华大学出版社，2001,本课程知识结构体系,（第8章),难点,分析和处理电磁场问题的方法 数学处理过程,矢量分析,本课程约定,物理量符号上方用“”或粗斜印刷体代表矢量，例如电场强度矢量,物

2、理量符号上方用“”代表单位矢量，例如 分别代表x，y，z 方向的单位矢量， 代表位置矢量 的单位矢量,1. 场的概念及分类,什么是场,矢量分析是研究电磁场空间分布及其变化、传播规律的基本数学工具之一。,第一章 矢量分析,通常，描述某物理系统之状态的物理量都是时间和空间的函数，i.e.,在任一时刻t，空间每个位置r， 物理量 都有一个确定的值与之对应，则空间所有各点物理量数值的无穷集合就形成了该系统 t 时刻的一种场。,场是一种物质形态 - 爱因斯坦,场的分类,静态场（Static Field）,时变场（Time-varied Field）,场物理量不随时间变化，如静电场，稳恒磁场等,场物理量随

3、时间变化。本课程主要讨论随时间正弦或余弦变化的时变场，称时谐场,2. 三种常用的坐标系,直角坐标系,单位矢量：,基本变量：,位置矢量：,任意矢量：,圆柱坐标系,单位矢量：,基本变量：,(单位矢量沿坐标增加方向，彼此正交，且构成右手螺旋关系),柱坐标系与直角坐标下的单位矢量之间的关系,xy平面上的投影图,单位矢量e、e 随 坐标变化，且,位置矢,矢量表示：,r的微分: (?),球坐标系,单位矢量：,基本变量：,(单位矢量沿坐标增加方向，彼此正交，且构成右手螺旋关系),rz圆面,xy圆面,球坐标系与直角坐标下的单位矢量之间的关系,P,球坐标中的单位矢量都非常矢量，随球坐标 、变化,任意矢量,等值面

4、,3. 标量场的描述,一个标量场可以用一个标量函数来表示,在直角坐标系中,一个标量场可以用等值面和梯度来描述。,- 等值面方程,在三维空间，上述方程给出等值曲面；在二维空间，给出等值曲线。 例如真空中孤立点电荷的电位函数,电位的空间分布就构成电位场(标量场)。当电位 取不同的常数C时，在三维空间，等值面是同心的球面族；在二维空间，等值线是同心的圆族。,令常数C取遍所有可能的取值，绘出的等值面族可以反映出标量场u的分布状况。,方向导数和梯度,方向导数,标量场u(x,y,z)的等值面只能描述场量u的分布状况，不能反映场量沿空间各个方向的变化情况以及沿什么方向变化最快，为此引入方向导数和梯度概念。,

5、意义：沿 l 方向每单位长度标量 u 的变化量,直角坐标系中，方向导数,令l方向的方向余弦cos、cos、cos，则,通过计算方向导数可以给出标量场u沿任意方向的变化情况，那么沿什么方向标量u变化最快？,梯度,（2）,显然，当l 方向与矢量u的方向一致时， 标量场u沿该方向的空间变化率，即方向导数，取最大值，而且此最大值就是矢量u 的模。矢量u 就称为标量场u的梯度(Gradient)，记为grad u，即,梯度u的物理意义： 其方向代表标量u空间变化最快的方向，其大小就是该最大的变化率。,在直角坐标系中，梯度u的计算式,该式可以改写为,是一个矢量微分算符,（3）,由算符的矢量特性不难判断下列

6、结果：,2 称为Laplace算符。,(3)、(4)两式是梯度u及算符在直角坐标系中的形式，通过坐标变换可得到它们在柱坐标和球坐标系中的形式：,熟悉这些结果,例子：已知,证明,解: (1) 在直角坐标系中,(2) 在直角坐标系中,(3) 在直角坐标系中,同理,所以,在电磁场中，通常以(x, y, z)表示源点(如点电荷)的坐标，以(x, y, z)表示场点(考察点)的坐标，因此以上几个结果在电磁场中很有用，大家要熟记它们。,当(x, y, z)=(0, 0, 0)时，R = r，以上各结果依然成立。,梯度u的性质,矢量性,标量u沿任意方向l 的方向导数等于其梯度在 该 方向上的投影。(链接),

7、标量场中每一点的梯度，与过该点的等值面 相垂直，且指向标量u 增加的方向。,任意标量场梯度的旋度恒等于0 。,令 ，则 ，即若矢量场B是无旋场，则总可以将其表示为另一标量场u 的梯度。,例如，静电场E 就是无旋场， ，因此静电场E可以写为 ，这里 是电位。,思考：静电场为什么是无旋场(其旋度为0)？,3. 矢量场的描述,矢量场F(r)可以用一些有向曲线来形象描述其矢量F 的空间分布 - 矢量线 （力线）。,矢量线,(a) 电场线,(b) 磁场线,矢量线的切向代表矢量的方向；矢量线的疏密代表矢量场的强弱,直角坐标系中,亥姆霍兹定理指出，要完全描述一个矢量场的性质必须从两个方面着手：散度(或通量)

