01-理论2.ppt

1、1.4 逻辑函数的化简, 问题的提出：同一逻辑函数的两个不同表达式,可见，逻辑函数的表达式需要化简。所谓化简，一般就是指化为最简的与或表达式。,化简逻辑函数的方法，最常用的有： 公式法 卡诺图法, 判断与或表达式是否最简的条件是：,（1）逻辑乘积项最少； （2）每个乘积项中变量最少。,2020/7/9,第一章 (3),2,1.4.1 逻辑函数的公式化简法, 逻辑函数的公式化简法，就是利用逻辑代数的基本公式、基本定理和常用公式，将复杂的逻辑函数进行化简的方法。 常用的有并项法、吸收法、消去法和配项法。,并项法,利用公式 ，将两项合并为一项，并消去一个变量，例如：,（1）,（2）,2020/7/9

2、,第一章 (3),3,2. 吸收法,3. 消去法,利用公式 ，消去多余的因子，例如：,利用公式 ，吸收掉多余的项，例如：,2020/7/9,第一章 (3),4,4. 配项法,利用公式 ，先添上 作配项用，以便 消去更多的项。例如：,2020/7/9,第一章 (3),5,例1.4 用公式法化简逻辑函数,下图为该逻辑函数化简前后的逻辑电路图。显然，化简后不仅 使逻辑图得到了简化，而且使用的逻辑器件相对较少。,解：,化简前逻辑图,化简后逻辑图,2020/7/9,第一章 (3),6,例1.5 用公式法化简,可得,根据公式,得,即,根据公式,得,即,解： 根据摩根定律,利用配项法再进行化简，可得,202

3、0/7/9,第一章 (3),7,1.4.2 逻辑函数的卡诺图化简法,1. 预备知识：最小项和最小项表达式,设由三个变量A、B、C组成逻辑函数。这三个变量可以组成许多乘积项，其中有一类乘积项为： 这八个乘积项具有以下特点：每个乘积项包括三个变量；每个变量都以原变量（ ）或反变量（ ）的形式在每个乘积项中出现且仅出现一次。这八个乘积项即是三变量函数的最小项。,定义：对于有 n 个变量的逻辑函数，如果其与-或表达式中的每 个乘积项都包含 n 个因子，而这n个因子分别为 n 个变量的原变量或反变量，每个变量在乘积项中出现且仅出现一次，这样的乘积项就称为逻辑函数的最小项。 n 个变量的逻辑函数，就有2n

4、个最小项。为了分析最小项的性质，在表1.7列出三变量所有最小项的真值表。,2020/7/9,第一章 (3),8,表1.7 三变量所有最小项的真值表,2020/7/9,第一章 (3),9,（2）对于同一个变量取值，任意两个最小项的乘积恒为0。因为在相同的变量取值下，不可能使两个不相同的最小项同时取1值。 （3）任意取值的变量条件下，全体最小项的和为1。,最小项具有下列性质：,（1）对于任意一个最小项，只有变量的一组取值使得它的值为1，而取其他值时，这个最小项的值都为0。不同的最小项，使它的值为1 的那一组变量取值也不同。 例如最小项 ，只有在变量取值为100时， 的值为1，其他7组取值下，其值都

5、为0。,提示： 为方便起见，常对最小项进行编号。以 为例，因为它和100相对应，所以就称 是和100相对应的最小项，而100相当于十进制中的4，所以把 记作m4。按此规则，三个变量的最小项编号也列在表1.7中。,2020/7/9,第一章 (3),10,就是把逻辑函数取值为1 的最小项，用或“+”逻辑连接而成的表达式。又称标准的与或表达式。, 逻辑函数的最小项表达式, 求逻辑函数最小项表达式的方法 （1）从一般表达式求最小项表达式,上式即为F的最小项表达式。上式的最小项可分别表示为 m1, m5, m6, m7, 所以又可写为,解：,2020/7/9,第一章 (3),11,（2）由真值表求最小项

6、表达式 首先列出逻辑函数 F 的真值表，然后从真值表中找出使逻辑函数 F 为 1 的变量取值组合，再写出这些变量组合相对应的最小项，最后将这些最小项相或，即得到该逻辑函数 F 的最小项表达式。,例1.7 一个三变量逻辑函数的真值表如表1-8所示，写出其最小项表达式。,表1-8,解：由表可写出其最小项表达式为,或写成,2020/7/9,第一章 (3),12,对于有n个变量的逻辑函数，其最小项有2n个。因此该逻辑函数的卡诺图由 2n 个小方格构成，每个小方格都满足逻辑相邻项的要求。 图1.11，图1.12，图1.13，图1.14 分别画出了二、三、四、五个变量的卡诺图。,2.卡诺图, 基本知识,卡

7、诺图是由美国工程师卡诺（Karnaugh）首先提出的一种用来描述逻辑函数的特殊方格图。,在这个方格图中，每一个方格代表逻辑函数的一个最小项，而且几何相邻（在几何位置上，上下或左右相邻）的小方格具有逻辑相邻性，即两相邻小方格所代表的最小项只有一个变量取值不同。,2020/7/9,第一章 (3),13,图 1.12 三变量卡诺图,图 1.13 四变量卡诺图,图 1.14 五变量卡诺图,2020/7/9,第一章 (3),14,例1.8 画出逻辑函数 的卡诺图。,解：,2020/7/9,第一章 (3),15, 卡诺图相邻性的特点保证了几何相邻两方格所代表的最小项只有一个变量不同。因此，若相邻的方格都为

