2013届高考文科数学一轮复习考案3.1 数列的概念

1、3.1数列的概念,真题探究,考纲解读,知识盘点,典例精析,例题备选,命题预测,基础拾遗,技巧归纳,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,本节是数列整章的基础,也是高考常考的基础知识.在新课标的要求中,降低了相应问题的难度,明确提出要通过日常生活实例来了解数列的概念,并把通项公式归为几种简单表示方法中其中一种,与列表法、图象法放在同等地位,所以预测2013年高考中涉及本节知识的试题若为选择题或填空题,属于基础题,难度不大,若为综合题,难度一般也不大,当然不排除出现难题.复习过程中注意解题的规范性,技巧性及效率,不能在基础题中失分,注意用函数的思想方法解决

2、数列问题.,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,1.数列的概念,数列是按一定的次序排列的一列数,在函数意义下,数列是定义域为正整数集N*(或它有有限子集)的函数f(n),当自变量从1开始依次取值时对应的一系列函数值f(1),f(2),f(3),f(n),通常用an来代替f(n),其图象是一群孤立点.,2.数列的通项公式,一个数列的第n项an与n之间的关系,如果可以用一个公式an=f(n)来表,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,示,那么我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式.,同一个数列的通项公式的形式不一

3、定唯一,且不是每个数列都有通项公式.,3.数列的分类,(1)按数列项数是有限还是无限分为:有穷数列、无穷数列;,(2)按数列项与项之间的大小关系分为:递增数列,递减数列,常数列,摆动数列;,(3)按任何一项的绝对值是否都大于某一正数分为:有界数列和无界,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,数列;,4.数列的通项an与前n项和Sn之间的关系:,数列an中,Sn=a1+a2+a3+an;,an=,由数列的前n项和Sn求通项an时,要分n=1和n2两种情况分别进行计算,然后验证这两种情形是否可用统一的式子表示,若不能,就采用类似分段函数的形式表示.,5.数

4、列的性质,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,(1)数列的单调性,在数列an中,如果对于任意的nN*,都有an+1an成立,那么我们就说数列an为递增数列;,如果对于任意的nN*,都有an+1an成立,那么我们就说数列an为递减数列;,(2)数列的周期性,在数列an中,若存在正整数k,对nN*都有an+k=an,则数列an是周期数列,且周期为k.,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,6.Sn的最值,(1)若已知Sn,则可依据函数最值的求法计算(其中nN*);,(2)若已知an,则Sn取最值时n(nN*)的值

5、可由 或 来确定.,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,1.已知数列an的通项公式为an=25-2n,下列各数中不是an的项的是(),(A)1.(B)-1.(C)2.(D)3.,【解析】令1=25-2n,得n=12,同理-1和3都是数列中的项,C不是.,【答案】C,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,2.观察下列等式:13+23=(1+2)2,13+23+33=(1+2+3)2,13+23+33+43=(1+2+3+4)2,根据上述规律,第四个等式为.,【解析】第i个等式左边为1到i+1的立方和,右边为1到

6、i+1和的完全平方,所以第四个等式为13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2.,【答案】13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,3.设数列an的前n项和Sn=n2,则a8的值为(),(A)15.(B)16.(C)49.(D)64.,【解析】a8=S8-S7=64-49=15.,【答案】A,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,4.在数列an中,an+1= (nN*),且a7=,则a5等于(),(A).(B).(C)1.(D)-1.,【解析】由a

7、n+1= (nN*)得an= ,又a7=,所以a6=,a5=1.,【答案】C,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,题型1归纳数列的通项公式,例1(1)数列1,3,6,10,的一个通项公式是(),(A)n2-n+1.(B).,(C)n(n-1).(D).,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,(2)若数列的前四项为2,0,2,0,则这个数列的通项公式不可能是(),(A)an=1+(-1)n+1.(B)an=1-cos n.,(C)an=2sin2.(D)an=1+(-1)n.,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例

