高中全程复习方略配套课件：8.5椭 圆.ppt

1、第五节 椭 圆,三年26考 高考指数: 1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）. 2.了解椭圆的实际背景及椭圆的简单应用； 3.理解数形结合的思想.,1.椭圆的定义、标准方程、几何性质是高考的重点，而直线与椭圆的位置关系既是高考的重点也是高考的热点； 2.直线与椭圆的位置关系，往往与向量、函数、不等式等知识交汇命题； 3.选择、填空题常考查椭圆的定义、标准方程、几何性质；解答题经常以两问的形式出现，第一问考查椭圆的定义、标准方程以及几何性质，第二问则考查直线与椭圆的位置关系及学生分析问题、解决问题的能力.,1.椭圆的定义 (1)满足条件 在平面内 与

2、两个定点F1、F2的距离之_等于常数 常数大于_ (2)焦点：两定点 (3)焦距：两_间的距离,和,|F1F2|,焦点,【即时应用】 判断下列点的轨迹是否为椭圆.(请在括号内填“是”或“否”) (1)平面内到点A(0，2)，B(0，-2)距离之和等于2的点的轨迹 ( ) (2)平面内到点A(0，2)，B(0，-2)距离之和等于4的点的轨迹 ( ) (3)平面内到点A(0，2)，B(0，-2)距离之和等于6的点的轨迹 ( ),【解析】由椭圆的定义可知:(1)距离之和小于|AB|，所以点的轨迹不存在；(2)距离之和等于|AB|，点的轨迹是以A、B为端点的一条线段；(3)符合椭圆定义，点的轨迹是以A

3、、B为焦点，长轴长为6的椭圆. 答案：(1)否 (2)否 (3)是,2.根据图形写出相对应的椭圆的标准方程和几何性质,标准方程,对称轴：坐标轴 对称中心：原点,长轴A1A2的长为2a 短轴B1B2的长为2b,图形,性质,范围,对称性,顶点,轴,图形,性质,焦距,离心率,a、b、c 的关系,【即时应用】 (1)思考：椭圆离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系? 提示：因为离心率 所以，离心率越接近 于1，b就越接近于0，即短轴的长接近于0，椭圆就越扁；离心 率越接近于0，a、b就越接近，即椭圆的长、短轴长越接近相 等，椭圆就越接近于圆，但永远不会为圆.,(2)已知椭圆 的焦点在y轴上，若椭圆的

4、离心率为 则m的值为_. 【解析】 的焦点在y轴上，所以a2=m, b2=2，离心率为 又离心率为 所以 解得m= 答案：,(3)已知椭圆的短轴长为6，离心率为 ，则椭圆的一个焦点到 长轴端点的距离为_. 【解析】因为椭圆的短轴长为6，所以b=3 又因为离心率为 ，所以 又因为a2=b2+c2 解组成的方程组得：a=5,c=4. 所以，焦点到长轴端点的距离为：a+c=9或a-c=1. 答案：9或1,椭圆的定义、标准方程 【方法点睛】 1.椭圆定义的应用 利用椭圆的定义解题时，一方面要注意常数2a|F1F2|这一条 件；另一方面要注意由椭圆上任意一点与两个焦点所组成的 “焦点三角形”中的数量关系

5、.,2.椭圆焦点不确定时的标准方程的设法 当已知椭圆的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为 (m0,n0,mn)，这样可避免讨论和复杂的计算；也 可设为Ax2+By2=1(A0,B0,AB)这种形式,在解题时更简便.,【例1】(1)(2012合肥模拟)P为椭圆 上一点，F1、F2为该椭圆的两个焦点，若F1PF2=60，则 =( ) (2)已知F1、F2为椭圆 的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=_. (3)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5、3，过P且与长轴垂直的直线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程.,【解

6、题指南】(1)已知向量 的夹角为60，选择公式 计算 从而把问题转化为求 的值，然后利用椭圆的定义及余弦定理可解；(2)注意|AF1|+|AF2|=10，|BF1|+|BF2|=10,且|AF1|+|F1B|=|AB|，再结合题设即可得出结论;(3)可先设椭圆的方程为 或 (ab0)，再根据题设条件求出相应的参数值即可.,【规范解答】(1)选D.由题意得 在PF1F2中，由余弦定理得,(2)由椭圆的定义及椭圆的标准方程得： |AF1|+|AF2|=10,|BF1|+|BF2|=10, 又已知|F2A|+|F2B|=12， 所以|AB|=|AF1|+|BF1|=8. 答案：8,(3)设椭圆方程为