8、1（简称1格）时，则对应的最小项就可以合并。合并的结果是消去这个不同的变量，只保留相同的变量。这是图形化简法的依据。,3. 逻辑函数的卡诺图化简法,利用卡诺图化简逻辑函数的方法称为逻辑函数的卡诺图化简法。,综合上述概念，卡诺图具有下述性质：,性质1：卡诺图中两个相邻1格的最小项可以合并成一个与项，并 消去一个变量。,例：,右图为两个1格合并时消去一个变量的例子。图中，m1和m5为两个相邻1格，则有：,2020/7/9,第一章 (3),16,再如：,2020/7/9,第一章 (3),17,性质2：卡诺图中四个相邻1格的最小项可以合并成一个与项，并 消去两个变量。,例：,2020/7/9,第一章

9、(3),18,再如：,2020/7/9,第一章 (3),19,性质3：卡诺图中八个相邻1格的最小项可以合并成一个与项，并 消去三个变量。,综上所述，在 n 个变量卡诺图中，若有2k个1格相邻（k为0，1，2，n）, 它们可以圈在一起加以合并，合并时可消去k个不同的变量，简化为一个具有(n-k)个变量的与项。若k =n，则合并时可消去全部变量，结果为1。, 用卡诺图化简法求最简与或表达式的步骤是：,（1）画出函数的卡诺图； （2）合并最小项； （3）写出最简与或表达式。,2020/7/9,第一章 (3),20,（2）合并最小项。把图中所有的1格都圈起来，相邻且能够合并在一起的1 格圈在一个大圈中

10、；,例1.9 用卡诺图化简法求逻辑函数 的最简与或表达式,解：（1）画出函数F 的卡诺图。对于在函数 F 的标准与或表达式中出现的那些最小项，在其卡诺图的对应小方格中填上1，其余方格不填；,（3）写出最简与或表达式。对卡诺图中所画每一个圈进行合并，保留相同的变量，去掉互反的变量，,F =（m1+m3）+（m2+m3+m6+m7）,2020/7/9,第一章 (3),21,例1.10 用卡诺图化简函数,解： 根据最小项的编号规则，得,将这四个最小项填入四变量卡诺图内,化简得,2020/7/9,第一章 (3),22,例1.11 用卡诺图化简函数,解： 从表达式中可以看出此为四变量的逻辑函数，但是有的

11、乘积项中缺少一个变量，不符合最小项的规定。因此，每个乘积项中都要将缺少的变量补上：,则有,将这七个最小项填入四变量卡诺图内,化简得,2020/7/9,第一章 (3),23,提 示,（1）列出逻辑函数的最小项表达式，由最小项表达式确定变量的个数（如果最小项中缺少变量，应按例1.11的方法补齐）。,（2）画出最小项表达式对应的卡诺图。,（3）将卡诺图中的1格画圈，一个也不能漏圈，否则最后得到的表达式就会与所给函数不等；1格允许被一个以上的圈所包围。,（4）圈的个数应尽可能得少。即在保证1格一个也不漏圈的前提下，圈的个数越少越好。因为一个圈和一个与项相对应，圈数越少，与或表达式的与项就越少。,（5）

12、按照2k个方格来组合（即圈内的1格数必须为1，2，4，8等），圈的面积越大越好。因为圈越大，可消去的变量就越多，与项中的变量就越少。,（6）每个圈应至少包含一个新的1格，否则这个圈是多余的。,（7）用卡诺图化简所得到的最简与或式不是唯一的。,2020/7/9,第一章 (3),24,练习：判断正确与错误,正确,错误 （多画一个圈）,例1,例2,错误（圈的面积不够大）,正确,2020/7/9,第一章 (3),25,例3,错误（圈的面积不够大）,正确,例4,错误（有一个圈无新的1格）,正 确,2020/7/9,第一章 (3),26,4. 具有约束项的逻辑函数的卡诺图化简法, 什么是约束项,实际中经常

13、会遇到这样的问题，在真值表内对应于变量的某些取值下，函数的值可以是任意的，或者说这些变量的取值根本不会出现。 例如：一个逻辑电路的输入为8421-BCD码，显然信息中有六个变量组合（10101111）是不使用的，这些变量取值所对应的最小项称为约束项。 如果电路正常工作，这些约束项决不会出现，那么与这些约束项所对应的电路的输出是什么，也就无所谓了，可以假定为1，也可以假定为0。 约束项的意义在于，它的值可以取0或取1，具体取什么值，可以根据使函数尽量得到简化而定。, 约束项的表示方法, 在逻辑函数表达式中用 表示约束项，例如 ， 说明最小项m2、m4、m5为约束项； 也用逻辑表达式表示函数中的约束项，例如 说明 所包含的最小项为约束项。 约束项在真值表或卡诺图中用来表示。,2020/7/9,第一章 (3),27,例1.13 用卡诺图化简逻辑函数,解：该逻辑函数的卡诺图如下图所示。 对该图可以有两种化简方案：,化简结果为,化简结果为,2020/7/9,第一章 (3),28,作 业,P20 .4 （2）、（4）、（6）、（8） .