理论力学-7-刚体的平面运动.ppt

1、Nanjing University of Technology,理论力学课堂教学软件（7）,第二篇 运动学,理论力学,第7章 刚体的平面运动,第二篇 运动学, 7.1 刚体平面运动方程及运动分解, 7.2 平面图形上各点的速度分析, 7.3 平面图形上各点的加速度分析, 7.5 结论与讨论, 7.4 运动学综合应用举例,第7章 刚体的平面运动,第7章 刚体的平面运动,第7章 刚体的平面运动,第7章 刚体的平面运动,刚体的平面运动：刚体运动过程中，其上任意一点与某一固定平面的距离始终保持不变的运动。,第7章 刚体的平面运动, 7.1 刚体平面运动方程及运动分解,第7章 刚体的平面运动,刚体平面

2、运动方程,刚体平面运动简化为平面图形在自身平面内的运动, 平面运动的简化,练习：求平面运动扳手的运动方程？, 平面运动的简化,平面图形的运动可以看成是平移和转动的合成运动。,绝,牵,相, 平面运动的分解,基点,刚体的平面运动,随基点的平移,绕基点的转动,分解,合成,+,绝,牵,相, 平面运动的分解,选A为基点（base point）,平面图形的平面运动分解为,随同基点 A 的平移 + 围绕基点 A 的转动,绝,牵,相,在A点处假想地安放一个 平移坐标系, 平面运动的分解, 平面运动的分解,若选B为基点？,在B点处假想地安放一个 平移坐标系,平面图形的平面运动分解为,随同基点 B 的平移 + 围

3、绕基点 B 的转动,绝,牵,相, 平面运动的分解, 平面运动的分解, 平面运动的分解,思考1：平面运动的平移的轨迹、速度与加速度与基点是否有关？,vB vA,1. 平移的轨迹、速度与加速度都与基点选择有关。,思考2：平面运动转动的角速度、角加速度与基点是否有关？,w和a分别称为平面图形的角速度和角加速度。,2. 平面运动的转动角速度以及角加速度都与基点的位置无关。, 平面运动的分解, 7.2 平面图形上各点的速度分析,第7章 刚体的平面运动,定系Oxy,基点A,平移系Axy,平面图形S,平面图形的角速度 w,基点速度 vA,va= ve+ vr,vBA AB w,va= vB,ve= vA,v

4、r= vBA, 基点法,求：B点的绝对速度 vB？,B点的相对速度 vBA？,vB= vA+ vBA,平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和。,总结：“基点法”理论上基点可以选则在刚体上的任意位置，实际上基点应该选在速度已知的点，这样才能够便于计算。,椭圆规机构如图。已知连杆AB的长度l = 20 cm，滑块A的速度vA=10 cm/s 。求：连杆与水平方向夹角为30时，滑块B和连杆中点M的速度。,解（法1）：,wAB,30,对象：杆AB 运动：平面运动 方程：基点法，点A为基点, 基点法,例题1,将各矢量投影到坐标轴上得：,解之得,A,vA,B,wAB,30,

5、M,x,y,对象：杆AB 运动：平面运动 方程：基点法，点A为基点, 基点法,应用速度合成定理,vB= vA+ vBA,速度投影定理：平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。,将等式两边向AB连线方向投影：,注：从刚体角度理解：平面图形上A、B两点的距离保持不变这两点的速度在AB方向的分量必须相等。, 速度投影定理法,因此，速度投影定理对刚体的所有运动形式都是适用的。,解（法2）:,60,对象：杆AB 运动：平面运动 方程：速度投影法,此法能求出连杆AB的角速度？, 速度投影定理法,椭圆规机构如图。已知连杆AB的长度l = 20 cm，滑块A的速度vA=10 cm/s 。求：连杆与水

6、平方向夹角为30时，滑块B和连杆中点M的速度。,例题1,过A点作vA的垂直线PA，P A上各点的速度?,瞬时速度中心的概念,vC A,基点A,平移动系Axy,平面图形S,平面图形的角速度 w0,基点速度 vA,在直线PA上存在唯一一点C ：,C 点的绝对速度：v C 0。,vB= vA+ vBA,C 点称为瞬时速度中心，简称为速度瞬心。, 速度瞬心法,vC A,速度瞬心的特点,速度瞬心特点1瞬时性（不同的瞬时，有不同的速度瞬心） ；,速度瞬心特点2唯一性（一般情况，在每一瞬时，平面图形上都唯一地存在一个速度为零的点）；,若选C 为基点？,C 点的绝对速度v C 0,t 瞬时的速度瞬心C ,t瞬

