(修改)数字滤波器的设计

1、第7章，数字滤波器设计，概述，7.1，IIR数字滤波器设计，7.2，FIR数字滤波器设计，7.3，智能仪器常用数字滤波器算法介绍，7.4，概述，本章主要介绍IIR数字滤波器和FIR数字滤波器的常用设计方法，并简要介绍智能仪器常用数字滤波器算法。在第一部分中，数字滤波器可以用n阶差分方程来描述，即(7-1)，或者用它的系统函数H(z)。(7-2)，(1)数字滤波器的设计一般包括以下四个步骤：1)根据任务要求，确定数字滤波器应达到的性能指标。此外，必须确定采样周期t或采样频率。2)确定数字滤波器的系统功能H(z)或h(n)，使其频率特性满足技术要求。第一节总结，3)用有限精度运算实现H(z)或h(

2、n)，包括选择合理的网络结构、合适的有效字长和有效数的处理方法。4)确定工程实现方法。用实际数字系统(通用计算机软件或专用数字滤波器硬件)实现H(z)或h(n)。第二节IIR数字滤波器的设计，IIR数字滤波器的设计方法可以分为两类：(1)模数转换法(2)直接设计法，(2)利用模拟滤波器成熟的理论和方法设计IIR数字低通滤波器的过程是：根据技术要求设计一个模拟低通滤波器，得到模拟低通滤波器的传递函数，然后按一定的顺序进行。本设计的关键问题是找到这种转换关系，并将其从S平面转换到Z平面。为了保证转换后的稳定性和满足技术要求，对转换关系提出了两个要求：1)因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，数字滤

3、波器仍然是因果稳定的。模拟滤波器的因果稳定性要求其传递函数的极点都位于S平面的左半平面。数字滤波器的因果稳定性要求所有极点都在单位圆内。因此，变换关系应该是S平面的左半平面映射到Z平面的单位圆内侧。2)数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频率响应，S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆上，对应的频率是线性的。将传递函数从S平面转换到Z平面的方法很多，其中脉冲响应不变量法和双线性变换法是工程中常用的方法。1.IIR数字低通滤波器采用脉冲响应不变方法设计，使数字滤波器的单位脉冲响应h(n)等于模拟滤波器的单位脉冲响应。也就是(7-3)，其中t是采样间隔。假设模拟滤波器只有一阶极点(如果有多个极点，逆拉普

4、拉斯变换将更加复杂)，并且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，分子多项式的阶次将由部分分数表示。(7-4)、1。用脉冲响应不变方法设计IIR数字低通滤波器，其中的一阶极点为。将执行逆拉普拉斯变换以获得、其中是单位阶跃函数。等间隔采样，采样间隔为t，对上述公式进行、和z变换，得到数字滤波器的系统函数h (z)、(7-5)、1.用脉冲响应不变方法设计IIR数字低通滤波器，并比较公式(7-4)和公式(7-5)，S平面上的极点，模拟信号的傅里叶变换与其采样信号的傅里叶变换之间的关系。IIR数字低通滤波器是用脉冲响应不变方法设计的，它将被代入上述公式，得到，(7-7)，因为数字滤波器的系统函数是从采样

5、信号中导出的，所以有1.IIR数字低通滤波器采用脉冲响应不变方法设计，设，即，(7-9)。根据第三章的知识，S平面的虚轴()映射到Z平面的单位圆(r1)，S平面的左半平面()映射到Z平面的单位圆()和S平面的右半平面()这表明，如果因果稳定，则转换后的H(z)仍然是因果的。IIR数字低通滤波器采用脉冲响应不变方法设计。此外，注意它是一个周期函数，可以写成任意整数。当模拟频率从变为时，数字频率从变为，并且根据公式(7-9)，即，它与具有线性关系。然而，根据公式(7-7)，从模拟信号到采样信号，拉普拉斯变换应该沿着虚轴是周期性的。如果原始模拟信号的频带不局限于两者之间，频率混叠将发生在奇数倍附近，