8、精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,【分析】找出数列的通项公式,应注意观察数列中an和n的联系与变化情况,应特别注意:自然数列、正奇数列、正偶数列,(-1)n和相关数列,等差、等比数列,以及由它们组成的数列,从中找出规律性,并分别写出通项公式.在选择题中,可以用特例法或排除法得到结果.,【解析】(1)令n=1,2,3,4,验证答案.,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,(2)当n=1时,D中a1=0不符合题意.,【答案】(1)D(2)D,【点评】(1)联想和转换是由已知认识未知的两种有效的思维方法.,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,

9、技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,(2)求数列的通项公式,应运用观察、分析、归纳、验证的方法.易错之处在于每个数列由前几项找规律不准确,以及观察、分析、归纳、验证这四个环节做得不够多,应注意对每一数列认真找出规律并验证.,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,变式训练1(1)设数列 , ,2 , , ,则4 是这个数列的 (),(A)第9项.(B)第10项.,(C)第11项.(D)第12项.,(2)数列-,-,-,的一个通项公式是.,【解析】(1)由条件可知an= ,4 = = .,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础

10、拾遗,例题备选,(2)数列的奇数项为负数,偶数项为正数,所以借助(-1)n来确定符号.易看出各项分母分别为21,22,23,24,25,且每一项的分子比分母少1,所以这个数列的通项公式为,an=(-1)n.,【答案】(1)C(2)an=(-1)n,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,例2(1)(2011年丰台二模)已知数列an中,a1=,an=1- (n2), 则a2011等于(),(A)-.(B)-.(C).(D).,题型2数列的周期性,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,(2)已知数列2012,2013

11、,1,-2012,-2013,-1,这个数列的特点是从第二项起,每一项都等于它的前后两项的和,则前2013项的和S2013的值为.,【分析】(1)由已知可知a2=-,a3=,a4=,a5=-,所以数列是周期数 列,周期为3;(2)由题意可知an+1+an-1=an;an+an+2=an+1;两式相加即可得到an+2=-an-1,an+3=-an,从而联想到函数的周期性可以得到an+6=an,从而确定出数列an的周期性.,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,【解析】(1)由递推公式得a2=-,a3=,a4=,a5=-,所以数列是周期 数列,周期为3,于

12、是a2011=a6703+1=a1=.,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,(2)由题意可知an+1+an-1=an,an+an+2=an+1,两式相加即可得到an+2=-an-1.,an+3=-an可得到an+6=an;即是以6为周期的数列,且a1+a2+a3+a4+a5+a6=0,又2013=3356+3,a1+a2+a3+a2013=a1+a2+a3=2012+2013+1=4026.,即S2013=4026.,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,【答案】(1)C(2)4026,【点评】观察是数学研究

13、中最基本的方法,而“周期现象”又是数学规律中一个十分重要的规律,数列的周期性与函数的周期性类似,可以借鉴.解题中要总结规律,当遇到递推公式同时所求的项较大,往往就是数列的周期性变化规律,同学们要认真分辨.,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,变式训练2(1)设函数f(x)定义如下表,数列xn满足x0=5,且对任意nN均有xn+1=f(xn),则x2013的值为(),(A)1.(B)2.(C)4.(D)5.,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,(2)已知数列an满足an+1=an-an-1(n2),a1=a,

14、a2=b,设Sn=a1+a2+an,则下列结论正确的是(),(A)a100=-a,S100=2b-a.(B)a100=-b,S100=2b-a.,(C)a100=-b,S100=b-a.(D)a100=-a,S100=b-a.,【解析】(1)x1=f(5)=2,x2=f(x1)=f(2)=1,x3=f(x2)=f(1)=4,x4=f(x3)=f(4)=5,所以x0=x4,可知是以4为周期的数列,所以x2013=x1=2.,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,(2)an+1=an-an-1=an-1-an-2-an-1=-an-2,an+1=an-5.