7、时角速度w,速度瞬心特点3瞬时转动特性（平面图形在某一瞬时的运动都可以视为绕这一瞬时的速度瞬心作瞬时转动） 。,速度瞬心的特点,速度瞬心法：应用速度瞬心以及平面图形在某一瞬时绕速度瞬心作瞬时转动的概念，确定平面图形上各点在这一瞬时速度的方法。,瞬时转动与定轴转动区别？,速度瞬心特点1瞬时性,速度瞬心特点2唯一性,速度瞬心特点3瞬时转动特性,几种特殊情形下速度瞬心位置的确定,速度瞬心在哪里？,第一种情形,第二种情形,C,第三种情形,速度瞬心在哪里？,该瞬时，平面图形的角速度为零，各点的速度相等，但加速度一般不相等。,几种特殊情形下速度瞬心位置的确定,纯滚动,速度瞬心在哪里？,第四种情形,几种特殊

8、情形下速度瞬心位置的确定,解（法3）：,对象：杆AB 运动：平面运动 方程：速度瞬心法， C*为连杆AB的速度瞬心,C*,wAB,椭圆规机构如图。已知连杆AB的长度l = 20 cm，滑块A的速度vA=10 cm/s 。求：连杆与水平方向夹角为30时，滑块B和连杆中点M的速度。,例题1, 速度瞬心法,已知：曲柄滑块机构中，曲柄OAr，以等角速度 w0绕O轴转动，连杆ABl。在图示情形下连杆与曲柄垂直。,求：1、滑块的速度vB； 2、连杆AB的角速wAB 。,例题2, 7.2 平面图形上各点的速度分析, 例题2,解：,解法1基点法, 7.2 平面图形上各点的速度分析, 例题2,对象：连杆AB 运

9、动：平面运动 方程：基点法， A为基点,vA=r w0,vB= vA+ vBA,vB,vA,解法2速度投影法,vA=rw0 ， A 0，Bj0, 7.2 平面图形上各点的速度分析, 例题2,解：,对象：连杆AB 运动：平面运动 方程：速度投影法,当j00时如何？,解法3速度瞬心法？,已知：曲柄滑块机构中，曲柄OAr，以等角速度 w0绕O轴转动，曲柄处于水平位置；连杆ABl。,求：1、滑块的速度vB； 2、连杆AB的角速wAB 。,例题3, 7.2 平面图形上各点的速度分析, 例题3,解法1基点法, 7.2 平面图形上各点的速度分析, 例题3,解：,对象：连杆AB 运动：平面运动 方程：基点法，

10、 A为基点,vB vA r w0,vBA = 0 ,瞬时平移,解法2速度投影法,vA=r w0 ， A Bj0, 7.2 平面图形上各点的速度分析, 例题3,解：,对象：连杆AB 运动：平面运动 方程：速度投影法,解法3速度瞬心法？,图示机构，已知曲柄OA的角速度为w，OAABBO1O1Cr，角a = b = 60。求：滑块C的速度。,解：AB和BC作平面运动，其瞬心分别为C1和C2点，则,w,a,b,O,A,B,O1,C,C1,C2, 7.2 平面图形上各点的速度分析, 练习1,练习1, 7.3 平面图形上各点的加速度分析,第7章 刚体的平面运动,定系Oxy,基点A,平移系Axy,平面图形S

11、,平面图形的角速度 w,基点速度 vA,va= ve+ vr,vBA AB w,va= vB,ve= vA,vr= vBA,平面运动刚体上点的速度基点法,求：B点的绝对速度 vB？,B点的相对速度 vBA？,vB= vA+ vBA,平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和。,aa aB,求：B点的加速度？,ae aA,aC0,ar aBA,平面图形的角加速度a；,平面运动刚体上点的加速度基点法,定系Oxy,基点A,平面图形S,平面图形的角速度 w,基点速度 aA,平移系Axy,平面图形上任意一点的加速度等于基点的加速度与这一点相对于基点的加速度的矢量和。,平面运动

12、刚体上点的加速度基点法,例题4,曲柄滑块机构，OAr，ABl，曲柄以等角速度0绕O轴旋转。 求：图示瞬时，滑块B的加速度aB和连杆AB的角加速度 AB 。, 7.3 平面图形上各点的加速度分析, 例题4, 7.3 平面图形上各点的加速度分析, 例题4, 7.3 平面图形上各点的加速度分析, 例题4,解：对象：连杆AB 运动：平面运动 方程：以A为基点,1、确定连杆的角速度：, 7.3 平面图形上各点的加速度分析, 例题4,2、加速度分析,将加速度合成定理中各项向anBA方向投影,将加速度合成定理中各项向aA方向投影, 7.3 平面图形上各点的加速度分析, 例题4,已知：半径为R的圆轮在直线轨道

