第二章第十节函数模型及其应用

1、函数模型及其应用,1. 了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征， 知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义 2了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分 段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用,理 要 点 一、三种增长型函数增长速度的比较 在区间(0，)上，函数yax(a1)，ylogax(a1)，yxn(n0)都是 函数，但它们的 不同随着x的增大，yax(a1)的增长速度越来越 ，会超过并远远大于yxn(n0)的增长速度；而ylogax(a1)的增长速度则会越来越 ，图象逐渐表现为与x轴趋于 因此，总会存在一个x0，当xx0时，就有 .,增长速度,log

2、axxnax,平行,快,慢,增,二、几种常见的函数模型,三、解答函数应用题的一般步骤 1审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系， 初步选择数学模型； 2建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化 为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； 3求模：求解数学模型，得出数学结论；,4还原：将数学问题还原为实际问题的意义 以上过程用框图表示如下：,提示：直线上升：匀速增长，其增长量固定不变；指数增长：先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；对数增长：先快后慢，其增长速度逐渐缓慢,究疑点,直线上升、指数增长、对数增长的增长特点是什么？,题组自测 1一等腰三角形的周长是20，底

3、边y是关于腰长x的函数， 它的解析式为 () Ay202x(x10) By202x(x10) Cy202x(5x10) Dy202x(5x10),答案：D,2一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时 剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的 (),解析：由题意h205t,0t4.结合图象知应选B.,答案：B,3国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税； 超过800元不超过4 000元的按超过800元的14%纳税，超 过4 000元的按全稿费的11%纳税某人出了一本书，共 纳税420元，这个人稿费为 () A3 600元B3 800元 C4 00

4、0元 D4 200元,答案：B,4根据市场调查，某商品在最近40天内的价格P与时间t 的关系用图(1)中的一条折线表示，销售量Q与时间t的关系用图(2)中的线段表示(tN*),(1)分别写出图(1)表示的价格与时间的函数关系Pf(t)，图(2)表示的销售量与时间的函数关系Qg(t)； (2)求这种商品的销售额S(销售量与价格之积)的最大值及此时的时间,归纳领悟 1实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给 出，而是由几个不同的关系式构成如出租车票价与路程之间的关系，构建分段函数模型求解 2分段函数每一段自变量变化所遵循的规律不同，在应 用时，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出

5、来，再将其合到一起要注意各段变量的范围，特别是端点值,题组自测 1某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后 因库存积压降价，按九折出售，每件还获利 () A25元B20.5元 C15元 D12.5元,解析：九折出售时价格为100(125%)90%112.5元，此时每件还获利112.510012.5元,答案：D,2一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别为40 cm与60 cm，现将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角问怎样剪，才能使剩下的残料最少？,3某加工厂需定期购买材料，已知每公斤原材料的价格为 1.5元，每次购买原材料需支付运费600元，每公斤原材料每天的保管费用

6、为0.03元，该厂每天需要消耗原材料400公斤，每次购买的原材料当天即开始使用(即有400公斤不需要保管) (1)设该厂每x天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用y1关于x的函数关系式； (2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y最少，并求出这个最少值,解：(1)每次购买原材料后，当天用掉的400公斤原材料不需要保管，第二天用掉的400公斤原材料需保管1天，第三天用掉的400公斤原材料需保管2天，第四天用掉的400公斤原材料需要保管3天，第x天(也就是下次购买原材料的前一天)用掉最后的400公斤原材料需保管(x1)天 每次购买的原材料在x天内的保管费用：

7、 y14000.03123(x1)6x26x.,不改变本题的条件下，材料厂家有如下优惠条件：若一次购买不少于4 800公斤，每公斤按9折优惠，问该工厂是否可接受此条件？,归纳领悟 1有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、 利润问题、产量问题等构建二次函数模型，利用二 次函数图象与单调性解决,注意：在解决二次函数的应用问题时，一定要注意定义域,题组自测 1某林场计划第一年造林10 000亩，以后每年比前一 年多造林20%，则第四年造林 () A14 400亩B172 800亩 C17 280亩 D20 736亩,答案：C,答案：300,3某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率

8、为 1.2%，试解答以下问题： (1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式； (2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)； (3)计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万人(精确到1年) (1.012101.127,1.012151.195,1.012161.213),解：(1)1年后该城市人口总数为 y1001001.2%100(11.2%) 2年后该城市人口总数为 y100(11.2%)100(11.2%)1.2% 100(11.2%)2. 3年后该城市人口总数为 y100(11.2%)2100(11.2%)21.2% 100(11.2%)3. ,归纳领悟

9、 增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型yN(1p)x(其中N是基础数，p为增长率，x为时间)和幂函数模型ya(1x)n(其中a为基础数，x为增长率，n为时间)的形式解题时，往往用到对数运算和开方运算，要注意用已知表格中给定的值对应求解,一、把脉考情 通过对近三年高考试题的统计分析可以看出，对函数的实际应用问题的考查，这类题目更多地以社会实际生活为背景，设问新颖、灵活 题型主要以解答题为主，难度中等偏高，常与导数、最值交汇，主要考查建模能力，同时考查分析问题、解决问题的能力 预测2012年高考仍将以函数建模为主要考点，同时考查利用导数求最值问题,二、考题诊断 1(2010陕西高考)某学校

10、要召开学生代表大会，规定各班 每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数yx(x表示不大于x的最大整数)可以表示为 (),答案：B,解析：当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，可以看作先用该班人数除以10再用这个余数与3相加，若和大于等于10就增选一名代表，将二者合并便得到推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系，用取整函数y x(x表示不大于x的最大整数)可以表示为y ,2(2010湖北高考)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源 损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物 要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成 本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：