8、以及旋度(或环流),矢量场的通量和散度,矢量场通量,定义 面元矢量,面元dS的法向单位矢量,方向的选取原则：,电通量,磁通量,则闭曲面S的通量,为矢量F(r) 穿入S面和穿出S面的通量(力线数)的代数和，即净通量。,穿入为负穿出为正,例如：,(正源),(负源),闭曲面S的通量能够反映S内有源或无源的性质，但不能反映空间各点上的有源和无源性质( i.e. 场的局域性质)，为此引入散度概念。,矢量场散度,说明,矢量场的散度是一个标量,矢量场的散度是空间坐标的函数,矢量场的散度代表矢量场通量源的分布 - 源密度, 因此散度反映场的局域性质。,例如，静电场E的散度,- 微分形式的Gauss定理,若空间

9、某点M处， ，则该矢量场称为有源场(有散场) ，为源密度；若 ，则M点是个正通量源；若 ， 则M点是负源（静电场中对应正负电荷）。,散度的计算,可以证明(从略)，散度可以写成如下形式,(a) 直角坐标系,(b) 柱坐标系,(c) 球坐标系,e、e 随坐标变化,例1：计算位矢r的散度 。,解：在直角坐标系中,散度的结果不随坐标系而异，前面介绍的梯度和后面将引入的旋度亦然。,例2：原点处点电荷q产生的电位移矢量 ，求电位移矢量D的散度。,解：在直角坐标系中,r = 0(原点)以外的空间D的散度为0，故原点以外的空间是无源场。,散度定理,矢量分析中有关的散度的一个重要定理：,称散度定理(或Gauss

10、定理)。 S是矢量场F 中任意的闭曲面，V是S所围的体积。,该公式表明了区域V 中的场与边界S上的场之间的关系。从散度定义，可以得到,两边积分即得散度定理。,矢量场的环流和旋度,矢量场环流,矢量的环流描绘出矢量场的重要性质：,若 F(r)为无旋场、保守场 （矢量线非闭合）,若 F(r)为漩涡场(有旋场)、非保守场 （矢量线闭合）,例如：,稳恒磁场是有旋场，磁场线构成封闭曲线，呈漩涡状,电流i是产生漩涡磁场的源，称漩涡源。,静电场的电场线是非闭曲线(起于正电荷终止于负电荷)，场是无旋的、保守的。,再如,由于其环流为0，故静电场无漩涡源，但有通量源(电荷)。,矢量场的环流描述了围线C所围空间的漩涡

11、源的有无(场的整体性)，但不能反映矢量场空间各点上漩涡源的具体分布状况(场的局域性)，这就需要引入旋度概念。,1. 环流面密度,矢量场旋度,在矢量场 空间中，围绕某点M取一面元S，其边界曲线为C，面元法线方向为 ，当面元无限缩小 时，极限 就是矢量场F在点M处沿法线方向 的环流面密度，记作 ，即,表示矢量场 在点M处沿 方向的漩涡源密度，如前例的稳恒磁场情形,上式中，C的绕行方向（积分方向）须与面元S的法线方向构成右手螺旋。,2. 旋度(Rotation),矢量在空间某点的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度,当面元矢量方向选取为和旋度方向一致时，旋度的大小就是环流面密度，故有旋度的物理意义：,

12、为矢量场漩涡源的分布密度，在恒定磁场的情况下，它就是电流密度。,若 ，M点有漩涡源;,若 ，M点无漩涡源;,矢量场的旋度反映出场的局域性质。,旋度的计算,可以证明(从略)，旋度可以写成如下形式,(a) 直角坐标系,其结果可以用行列式表示：,(b) 柱坐标系,(c) 球坐标系,(a) 直角坐标系,例1：计算位矢r的旋度 。,解：在直角坐标系中,例2：利用直角坐标证明,矢量场旋度的一个重要性质：,任意矢量场旋度的散度恒为0，即,令 ，则 ，即若矢量场B是无散场，则总可以将其表示为另一矢量场A 的旋度。,例如，稳恒磁场B就是无散场， （为什么），因此磁场B可以写为 ，这里A是矢量磁位。,回顾,Stockes定理,式中，C是曲面S的围线，两者构成右手螺旋。,4. 亥姆霍兹定理,矢量场的分类,根据矢量场的散度和旋度值是否为零进行分类：,调和场,若矢量场F在某区域V 内，处处有： 以及 , 则在该区域V内，场 F 为调和场。,注意：不存在在整个空间内散度和旋度处处均为零的矢量场，因为任何物理场都是有“源”的。,无旋场,无散场,有散有旋场 (一般的情形),按照矢量叠加规则，一个有散有旋场可以表示为一个无旋场 (必有散)和无散场 (必有旋)的叠