线性代数(李建平)讲义__复旦大学出版社__第六章.ppt

1、第六章 二次型,定义1 系数在数域 R中的含有 n 个变量的二次齐次多项式,称为实数域R上的二次型，简称二次型.,第一节二次型的基本概念,例如,都是二次型.,不是二次型.,下面我们利用矩阵理论，将二次型表示成矩阵形式.,取,则,于是二次型式可以表示为,令,于是二次型又可表示为,称 A为二次型的矩阵，显然A为对称矩阵,由上面的讨论我们知道，任给一个二次型，就唯一确 定一个对称矩阵；反之任给一个对称矩阵，也可唯一 确定一个二次型这样，二次型与对称矩阵之间存在 一一对应的关系因此，我们把实对称矩阵A叫做 二次型的矩阵，也把二次型叫做实对称矩阵A的二次型，,矩阵A的秩称为二次型的秩.,例1 求二次型

2、f 的秩.,解,所以二次型 f 的秩为3.,例2 求对称矩阵 A 所对应的二次型.,解,化为矩阵形式.,例3 将二次型,解 (1)因为,所以二次型 f 的矩阵为,这种只含平方项的二次型，称为二次型的标准型.,标准型的矩阵是对角矩阵.,一般地，对于二次齐次函数(二次型),要消掉其中的交叉项，也就是要寻找合适的坐标变换,使上式化为标准型,例如 已知,为由变量,的 线性变换.,定义2 称两组变量 的如下关系,(1),令,二 线性变换.,为 X = CY 的逆变换.,其中 C 称为线性变换的系数矩阵.,则线性变换可记作,正交线性变换是非奇异线性变换.,若C是正交矩阵，则称线性变换（2）是正交线性变换,

3、若 C 非奇异，则称线性变换为非奇异线性变换。并称,证 设 经过非奇异线性变换,化为,，由于C为可逆矩阵，故R(B)=R(A).,定理1二次型经可逆线性变换后化为新的二次型， 且新二次型与原二次型的秩相等.,X=CY，,显然两矩阵间的合同关系也是一种特殊的等价关系，它具有以下性质：,记作,使B=C AC，则称矩阵A与B合同，或称A合同于B，,定义2 设A，B是两个n阶方阵，如果存在可逆矩阵C，,T,（1） 反身性AA； （2） 对称性若AB，则BA； （3） 传递性若AB，BC，则AC.,注 1. 若A 与 B相似，则A与B等价; 2. 若A与B合同，则A与B等价.,AB,定理2设A，B是实对

4、称矩阵，则A与B合同的充分,必要条件是二次型X AX可经可逆变换化为Y BY.,T,T,证明必要性 若A与B合同，则存在可逆矩阵C，,使得B=C AC. 令X=CY，则,T,X AX=(CY) A(CY)=Y C ACY=Y BY,T,T,T,T,T,充分性若存在可逆变换X=CY，使得,X AX=Y C ACY=Y BY，,T,T,T,T,由于变量 的二次型的矩阵是唯一的，,所以 C AC是实对称矩阵,T,故B=C AC. 即A与B合同.,T,由此可知，二次型能否化简为只含平方项的标准形,问题归结为二次型的矩阵能否合同于对角矩阵的问题,解: 用配方法,例1. 将二次型化为标准型,第二节化二次型

5、为标准形,一、配方法,令,即,则,(原二次型的标准型),其矩阵,原二次型化成标准型,通过计算可验证,原二次型的矩阵为,线性变换的矩阵为,可见, 要把二次型化为标准形, 关键在于求出,一个非奇异矩阵C, 使得C AC是对角矩阵.,上例是通过配方法间接找到非奇异矩阵C的.,一般说来, 这种方法较麻烦, 后边将介绍用初等,变换和正交变换的方法求矩阵C.我们不加证明的 给出如下定理,定理3,任何二次型都可以经过可逆线性变换化为标准形.,推论,任何实对称矩阵都与一个对角矩阵合同.,T,二、正交变换法,任给二次型,定理4,总有正交变换,使f 化为标准形,其中,是f 的矩阵A的特征值.,用正交变换化二次型为

6、标准形的基本步骤：,（1） 写出二次型f的矩阵A；,（2） 求出A的所有特征值 ;,（3） 求出对应于各特征值的线性无关的特征向量,（4） 将特征向量 正交化、单位化，,得 ，构造正交矩阵,Q=( )；,（5） 用正交变换X=QY，将f 化为标准形 .,例 设实对称矩阵A=,试用一个正交变换,将二次型 化为标准型,解A的特征方程为,|E-A|=,=(-1)2(+2)=0,解得,当 时，解方程组(-2E-A)X=0，得基础解系,当 时，解方程组(E-A)X=0，得基础解系,3=3-,2=,+,=,再将 单位化，得,1=, 2=, 3=,.,由 构成正交矩阵,Q=(1,2,3)=,.,作正交线性变

7、换X=QY,得原二次型的标准型,注正交变换化二次型为标准形，具有保持,正交变换不改变方程表示的曲线或曲面的形状.,向量内积和长度的优点，从而在解析几何中，,三、初等变换法,根据定理4，任一n元二次型,使,都可找到可,逆变换,将其化为标准形，即存在可逆矩阵C,使,为对角矩阵. 而任一可逆矩阵都可写成若,干初等矩阵的乘积，即存在初等矩阵,于是,上式说明：对于实对称矩阵A相继施以初等列变换，同时施以同种初等行变换，矩阵A就合同于一个对角矩阵. 由此得到化二次型为标准形的初等变换法：,(1),构造,矩阵,对A每施以一次初等行变换,就对,施行一次同种的初等列变换；,(2),当A化为对角矩阵时，E就变为所