6、这将映射到Z平面并在附近产生频率混叠。脉冲响应不变方法的频率混叠现象如图7-1所示。1.IIR数字低通滤波器采用脉冲响应不变方法设计。这种频率混叠现象会使设计的数字滤波器的邻近频率特性与模拟滤波器的邻近频率特性有不同程度的偏离。在严重情况下，数字滤波器不能满足给定的技术规格。因此，要设计的滤波器是带限滤波器。如果不受频带限制，例如高通滤波器和带阻滤波器，则有必要在高通带阻滤波器之前增加一个保护滤波器，以滤除折叠频率以上的频带，从而避免频率混叠。然而，这将增加系统的成本和复杂性，因此高通和带阻滤波器不适合这种方法。图7-1脉冲响应不变方法的频率混叠现象。1.IIR数字低通滤波器是用脉冲响应不变方

7、法设计的，假设不存在频率混叠现象，即它满足方程(7-8)，并代入关系式，得到、表明用脉冲响应不变方法设计的数字滤波器可以在上述公式中，的幅频特性与采样间隔成反比，这样当t很小时，就会有过高的增益。为了避免这种现象，采用脉冲响应不变方法设计了IIR数字低通滤波器。此时，总而言之，脉冲响应不变方法的优点是频率坐标变换是线性的，即如果不考虑频率混叠现象，用这种方法设计的数字滤波器可以很好地再现原模拟滤波器的频率特性。另一个优点是数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位脉冲响应，并且时域特性非常接近。缺点是频率混叠，这适用于低通和带通滤波器的设计，但不适用于高通和带阻滤波器的设计。1.IIR数

8、字低通滤波器采用脉冲响应不变方法设计。例7-1知道模拟滤波器的传递函数是系统函数H(z)，它用脉冲响应不变方法转换成数字滤波器。解决方法：首先，把部分分数的极点写成，然后H(z)的极点是、1.用脉冲响应不变方法设计IIR数字低通滤波器。根据公式(7-5)，整理后发现公式中t为采样间隔，t的选择应大于滤波器最高截止频率的2倍。如果t太大，这里选择T1和T0.1s进行比较。如果T1s由表示，T0.1s由表示，则、1。IIR数字低通滤波器采用脉冲响应不变方法设计，其幅频特性如图7-2所示。图7-2a示出模拟滤波器的幅频特性，图7-2b示出转换成数字滤波器的T1s的幅频特性，图7-2c示出转换成数字滤

9、波器的T0.1s的幅频特性。显然，在T0.1s，其幅频特性与模拟滤波器非常相似，但在折叠频率附近有轻微的混叠现象。然而，对于T1s，频率混叠非常严重。1.用脉冲响应不变方法设计IIR数字低通滤波器；a)，b)，1。用脉冲响应不变方法设计IIR数字低通滤波器，或用脉冲响应不变方法用MATLAB函数impinvar实现模数滤波器转换。(c)图7-2中示例7-1的幅频特性。其次，采用双线性变换方法设计了IIR数字低通滤波器。脉冲响应不变方法的主要缺点是会产生频率混叠，使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应发生偏移。为了克服这一缺点，可以采用非线性频率压缩方法将整个S平面频率轴上的频率范围压缩到

10、两者之间，然后将其转换到Z平面。在非线性频率压缩后，用表示。这里，频率压缩是通过正切变换实现的：(7-10)、2。IIR数字低通滤波器采用双线性变换方法设计，其中t为采样间隔，当它从0变换到0时，S平面上的整个虚轴被完全压缩到该平面上的虚轴。这样，我们可以得到、(7-11)、(7-12)、(7-13)，其次，通过双线性变换方法设计IIR数字低通滤波器，公式(7-12)或公式(7-13)映射从s平面到平面，然后从平面到z平面。映射过程如图7-3所示。由于双线性变换具有从S平面到平面的非线性频率压缩功能，因此不可能产生频率混叠，这是双线性变换方法相对于脉冲响应不变方法的最大优点。另外，从平面到Z平

11、面的变换仍然采用标准的变换关系，平面间水平带的左半平面映射到Z平面单位圆的内侧，虚轴映射到单位圆。这样，当因果关系稳定时，转换后的H(z)也是因果关系稳定的。其次，用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器，并分析下面模拟频率与数字频率的关系。在等式(7-12)中，图7-3、(7-14)、2中存在双线性变换方法的映射关系。IIR数字低通滤波器采用双线性变换方法设计。上述方程表明，在S平面和Z平面之间有一个非线性的切线关系，如图7-4所示。接近线性关系接近0；当它增加时，它增加得越来越快；当接近时，接近。正是因为这种非线性关系，消除了频率混叠。图7-4双线性变换方法的频率变换关系。其次，采用双线性变