13、上作纯滚动。轮心速度为vO 、加速度为aO 。,求：轮缘上A、B二点的加速度。,例题5, 7.3 平面图形上各点的加速度分析, 例题5,圆轮的角速度为,又由于圆轮的半径为常数，则圆轮的角速度对上式求导即可得到。即,对象：圆轮 运动：平面运动 方程：速度瞬心法，A为速度瞬心,解：1、速度分析, 7.3 平面图形上各点的加速度分析, 例题5,研究A点：,选基点？,2、加速度分析：, 7.3 平面图形上各点的加速度分析, 例题5,研究B点：, 7.3 平面图形上各点的加速度分析, 例题5, 7.4 运动学综合应用举例,第7章 刚体的平面运动,1、平面运动理论用以分析同一平面运动刚体上两个不同点间的速

14、度和加速度联系。 2、当两个刚体相接触而有相对滑动时，则需用合成运动的理论分析两个不同刚体上相关点的速度和加速度联系。, 7.4 运动学综合应用举例,平面运动和合成运动的区别：,例题6,曲柄连杆机构带动摇杆O1C绕O1轴摆动。在连杆AB上装有两个滑块，滑块B在水平槽内滑动，而滑块D则在摇杆O1C的槽内滑动。已知：曲柄长OA=50 mm，绕O轴转动的匀角速度=10 rad/s。在图示位置时，曲柄与水平线间成90角；摇杆O1C与水平线间成60角，OAB=60。距离O1D=70mm。,求：摇杆的角速度和角加速度。, 例题6, 7.4 运动学综合应用举例,解：1、速度分析,由于vA平行于vB，可以确定

15、AD杆作瞬时平移，所以有,对象：滑块D为动点 动系：固连于摇杆O1C 绝对运动：平面曲线 相对运动：沿O1C槽直线运动 牵连运动：绕O1轴定轴转动,对象：AD杆 运动：平面运动 方程：速度瞬心法, 例题6, 7.4 运动学综合应用举例,va= ve + vr,动点：滑块D 动系：固连于O1C杆 分析D点加速度，有,2、确定摇杆的角加速度,上式中ate、 ar的大小未知； aa的大小及方向均未知，故有四个未知量，所以需要寻找补充方程。,再以A为基点，分析D点加速度，有, 例题6, 7.4 运动学综合应用举例,为求a1，需要分析D点的加速度，为此先求出AD杆的角加速度,以A为基点，B点加速度为,其

16、中,将矢量方程中的各项向矢量aA的作用线方向投影，解得AD杆的角加速度, 例题6, 7.4 运动学综合应用举例,上式中只有ate、 ar的大小两个未知量。式中其它量分别为, 例题6, 7.4 运动学综合应用举例,将矢量式中的各项向矢量ate 上投影，有,由此解得,例题7,试求：图示瞬时（ OAB=60 ）B点的速度和加速度。,A,平面机构中，曲柄OA以匀角速度 绕O轴转动，曲柄长OA=r，摆杆AB可在套筒C中滑动，摆杆长AB=4r，套筒C绕定轴C转动。, 例题7, 7.4 运动学综合应用举例,va= ve + vr,各矢量方向如图中所示，解得, 例题7, 7.4 运动学综合应用举例,解： 1、

17、速度分析 动点：A点 动系：固连于套筒C 绝对运动：以O点为圆心的圆周运动 相对运动：沿AB的直线运动 牵连运动：为绕C轴的定轴转,对象：AB杆 运动：平面运动 方程：以A为基点,将各矢量向x，y轴投影，,2、加速度分析, 例题7, 7.4 运动学综合应用举例,各矢量方向如图中所示，将矢量方程中各项向aC方向投影，得 到,将各矢量向x，y轴投影，,对象：AB杆，以A为基点,动点：A点 动系：固连于套筒C,例题8,已知：如图所示，AB=l=0.4m，vA恒为0.2m/s水平向右，当q=30时，AC=BC。,求：杆CD在图示瞬时的速度和加速度。, 例题8, 7.4 运动学综合应用举例,动点：CD上

18、套筒C 动系：固连于AB杆 绝对运动：上下直线运动 相对运动：沿AB直线运动 牵连运动：平面运动,解：1. 速度分析 对象：AB杆 运动：平面运动 方程：速度瞬心法，点C*为AB杆的速度瞬心, 例题8, 7.4 运动学综合应用举例, 例题8, 7.4 运动学综合应用举例,2. 加速度分析,AB杆作平面运动，以A为基点,将各矢量向与 垂直方向投影，得：, 例题8, 7.4 运动学综合应用举例,动点：CD上套筒C 动系：固连于AB杆,AB杆作平面运动，以A为基点,各矢量向与aC方向投影，得：,如图a所示，曲柄OA以匀角速度O绕O轴转动，连杆AB穿过套筒D，套筒D与曲柄CD相连，连杆AB的另一端连接

