经济数学(函数习题及答案)

1、第一章 函数 习题 11 1下列各组函数是否相同？为什 么？ (1) f( )= 与 与 (4) 解 (1)因为对 (-, +), 都有定义,且 所以两个函数相同. (2)因为两个函数的对应规则不同,所以两个函数不同. (3)因为函数 的定义域为 而函数 的定义域为 所以由d1d2知, 两个函数为不相同的函数. (4) 两个函数的对应关系相同，定义域相同，故两个函数相同. 2求下列函数的定义域: 解（1）由偶次根式的定义可知, 应满足关系式 故函数的定义域为 . (2）由关系式 解得 . 故函数的定义域为 . (3) 要使该函数有意义, 应满足关系式 解得 .故函数的定义域为 d( )= .

2、（4）因为分段函数的定义域为各分段函数定义域之并集，故 d( )=(-, 0)0, 2(2, +)=( -, +). 解 当 = 0时, . 当 = 2时, . 当 = -t时, , 所以 . 当 时, , 所以 . 当 = (t0)时, , 所以 . 当 时, . 当 时, , 所以 . 故 . 4求下列函数的值. (1) (2) ， 求 解 (1) 当 =0时, f(0)=1. 当1 + a 1时, 即a 1, 即a 0时, 即 当 = -1.5 0)，求 的定义域; (3)若 的定义域是0，1， 求 的定义域; (4)若 的定义域是-1，1,求 的定义域. 解 (1) 因为 中的 满足

3、-4 4 所以 中的 必须满足 ,即 . 故函数 的定义域是-2, 2. (2)欲使函数有定义,须且只需使 和 同时有定义, 于 是 即 a 2a. 故函数 的定义域为a, 2a. (3) 因为 中的 ,必须满足 ,即 1 10. 故函数 的定义域为1,10. (4) 由 的定义域为-1，1,得 -1 1 即 0 2 故函数 的定义域为0, 2. 6.设函数 对一切正数都满足方程 = + .试证下列各式： （1） （2） （3） 证 (1)在已知方程中,令 =1, =1,得 即 . (2)在已知方程中,令 , 则 即 . (3)在已知等式中, 不变,而将y用 代换,得 将(2)式代入上式,得

4、. 7. 当 为何值时 的定义域是(-，+). 解 当 时, ,此时函数的定义域为(-，+). 当 时,只要 , 即 ,也就是0 k 2时, 函数的定义域为(-，+). 故当0 k 2时, 函数 的定义域是(-，+). 习题 12 1. 判断下列函数的单调性： 解 (1) 对于指数函数 ，底数 ，故是单调减函数. (2) 对于对数函数 (3) 因为 的定义域为（0，+）,对于 1, 2 （0，+），当 10, 即 时，有 , 而当 0,即 - 0时，有 , 于是 所以该函数 为偶函数. （5）因为 （-，0）（0，+），均有 所以该函数 为偶函数. (6) 因为 （-,+）, 均有 所以该函数

5、 为奇函数. 3. 下列函数是否为周期函数，如果是周期函数，求其周期. （1） =|sin | (2) = cos 解 (1) 令 = , 则|sin( +t)|= |sin | .而满足上式的t之最小正值为.因此, 是以为周期的周期函数. (2) 设 , 则 当 = 0 时, 由tcost = 0, 得t1 = ; 当 = 时, 由 . 由于 不满足 ,t均为唯一正值, 即t随 的变化而变, 所以 不是周期函数. 4. 证明函数 在 上是单调增函数. 证 因为 均有 即 故 为单调增函数. 5. 为定义在（-1，1）上的奇函数，若 在（0，1）内是单调增函数, 证明在（-1，0）内也单调递增

6、. 证 对于 x1, x2 （-1，0）,设 1 2，由已知得 , 其中 - 1, - 2 （0，1）. 则 即 故 在（-1，0）内也单调递增. 6*. 证明 不是周期函数. 证 因为d() = 0,+) ,不是以原点为中心的对称集合,所以 不是周期函数. 7. 证明函数 在其定义域内是有界的. 证 因为 所以 故由函数有界的定义知，函数 在其定义域内是有界的. 8. 设函数 的定义域为（-，0）（0，+）且满足 , 其中a，b，c均为常数，|a|b| . 证明 为奇函数. 证 在已知等式中，用 代替 , 得 解方程组 , 得 因为 所以 为奇函数. 9. 证明定义在对称区间上的任意函数可以