15、,数列是以6为周期的周期数列.a100=a616+4=a4=-a,S6=0,S100=S4=2b-a.,【答案】(1)B(2)A,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,题型3数列的增减性与最值,例3设f(n)=1+,g(n)=ln n(nN*).设an=f(n)-g(n),求a1, a2,a3,并证明an为递减数列.,【分析】由通项公式分别求出数列的前几项,根据递减数列的定义证明数列的单调性.注意利用构造函数法来解决问题,对复杂的函数可以利用导数的应用解决其单调性问题.,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,【

16、解析】(1)an=1+-ln n.由此a1=1,a2=-ln 2,a3=-ln 3.,又an+1-an=ln n-ln(n+1)+ =ln(1- )+ .,构造函数h(x)=ln(1-x)+x,x(0,1).,由h(x)=1- =- 0,知h(x)在(0,1)上为单减函数,从而当x0时,h(x)h(0)=0.,取x= (0,1),有h( )0即an+1-an0.,故an为递减数列.,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,【点评】数列的单调性等性质是高考中经常考查的内容.有关数列的最大项、最小项、有界性等问题,都可以借助于数列的单调性来研究,必须牢固掌握

17、这类问题的解决方法,常用方法有作差法、作商法、利用函数的单调性等方法,特别要注意导数的应用与数列单调性的结合问题.,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,变式训练3(1)已知an= (nN*),则数列an的最大项是(),(A)第12项.(B)第13项.,(C)第12项或第13项.(D)不存在.,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,(2)已知数列an的通项公式为an=,则an为(),(A)递增数列.(B)递减数列.,(C)从某项后为递减数列.(D)从某项后为递增数列.,【解析】(1)由已知得,an= = ;由函

18、数的知识即可知n=12 或13时an最大.,(2)an+1=an ,从第11项开始递增.,【答案】(1)C(2)D,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,例4已知数列an的前n项和Sn=2n2+2n,数列bn的前n项和Tn= 2-bn.,题型4利用an与Sn的关系解题,(1)求数列an与bn的通项公式;,(2)设cn=bn,证明:当且仅当n3时,cn+1cn.,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,【分析】由an= 可求出an和bn,这是数列中求通项的常用 方法之一,在求出an和bn后,进而得到cn,接下来用作

19、差法与作商法来比较大小,这也是一常用方法.,【解析】(1)由于a1=S1=4,当n2时,an=Sn-Sn-1=(2n2+2n)-2(n-1)2+2(n-1)=4n,an=4n(nN*).,又当n2时bn=Tn-Tn-1=(2-bn)-(2-bn-1)=bn-1-bn,2bn=bn-1.又b1=1.,数列bn是等比数列,其首项为1,公比为,bn=()n-1.,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,(2)由(1)知c1=b1=16, = = ,由1得 1,即n3.,又n3时 0恒成立.,因此,当且当仅n3时,cn+1cn.,考纲解读,命题预测,知识盘点,典

20、例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,【点评】已知一个数列的前n项和Sn,相当于间接给出了n2时的an,千万要注意到不可忽视当n=1时,a1=S1从而进一步求得nN*时的an,务必验证两种情形是否可用统一的式子表示,若不能,就采用类似分段函数的形式表示.,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,变式训练4已知数列的前n项和为Sn,若S1=1,S2=2,且Sn+1-3Sn+2Sn-1=0,(nN*且n2)求该数列的通项公式.,【解析】由S1=1,得a1=1,又由S2=2可知,a2=1.,Sn+1-3Sn+2Sn-1=0(nN*且n2),Sn+1-

21、Sn-2Sn+2Sn-1=0(nN*且n2).,即(Sn+1-Sn)-2(Sn-Sn-1)=0(nN*且n2),an+1=2an(nN*且n2).,故数列an从第2项起是以2为公比的等比数列.,数列an的通项公式为an=,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,1.注意归纳总结通项,分类讨论思想等数学思想的运用.,2.数列的前n项和Sn与an的关系是近几年来命题的重点与热点,an= 的考查,不仅要能够灵活地运用它来分析、解决 问题,更重要的是掌握公式推导的思想方法,并能够把这一思想类比迁移到其他问题,达到举一反三的效果.,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,1.(2011年江西卷)已知数列an的前n项和Sn满足:Sn+Sm=Sn+m,且a1=1.那么a10等于(),(A)1.(B)9.(C)10.(D)55.,【解析】由题意可知:S1+S1=S2,S2=2S1=2a1=2,同理S10=10a1=10,S9=9a1=9,a10=S10-S9=a1=1.,【答案】A,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,(1)求数列an的通项公式