19、滑块B，滑块B在水平的滑道内运动。已知OACDADDBr。 试求：当曲柄OA和曲柄CD位于水平位置，BAO60时，曲柄CD的角速度和加速度。,练习2, 7.4 运动学综合应用举例, 练习2,解：1、求曲柄CD的角速度,对象：CD杆上D点 动系：固连于AB杆 绝对运动：绕C点圆周运动 相对运动：沿杆AB方向 牵连运动：平面曲线 方程：,对象：连杆AB 运动：平面运动 方程：用速度瞬心法求得连杆AB的角速度为, 7.4 运动学综合应用举例, 练习2,套筒D的牵连速度为,故有,则曲柄CD的角速度为, 7.4 运动学综合应用举例, 练习2,2、求曲柄CD的角加速度,选点A为基点，滑块B的加速度为,如图

20、c所示，将上式向OB投影得, 7.4 运动学综合应用举例, 练习2,以A为基点，分析D点加速度,以CD杆上的D点为动点，AB杆为动系,又因为,得到, 7.4 运动学综合应用举例, 练习2,其中,（大小未知）,如图d所示，将式向 方向投影得, 7.4 运动学综合应用举例, 练习2, 7.5 结论与讨论,第7章 刚体的平面运动,本章主要介绍平面图形上点的运动分析的两种方法：,第1种方法描述了点的连续运动过程（轨迹、速度和加速度），适应于计算机分析。但我们所介绍的方法，基于求解时需因问题而异，编制适用于各种情形的计算机通用程序仍然难度很大。对于多刚体系统，已有相应计算机程序可供选用。,1、运动方程求

21、导数法；,2、矢量方程解析法。,第2种方法有利于初学者加深对刚体运动复合等一系列基本概念的理解，它能满足本课程的基本要求。,关于求平面图形上某点速度：基点法、速度投影定理法和瞬心法。需熟练掌握。,至于求平面图形上某点加速度：基点法。熟练掌握。, 两种运动分析方法的选用,P154-155：74 ，77，79 （速度）,P154155：76 ，711 ，7 12,本章作业,P154-155：79 （加速度）,谢 谢 大 家,Nanjing University of Technology,附录： 习题解答,作业中存在的问题,1、逻辑性差。 对象：一定要指明研究对象； 运动：一定要进行运动分析：根据

22、选用的方法，画出相应的速度、加速度图； 方程：一定要指明列方程的理论依据。,3、有些同学平面运动理论和合成运动理论分不清。 平面运动理论：同一刚体的不同点； 合成运动理论：两个有相互运动的刚体。,2、平面运动中求解速度的三种方法： 基点法：选择速度、加速度运动量已知点作为基点。 速度投影法：不需要经由基点法投影，直接根据速度投影法可以列出方程。 速度瞬心法：一定要指明速度瞬心是哪一点。 以上三种方法对于同一对象，不需要交叉选用，选择合适的一种方法即可。, 74,附录： 习题解答,74 曲柄滑块机构中，如曲柄角速度w = 20rad/s，试求当曲柄OA在两铅垂位置和两水平位置时配汽机构中气阀推杆

23、DE的速度。已知OA = 400mm，AC = CB = 200 mm。,解：,1、当j = 90，270时，OA处于铅垂位置，右图表示j = 90情形， 对象：杆AB 运动：平面运动 方程：瞬时平移 vCvA,同理，j = 270时，vDE = 0 ,对象：杆CD 运动：平面运动 方程：vD只能沿铅垂方向，D为CD之瞬心 vDE0, 74,附录： 习题解答,2、j = 180，0时，杆AB的瞬心在B,j = 0时，如右图 对象：杆AB 运动：平面运动 方程：B为速度瞬心， vC = vA /2（）,对象：杆CD 运动：平面运动 方程：瞬时平移,同理j = 180时，vDE = 4m/s（）,

24、m/s（）, 77,附录： 习题解答,77 杆AB长为l = 1.5 m，一端铰接在半径为r = 0.5 m的轮缘上，另一端放在水平面上，如图所示。轮沿地面作纯滚动，已知轮心O速度的大小为vO = 20 m/s。试求图示瞬时（OA水平）B点的速度以及轮和杆的角速度。,解：对象：轮O 运动：平面运动 方程：速度瞬心为点C,对象：杆AB 运动：平面运动 方程：速度瞬心为点P,79 图示四连杆机构中，长为r的曲柄OA以等角速度w0转动，连杆AB长l = 4r。设某瞬时O1OA =O1BA = 30。试求在此瞬时曲柄O1B的角速度和角加速度，并求连杆中点P的加速度。, 79,附录： 习题解答,解： 对象：AB杆 运动：平面运动 方