7、 因为P到两焦点的距离分别为5、3，所以2a=5+3=8，即a=4，又因为过P且与长轴垂直的直线恰好过椭圆的一个焦点，所以(2c)2=52-32=16，所以c2=4，因此b2=a2-c2=12，所以椭圆方程为：,【互动探究】本例(3)将条件“过P且与长轴垂直的直线恰好过椭圆的一个焦点”改为“点P和两焦点构成的三角形为直角三角形”,结果如何？,【解析】当其中一个焦点为直角顶点时，与例题条件相同， 所以，椭圆方程为 ； 当直角顶点为点P时，则有(2c)2=52+32=34， 所以c2= ，又因为a=4，所以b2=a2-c2= ， 所以椭圆方程为： ； 综上可知：所求椭圆方程为： 或 .,【反思感悟

8、】1.在解决椭圆上的点到焦点的距离问题时，经常联想到椭圆的定义，即利用椭圆上的点到两焦点距离之和等于2a求解，涉及到椭圆上的点与焦点构成的三角形时，还常用余弦定理求解. 2.在求椭圆方程时，若已知椭圆上的点到两焦点的距离，可先求出椭圆长轴长，再想法求短轴长，从而得出方程；若已知点的坐标，可先设出椭圆的标准方程，再利用待定系数法求解； 当椭圆的焦点不确定时，应考虑焦点在x轴、在y轴两种情形，无论哪种情形，始终有ab0.,【变式备选】已知F1、F2是椭圆C： (ab0)的两个 焦点，P为椭圆C上的一点，且 若PF1F2的面积为9， 则b=_. 【解析】设|PF1|=r1,|PF2|=r2,则 2r

9、1r2=(r1+r2)2-(r21+r22)=4a2-4c2=4b2, b=3. 答案：3,椭圆的几何性质及应用 【方法点睛】 1.椭圆几何性质中的不等关系 对于椭圆标准方程中x、y的范围，离心率的范围等，在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到这些不等关系.,2.利用椭圆几何性质应注意的问题 求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当 涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系. 3.求椭圆的离心率问题的一般思路 求椭圆的离心率时，一般是依据题设得出一个关于a、b、c的等式(或不等式)，利用a2=b2+c2消去b，即可求得离心率或离

10、心率的范围. 【提醒】椭圆离心率的范围:0e1.,【例2】(2012淮南模拟)设椭圆 (ab0)的两个焦点 分别为F1、F2，点P在椭圆上，且 ，tanPF1F2=2,则 该椭圆的离心率等于_. 【解题指南】由 得F1PF2为直角三角形，再由 tanPF1F2=2得出两直角边的比为2，而斜边长为2c，由勾股 定理及椭圆的定义即可求出离心率.,【规范解答】因为 ，所以PF1PF2，得F1PF2为直 角三角形，又因为tanPF1F2=2，所以可设|PF1|=m，则 |PF2|=2m，2a=3m，2c= m， 所以离心率 答案：,【反思感悟】1.求椭圆的离心率的值的问题，关键是依据题设条件寻找关于a

11、、b、c的一个等式，或解方程求出离心率，或直接求出离心率； 2.在解方程求椭圆离心率的值时，要注意椭圆离心率自身的范围，有增根要舍去.,【变式训练】定义：离心率 的椭圆为“黄金椭圆”， 已知E： (ab0)的一个焦点为F(c,0)(c0)，则E为 “黄金椭圆”是“a、b、c成等比数列”的( ) (A)既不充分也不必要条件 (B)充分且必要条件 (C)充分不必要条件 (D)必要不充分条件,【解析】选B.若E为黄金椭圆，则 所以a,b,c成等比数列. 若a、b、c成等比数列，则b2=ac a2-c2=ace2+e-1=0，又0e1, 所以 ，故E为黄金椭圆.,【变式备选】如图，在平面直角坐标系xO

12、y中，点A为椭圆E： (ab0)的左顶点，B，C在椭圆E上，若四边形OABC为 平行四边形，且OAB30，则椭圆E的离心率等于_.,【解析】依题设知：点C的坐标为( )，又因为点C在椭圆 E上，所以有 解得a2=9b2， 因此，a2=9(a2-c2)，即 所以椭圆E的离心率等于 答案：,直线与椭圆的位置关系 【方法点睛】 1.直线与椭圆位置关系判断的步骤 首先：联立直线方程与椭圆方程； 其次：消元得出关于x(或y)的一元二次方程； 得出结论：当0时，直线与椭圆相交；当=0时，直线与椭圆相切；当0时，直线与椭圆相离.,2.直线被椭圆截得的弦长公式 设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1)、B(x