8、求的可逆矩阵C；,(3),得到可逆变换矩阵C及二次型的标准形.,例3用初等变换法化例3中的二次型 f=2x1x2+2x1x3-6x2x3为标准形，并求所用的变矩阵.,=,于是,解二次型f的矩阵为,这样，矩阵A就化为了对角矩阵，相应的二次型化成 了标准形,所用的变换矩阵为 -,F =,比较教材例3和例4的结果可以看到，选取的变换矩阵不,同，化出的二次型的标准形一般也不同，但有两点是相,同的：一是标准形中平方项的项数，即二次型的秩，,这一点由上节定理1即知；另一相同之处就是标准,形中正平方项和负平方项的项数，这一点将在下,一节加以研究.,第三节惯性定理和正定二次型,同一二次型化为标准形，由于采用的

9、可逆变换不 同而使标准形不同，也就是说，二次型的标准形 不是唯一的，那么这些不同的标准形有什么关系呢？ 二次型f=X AX化为标准形f= 后， 如果A的秩为r，因任何可逆变换不改变二次型的秩， 所以其标准形中非零系数有且仅有r项. 再经过一次可 逆变换，可以适当排列变量的次序，把系数为正的排 在前面，将其化为如下形式,其中ci0(i=1，2，r).,一、 惯性定理,T,f=,(6.5),定理5 任意实二次型f，经过不同的可逆变换化为 标准形后，正平方项的个数和负平方项的个数都是 由f 唯一确定的. 实二次型的标准形保持其正平方项个数和负平方项 个数不变的特性，称为实二次型的惯性. 因此，常称定

10、理5为惯性定理. 这里不予证明. 二次型f的标准形（6.5）中正平方项的个数p称为 二次型的正惯性指数，负平方项的个数r-p称为负 惯性指数. 正惯性指数与负惯性指数的和为r，恰等于 二次型f的秩.,若对二次型f的标准形（6.5）进一步作可逆变换,y1=, yr=,yr+1=zr+1， yn=zn， 则二次型可以化为如下形式 f=z21+z2p-z2p+1-z2r，(6.6),Z ，,1,Z ，,r,称(6.6)式为二次型f的规范形.,推论1任意实二次型都可以通过可逆变换化 为规范形，且规范形是唯一的.,利用矩阵的语言，推论1可以叙述为：,推论2任意实对称矩阵A合同于对角矩阵 Ep =-Er-

11、p O 且p与r-p是由A唯一确定的.,显然，将一个标准形化为规范形的过程中， 二次型的正平方项个数和负平方项个数也 保持不变. 于是由惯性定理及上节定理4可以得到：,推论3实对称矩阵A与B合同的充分必要条件是 A与B有相同的规范形.,称上述对角矩阵为实对称矩阵A的规范形. 于是有：,定义3,则称f为正定二次型，其矩阵A 称为正定矩阵.,设实二次型,如果对于任意的,都有,定理6,二次型,正定的充分必要条件是,二、正定二次型,可逆变换不改变二次型的正定性.,设n元二次型,(1)f 为正定二次型；,(2) 的正惯性指数为n，,(3)存在可逆矩阵P，使得,(4)A的特征值全大于零.,定理7,定理8,

12、，则下列命题等价：,f,设n元二次型,n元二次型,定理9,正定，则,(1) A的主对角元素,(2) A的行列式,定理10,正定的充分必要条件是,A的各阶顺序主子式全大于零，即,设实二次型,若总有,定义4,对于任意的,则称f为负定二次型，其,矩阵A称为负定矩阵；,(1),(2),若总有,且有,使,，则称f为半,正定（半负定）二次型，其矩阵A称为半正定（半负,定）矩阵；,若对某些X有,而对另一些X又有,则称f为不定二次型，其矩阵A称,为不定矩阵.,(3),定理11,设n元二次型,则下列命题等价：,(1),f为负定矩阵,f的惯性指数为n,即,(2),存在可逆矩阵P，使得,(3),A的特征值全小于零；

13、,A的奇数阶顺序主子式全小于零，偶数阶顺序,(4),(5),主子式全大于零，即,定理12,设n元二次,则下列命题等价:,f为半正定矩阵；,(1),f的正惯性指数为,(2),存在不可逆矩阵P，使得,(3),A的特征值全大于等于零，但至少有一个等于零;,(4),A的各阶主子式大于等于零，即,(5),但至少有一个主子式等于零. 注实对称矩阵A的顺序主子式大于或等于零时，A不一定是半正定的，例如. 因此半正定的这个性质与正定是不同的.,三、 应用示例 多元函数极值的理论是微分学中应用很广泛的内容，但在一般的微积分教科书中仅对二元函数取极值的充分条件进行了讨论，对于两个以上变量的情形不作介绍.下面以三元

14、函数为例，将矩阵与二次型的理论、方法应用于极值研究.对于n元函数，读者可得到类似的结果.,例3设三元函数y=f(x1，x2，x3)在点X0=()的邻域内具有二阶连续偏导数，则f(x1，x2，x3)在X=X0处的二阶泰勒展开式为,其中为 的高阶无穷小量.,若记 f(X)=f(x1，x2，x3)， f(X0)=f( )， X=( )T，,在上式中，称gradf(X0)为函数f(X)在X=X0处的梯度，H(X0)为f(X)在X=X0处的黑塞（Hesse）矩阵，它们分别是由f(X)在X=X0处的一阶偏导数构成的n维行向量和二阶偏导数构成的n阶实对称矩阵.,则上述二阶泰勒展开式可简记为,与二元函数类似，f(X)在X=X0处取得极值的必要条件是gradf(X0)=0. 当gradf(X0)=0时，若X0，且X充分小时，则可略去泰勒展开式中的高阶无穷小量.于是有,f