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文档简介

1、第六章 常微分方程组,6.1二维动力系统模型二则,例6.1.Newton二体运动方程（行星绕日运动）,万有引力定律：行星受到太阳的引力f与矢径r的平方成反比，与行星质量m与太阳质量M的乘积成正比，引力方向与矢径方向相反。,运用牛顿第二定律，表示成数学表达式得：,其中ur表示单位矢径。,令 这里,表示动点P的极坐标,此时矢径为,记,表示矢径方向的单位向量，,表示与矢径正交的单位矢量,则有如下关系式：,令 v=v(t) 表示 U(t) 的瞬时速度，则有,令 a=a(t) 表示 v(t) 的瞬时加速度，则有,简记,则有,代入牛顿第二定律得,由于两个单位向量的正交性即得,这就是二体运动方程由极坐标表示

2、的行星绕日运动的微分方程。,Kepler三律（被称为“太空宪法”）： （A）行星绕日运动轨道是椭圆，太阳是轨道的一焦点上； （B）太阳与行星的连线（经线）在相同时间间隔内扫过相同的面积； （C）行星公转周期的平方与它到太阳平均距离的立方成正比。,（B）的证明：根据扇形的面积公式有,因此,二体运动方程的第二式乘以 r 得,太阳与行星的连线（经线）在扫过的面积速度不随时间改变。,（A）的证明：令,则面积速度不变，令,将它们代入二体运动方程第一式得,通解为,即,根据几何知识以及运动的周期性,r 是一个椭圆。,（C）的证明：根据椭圆定义行星到太阳的平均距离为长半轴 a. 设行星运动周期为 T ，则,向心力大小（平均）：,引力大小（平均）：,由于向心力等于引力,由于 r=a, 从而,例6.2.Volterra二维种群竞争系统,令 x=x(t) 表示被捕食鱼群(小鱼) ， y=y(t) 表示捕食鱼群（大鱼）,分离变量后积分得通解为：,命题1 当C0 时规线族表示x-y 平面第一象限内封闭曲线。,命题2,在人工

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