12、换方法设计了IIR数字低通滤波器。IIR数字低通滤波器和IIR数字低通滤波器之间的非线性关系是双线性变换法的缺点，它直接影响数字滤波器的频率响应，逼真地模拟了模拟滤波器的频率响应。幅频特性和相频特性的失真如图7-5所示。这种非线性影响的本质问题是，如果的比例是一致的，映射到Z平面的比例是不均匀的，但是随着增加而变得越来越密集。然而，如果模拟滤波器的频率响应具有分段常数的特性，那么转换到Z平面的数字滤波器仍然具有分段常数的特性，这主要是由于模拟滤波器的特征转折点的频率值和特征转折点的频率值之间的非线性关系。当然，对于不是分段常数的相位特性，仍然存在非线性失真。因此，双线性变换方法适用于具有碎片常

13、数特性的滤波器的设计。在实际应用中，滤波器的通带和阻带通常被设计为分段常数，因此双线性变换法得到了广泛的应用。设计时，注意边界频率之间的转换关系，如通带截止频率和阻带截止频率等。应通过公式(7-14)进行计算。其次，利用双线性变换设计IIR数字低通滤波器。图7-5通过双线性变换的振幅和相位特性的非线性映射。其次，利用双线性变换设计IIR数字低通滤波器，该滤波器可以通过简单的代数公式(7-12)直接转换为H(z)，这是该变换方法的优点。然而，当顺序稍高时，将H(z)排列成所需的形式并不是一个简单的任务。为了简化设计，双线性的语法是zd，pd，kd=双线性(z，p，k，fs)，2。IIR数字低通滤

14、波器采用双线性变换方法设计。在示例7-2中，图7-6所示的RC低通滤波器分别通过脉冲响应不变方法和双线性变换方法转换成数字滤波器。图7-6 RC低通滤波器，解决方案：首先，根据图7-6，写出滤波器的传递函数是用脉冲响应不变方法转换的，数字滤波器的系统函数是、2。用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器，并用双线性变换法进行转换。数字滤波器的系统功能为、网络结构分别为、a)、b)，网络结构如图7-7、2示例7-2所示。IIR数字低通滤波器采用双线性变换方法设计，假设为1000、T0.001s和0.002s，和的归一化幅频特性如图7-8所示。图7-8a显示了模拟滤波器的幅频特性，它是一个低通滤波器，

15、但有一个长尾巴。图7-8b是通过脉冲响应不变方法转换的数字滤波器的幅频特性。图中对应的模拟频率与采样间隔t有关，当T0.001时，对应的模拟频率为500赫兹；当T0.002时，相应的模拟频率为250赫兹。与图7-8a相比，原始模拟滤波器的幅度特性有很大不同，频率越高，差异越大。这是由频率混叠引起的。相对而言，T0.001s的混叠较少。图7-8c是通过双线性变换方法转换的数字滤波器。由于这种变换方法的频率压缩效应，滤波器处的幅度减小到零。然而，曲线的形状与原始模拟滤波器的幅度特性曲线的形状相差很大，这是由转换方法的非线性引起的。t较小，非线性的影响较小。其次，采用双线性变换方法设计了IIR数字低

16、通滤波器。总之，双线性变换方法适用于分段常数滤波器的设计。对于脉冲响应不变方法，尽管存在频率混叠(主要在附近)，但曲线形状与原始模拟滤波器非常相似(尤其在0附近)，因为频率是线性转换的。a)钢筋混凝土滤波器网络的幅频特性；b)使用脉冲响应不变方法的数字滤波器的幅频特性；c)使用双线性变换方法的数字滤波器的幅频特性；图7-8示例7-2中的数字滤波器；用双线性变换法确定IIR数字低通滤波器的幅频特性1)确定数字低通滤波器的技术指标：通带截止频率、通带衰减、阻带截止频率和阻带衰减。2)将数字低通滤波器的技术指标转换为模拟低通滤波器的技术指标。这里，主要是边界频率和的转换，和指数没有变化。如果采用脉冲响应不变方法，采用双线性变换方法，边界频率的转换关系为、2.IIR数字低通滤波器采用双线性变换方法设计；3)模拟低通滤波器是根据模拟低通滤波器的技术规范设计的。4)将模拟滤波器从s平面转换到z平面，得到数字低通滤波器系统函数。其次，采用双线性变换方法设计了IIR数字低通滤