13、2，y2), 则 (k为直线斜率).,3.直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法,弦 长,根与系数的关系、弦长公式,中点弦或弦的中点,点差法,【提醒】利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.,【例3】(2011北京高考)已知椭圆 过点(m,0)作圆x2+y2=1的切线l交椭圆G于A,B两点. (1)求椭圆G的焦点坐标和离心率； (2)将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值. 【解题指南】(1)根据标准方程可求出焦点坐标和离心率； (2)先讨论切线l斜率不存在时的两种情况，当斜率存在时，联立切线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系及弦长公式可表示出|AB|

14、，再求|AB|的最大值.,【规范解答】(1)由已知得a=2,b=1，所以 所以椭圆G的焦点坐标为 离心率为 (2)由题意知，|m|1. 当m=1时，切线l的方程为x=1，点A,B的坐标分别为 此时 当m=-1时，同理可得 当|m|1时，设切线l的方程为y=k(x-m). 得(1+4k2)x2-8k2mx+4k2m2-4=0.,设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2). 又由l与圆x2+y2=1相切， 得 所以,由于当m=1时，|AB|= 当且仅当 所以|AB|的最大值为2.,【反思感悟】1.通过本题的解答可知，已知椭圆的标准方程，可直接求出椭圆的焦点坐标、离心率，也可求出其顶点坐

15、标、长轴长、短轴长等.求直线被椭圆截得的弦长的最值，关键是求出弦长的解析式，然后利用函数的性质或基本不等式求最值； 2.在求切线方程时，要注意讨论直线的斜率存在与不存在两种情况.,【变式训练】若F1、F2分别是椭圆 的左、右焦 点，P是该椭圆上的一个动点，且 (1)求出这个椭圆的方程； (2)是否存在过定点N(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B， 使 (其中O为坐标原点)？若存在，求出直线l的斜率k；若 不存在，说明理由,【解析】(1)依题意，得2a=4, 所以 椭圆的方程为 (2)显然当直线l的斜率不存在，即x=0时，不满足条件 设l的方程为y=kx+2， 由A、B是直线l与椭圆的两

16、个不同的交点， 设A(x1,y1)，B(x2,y2)，,消去y并整理，得 (1+4k2)x2+16kx+12=0, =(16k)2-4(1+4k2)120， 得 ,由可知k=2， 所以，存在斜率k=2的直线l符合题意,【满分指导】直线与椭圆综合问题的规范解答 【典例】(12分)(2011江苏高考)如图， 在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭 圆 的顶点，过坐标原点的直线 交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限， 过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k.,(1)当直线PA平分线段MN时，求k的值； (2)当k=2时，求点P到直线AB的距离d； (3)对任

17、意k0，求证：PAPB. 【解题指南】(1)利用MN的中点在PA上即可求解； (2)先求点P的坐标，再求出AB的方程，就能求出距离d;(3)证明斜率之积为-1即可.,【规范解答】(1)由题意知，a=2,b= 故M(-2,0),N(0, ). 所以线段MN的中点的坐标为 ，由于直线PA平分线段MN， 故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过坐标原点，所以 3分 (2)直线PA的方程为y=2x，代入椭圆方程得 解得 x= ，因此P( , ),A(- ,- ), 于是C( ,0),直线AC的斜率为,所以直线AB的方程为 5分 因此 7分 (3)方法一：将直线PA的方程y=kx代入 ， 解得x= 记=

18、 8分 则P(,k),A(-,-k)，于是C(,0)，故直线AB的斜率 为 ，直线AB的方程为y= (x-)，代入椭圆方程得 (2+k2)x2-2k2x-2(3k2+2)=0，解得 或x=-， 10分,因此 于是直线PB的斜率为 因此k1k=-1，所以PAPB. 12分 方法二：设P(x1,y1)，B(x2,y2),则x10,x20,x1x2， A(-x1,-y1),C(x1,0).8分 设直线PB，AB的斜率分别为k1,k2.因为C在直线AB上，所以,从而 10分 因此k1k=-1，所以PAPB.12分,【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：,1.(2011新课标全国卷)椭圆 的离心率为( ) (A) (B) (C) (D) 【解析】选D.直接求 故选D.,2.(2012榆林模拟)已知椭圆C： (ab0)的离心率 为 ,短轴长为2，