利用导数研究函数的单调性和极值

1、利用导数研究函数的单调性和极值1.(福建文)（本小题满分12分）已知函数且 （i）试用含的代数式表示； （）求的单调区间； 2(2009江西文)（本小题满分12分）设函数（1）对于任意实数，恒成立，求的最大值；（2）若方程有且仅有一个实根，求的取值范围 3(陕西文)（本小题满分12分）已知函数求的单调区间； 若在处取得极值，直线y=m与的图象有三个不同的交点，求m的取值范围。4（天津文）（本小题满分14分）已知函数，其中（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）当时，求的单调区间； 5.【高考江苏18】若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点。已知是实数，1和是函数的两个极值点（1）求和的

2、值；（2）设函数的导函数，求的极值点； 6. （2013年高考陕西卷（文）已知函数. () 求f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程; () 证明: 曲线y = f (x) 与曲线有唯一公共点. 7（2013年高考北京卷（文）已知函数.()若曲线在点)处与直线相切,求与的值.()若曲线与直线 有两个不同的交点,求的取值范围.8.（福建卷（文）已知函数(,为自然对数的底数).(1)若曲线在点处的切线平行于轴,求的值;(2)求函数的极值;1. (福建文)（本小题满分12分）已知函数且 （i）试用含的代数式表示； （）求的单调区间；（i）依题意，得 由得（）由（i）得（ 故 令，则或

3、 当时， 当变化时，与的变化情况如下表： +单调递增单调递减单调递增由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为由时，此时，恒成立，且仅在处，故函数的单调区间为r当时，同理可得函数的单调增区间为和，单调减区间为综上：当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；当时，函数的单调增区间为r；当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为2(2009江西文)（本小题满分12分）设函数（1）对于任意实数，恒成立，求的最大值；（2）若方程有且仅有一个实根，求的取值范围解：(1) , 因为, 即 恒成立, 所以 , 得，即的最大值为(2) 因为 当时, ;当时, ;当时, ; 所以 当时,取极大值 ; 当时,取极小

4、值 ; 故当 或时, 方程仅有一个实根. 解得 或.3(2009陕西文)（本小题满分12分）已知函数求的单调区间； 若在处取得极值，直线y=m与的图象有三个不同的交点，求m的取值范围。解析：（1）当时，对，有当时，的单调增区间为当时，由解得或；由解得，当时，的单调增区间为；的单调减区间为。（2）因为在处取得极大值，所以所以由解得。由（1）中的单调性可知，在处取得极大值，在处取得极小值。因为直线与函数的图象有三个不同的交点，又，结合的单调性可知，的取值范围是。（11天津文）4（本小题满分14分）已知函数，其中（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）当时，求的单调区间；（）解：当时，所以曲线在点处的

5、切线方程为 （）解：，令，解得因为，以下分两种情况讨论： （1）若变化时，的变化情况如下表：+-+所以，的单调递增区间是的单调递减区间是。 （2）若，当变化时，的变化情况如下表：+-+所以，的单调递增区间是的单调递减区间是5.【2012高考江苏18】（16分）若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点。已知是实数，1和是函数的两个极值点（1）求和的值；（2）设函数的导函数，求的极值点；解：（1）由，得。 1和是函数的两个极值点， ，解得。 （2） 由（1）得， ， ，解得。 当时，；当时， 是的极值点。 当或时， 不是的极值点。 的极值点是2。（2013年高考陕西卷（文）6.已知函数.

6、() 求f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程; () 证明: 曲线y = f (x) 与曲线有唯一公共点. 解:() f (x)的反函数,则y=g(x)过点(1,0)的切线斜率k=. .过点(1,0)的切线方程为:y = x+ 1 () 证明曲线y=f(x)与曲线有唯一公共点,过程如下. 因此, 所以,曲线y=f(x)与曲线只有唯一公共点(0,1).7（2013年高考北京卷（文）已知函数.()若曲线在点)处与直线相切,求与的值.()若曲线与直线 有两个不同的交点,求的取值范围.解:由,得. (i)因为曲线在点处与直线相切,所以 ,解得,. (ii)令,得. 与的情况如下: 所以函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,是的最小值. 当时,曲线与直线最多只有一个交点; 当时, , 所以存在,使得. 由于函数在区间和上均单调,所以当时曲线与直线有且只有两个不同交点.综上可知,如果曲线与直线有且只有两个不同交点,那么的取值范围是. 2013年高考福建卷（文）8.已知函数(,为自然对数的底数).(1)若曲线在点处的切线平行于轴,求的值;(2)求函数的极值;解:()由,得. 又曲线在点处的切线平行于轴, 得,即,解得