7、写成一个偶函数和一个奇函 数之和. 证 设 是定义在对称区间i上的任意一个函数, 而 则令 因为 且 即 且 故函数 可表示为偶函数f1( )与奇函数f2( )之和. 习题 13 1 1 求下列函数的反函数及其定义域： 解 （1）由所给函数解出x , 得 交换x, y 得, 反函数 . (2) 由已知函数解出x ,得 交换x, y 得, 反函数 (-, +). (3) 当0 2时, 由 得 当2 x 4时, 由 ,得 所以原函数的反函数为 其定义域为0，6. （4）由所给函数解出x, 得 交换x, y得, 反函数 . 2 2 下列函数是由那些简单函数复合而成的. 解（1）该函数是由幂函数 数

8、复合而成的. （2）该函数是由幂函数y = u2与正弦函数 复合而成. （3）该函数是指数函数 , 幂函数 及余弦函数 复合而成的. (4) 该函数是由幂函数 , 对数函数 复合而成. 3. 已知 解 由复合函数定义, 得 。 4. 设 ，求 . 解 因为当 +11， 即 4. 所以函数的定义域为 . 2. 设 ，求 的值. 解 因为 的定义域为-1,1,值域为 所以 . 3. 已知奇函数y = 在定义域-1,1上是减函数且 求实数a的范围. 解 因为 , 且函数 为奇函数, 所以 由 在-1,1上为减函数, 得 解之,得a的取值范围为(1, . 4. 已知 解 由于 , 于是 且 解之, 得

9、 即 . 5已知函数 的图形，作出下列各函数的图形： 解 (1） 的示意图形见图11所示. （2） 的示意图形见图12所示. （3） 的示意图形见图13所示. 图11 图11 图12 图13 6. 已知 解 令 将其代入已知条件, 得 解方程组 得 . 7设函数 的图形如图14 所示, 试写出其表达式，并做出函数 的图形. 解 由所给图形知函数的表达式为 图14 因 的图形与 的图形关于x轴对称, 故 图形如图15所示. 图15 8已知 解 令 ，则 于是 ,由此得y 1且 习题 15 1将长度为100cm的金属丝分成两段，第一段围成一个正方形，第 二段围成一个圆，设第一段长度为a，正方形与圆

10、的面积之和为s, 试将s 表示成a的函数. 解 设正方形的面积为s1, 圆的面积为s2, 则 于是 . 2某企业拟建一个容积为v的长方形水池，设它的底为正方形，如 果 池底所用材料单位面积的造价是四周单位面积造价的2 倍，试将总造价 表 示成底边长的函数，并确定此函数的定义域. 解 设四周单位面积的造价为a, 总价为y, 底边长为x, 则 . 3. 某产品的产量为x吨，固定成本为b（b0）元，每生产一个单位产 品总成本增加a（a0）元，试将总成本c及平均成本c表示为x的函数. 解 总成本函数 c = b + ax 平均成本函数 (x0). 4某厂生产的150克袋装方便面，每袋出厂价为0.3元，

11、销量总在一 万袋左右徘徊，通过革新，提高效率后，逐步降低价格占领市场。据统 计， 每袋降低3分钱，市场需求量增加约0.3万袋，试求价格为p时的需求量 qd，并求出当p = 0.21时的需求量. 解 设线性需求函数为 为常数)， 由题意得方程组 得 a = 4, b = 10. 故所求线性需求函数为 于是当p = 0.21时, qd = 1.9，即当价格为0.21时，需求量为1.9万袋. 5. 已知下列需求函数和供给函数，求相应的市场均衡价格p*. (1) ， （2） 解 设市场均衡价格p*，则由等式qd(p) = qs(p), 得 （1） 即 p*=5. （2）将qs = p -3 , 代入

12、解得 p*= 8. 6设销售商品的总收入r是销售量x的二次函数.已知x = 0，2，4 时，相应的r = 0，6，8. 试确定r与x的函数关系. 解 由题意设总收入r与x的函数关系为 将x=0. r=0；x=2, r=6；x=4, r=8分别代入关系式中，得 即 故所求总收益函数为 . 某产品年产量为x台，每台售价180元，当年产量在300台以内 时，可以全部售出；当年产量超过300台时.经广告宣传后可以多售出 200台,每台平均广告费20元；生产再多一些，本年内就售不出去，试将 本年的销售收入r 表示为年产量x的函数. 解 由题意知 当x300时，收入r = 180 x (元) 当300x

13、500时，收入r = 30020+180 x-20 x = 6000+160 x (元) 当500x时，收入r = 6000+160500 = 86000（元） 故本年销售收入r为年产量x的函数为 . 某种玩具定价元件，每月可售出1000件, 若每件售价降低 0.01元,则可多售出10件.试将总收入表示为多售出件数的函数. 解 设总收入为r，多售出件数为x件，则每件应降低 于是总收入 所以将总收入r表示为多售出件数x的函数关系为 . r = 5000 + 4x -0.001x2（元） 9. 某种彩色电视机每台售价为1500元, 每月可销售2000台,每台售价 降50元时,每月可增销100台,试

14、求该电视机的需求函数. 解 电视机的需求量为qd，价格为p 则需求函数为 且为常数) 将p = 1500, qd = 2000; p = 1450, qd = 2100分别代入需求函数中, 得 即 a = 5000, b = 2. 所以该电视的需求函数为 综合习题一 1. 选择填空： （1）函数y=arcsin(ln )的定义域为（ ）. 1，e e -1，e -1，1 1，+. （2）设 是定义在 的偶函数，g( )是定义在 的奇函数，则下列函数中（ ）是奇函数. . （3）设函数 的定义域是-4，-0， 则g( ) = ( ). sin cos tan cot . （4）设 ， = ( )

15、. 1+ln( 2+1) 1+ . (5) f( )=| sin | ， (-，+)是（ ）. 有界函数 单调函数 周期函数 偶函数. 解 （1）; （2）; （3）; （4）; (5) . 2. 已知 在r上有定义，且已知在 时函数图形如图16所示： （1） 是否为偶函数？如果是， 请写出 的具体表达式，并作出 0 时函数的图形. （2）y = 是否为奇函数？如果是，请 图16 写出y = 的具体表达式，并作出函数的图形；如果不是请说明理由. 解（1） 是偶函数. 当 0时，函数如图17: （2）不是. 因为在 = 0已成多值函数. 3. 根据下列图形判断函数的单调性. 图17 图1 图18

16、 图19 答（a）图18是减函数； (b) 图19是增函数. 4下列各图形是否为以 为自变量的函数图形，若是，找出图形所 表示函数的定义域及值域. 图110 图111 答（1）图110是函数的图形，d ( ) = -3, 2, z( ) = -2, 2. (2) 图111不是函数的图形，因它是多值对应. 5. 设 求 、 并作出这两个函数的图形. 解 , 如图112所示. ，如图113所示. 图112 图113 6.设 ，证明 ，并求 . 证 ，则 所以 即 . 7. 设 是奇函数，且当 0时， ，求 ，并判断它是否有反函数，若有反函数则求出其反函数. 解 由 是奇函数，有 即 又因为当 0时

17、，有 所以当 0时， 是单调增函数， 0时, 是增函数. 故 在（-，+）上有反函数 . 8. 设 . 求 的解析式. 解 因为 所以 . 9. 设 解 由 知 (1)当 时，f ( )= 1,于是 (2)当 时, = 0,于是f f ( ) = f (0) = 1 由(1), (2)可知 f f ( )=1 . 10.设 ,求函数 解 因为 (1) 当 , 有 （2）当 , 有 故结合（1）、（2），得 . 11. 设 是奇函数，f (1) = a且f ( +2)- f ( ) = f (2）. (1) 试用a表示f (2)与f (5); (2) 问a取何值时， 以2为周期. 解 (1)由 是奇函数知, 因为 ，所以令 = -1, 得 (2) = 2a. 又分别令 =3与 =1, 有 得 (5) = 5a. (2)由 知,当且仅当(2) = 0, 即2a = 0时,就恒有 故当a = 0时, 以2为周期. 12. (最优批量问题）某工厂生产某中产品，年产量为a吨，分若干 批 进行生产，每批生产准备费为b元，设产品均投放市场，且上一批卖完 后 立即生产下一批，即平均库存量为批量的一半. 设每年每吨库存费为