变分与弹塑性力学PPT3.ppt

1、2000.3,哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作,1,第二章 弹塑性本构关系简介,1. 弹性介质本构关系 2. 弹塑性力学有关内容简介 3. 几种常用弹塑性材料模型简介 4. 弹塑性矩阵的建立步骤,2000.3,哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作,2,1. 弹性介质本构关系,对线弹性介质只有两个独立的弹性常数，但应力应变（本构）关系有多种表示形式：,用G和表示,用G和体积模量K表示,1.1 线性弹性小变形,2000.3,哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作,3,式中应力和应变偏张量分别为,如果用拉梅（Lame）常数表示，则有,弹性常数间有如下关系,2000.3,哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作,4,利用上述关

2、系，只要已知两个弹性常数就可写出有限元分析中的弹性矩阵(D)。,例如，当以G和表示时，以张量形式表示的本构关系为,由此可获得弹性张量Dijkl。其他可仿此写出。,2000.3,哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作,5,非线性弹性介质的本构关系，一般是根据材料的力学试验通过拟合来得到的。例如金属材料单向拉伸Romberg-Osgood模型的关系为,式中k和n为拟合的实验参数，E为初始弹性模量。一般情况下本构关系可表为,1.2 非线性弹性小变形,在有限元分析中有两种应用形式：全量形和增量形本构关系。,2000.3,哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作,6,全量本构关系的表达形式和线性弹性情况相同，也即,1.2

3、.1 全量形式本构关系,但其中的弹性系数Gs,s不再是常数，它们是应变或应力的函数，分别称为割线弹性系数。可将它们看作与一定应力（或应变）水平对应的割线常数（割线剪切模量和割线泊松比）。,式中 为割线弹性张量，形式上它仍可表为,2000.3,哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作,7,例如对混凝土，Andenaes等依据实验给出，八面体正应力、切应力和八面体线应变、角应变间关系为,并有,其中G、K分别为初始切线剪切和体积模量， 为混凝土单轴抗压强度，a、m、c和p为由试验确定的常数。,2000.3,哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作,8,1.2.2 增量形式本构关系,增量本构关系的表达形式为,但其中的弹性

4、系数Gt,t也不是常数，也是应变或应力的函数，分别称为切线弹性系数。可将它们看作与一定应力（或应变）水平对应的切线常数（切线剪切模量和切线泊松比）。,式中 为切线弹性张量，形式上仍可表为,上面介绍的是哥西方法，讲义上还简述了格林方法，大家可自行阅读。,2000.3,哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作,9,韧性（塑性）金属材料单向拉伸试验曲线如下图示意,2.1 应力空间表述的弹塑性本构关系,2. 弹塑性力学有关内容简介,强化段,软化段,残余变形,2000.3,哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作,10,包辛格效应,反向屈服点,2000.3,哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作,11,由单向拉伸曲线可见，弹塑性材

5、料受外部作用的反应和变形的历史有关（可称为历史相关性或路径相关性），因此本构关系应写成增量关系。又因弹塑性状态下加载和卸载有不同的规律，所以其本构关系的表述要比非线性弹性情况复杂。,以应力为坐标，其每点代表一个应力状态，如此的空间称为应力空间。,判断材料处于弹性还是塑性的准则，称为屈服条件或塑性条件。,1) 屈服条件和屈服面,弹性和塑性区的分界面称为屈服面。空间屈服面应是一个凸曲面。,2000.3,哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作,12,屈服条件曾经有最大主应力（伽）、最大主应变（圣）假设，但后来都被实验所否定。,后来法国的H.Tresca提出，最大切应力达某一极限值时，材料即进入塑性状态。德国

6、的R. Von.Mises及H.Hencky又进一步指出，弹性形变比能（也称歪形能）达一定值时材料进入塑性。对韧性金属，这一假设比较接近实际。,原苏联学者伊留申提出应力强度的概念，并以应力强度作为表征物体受力程度的参数。认为应力强度达到单向拉伸的屈服极限时，材料进入塑性。这不仅概念清楚，而且便于使用，因此是塑性力学常用假设之一。,2000.3,哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作,13,在材料的一般应力状态下，可认为应力满足如下条件时材料发生屈服，即处于塑性状态：,式中 为应力张量， 为塑性应力张量，k 为标志永久变形的量。 和k 统称为内变量。其中 与塑性应变张量 间存在如下关系,k（又称硬化参数

7、）有多种取法，可以是塑性功、塑性体应变和等效塑性应变。,转图,其中塑性体应变为,2000.3,哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作,14,应力、应变关系示意,2000.3,哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作,15,从自然状态第一次进入屈服的屈服条件称初始屈服条件，产生塑性变形后的屈服条件称后继屈服条件。初始屈服条件可表为： ，它只与当前应力状态有关。屈服条件都可看成应力空间的超曲面，初始屈服条件称初始屈服面，后继屈服条件称后继屈服面，统称屈服面。,如果一点应力的 ,则此点处于弹性状态，如果 ，则处于塑性状态。,屈服面随内变量改变的规律称强化规律。由材料试验的资料可建立各种强化模型，目前广泛采用的有：等向

8、强化；随动强化两种模型。,2000.3,哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作,16,2000.3,哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作,17,等向强化认为屈服面形状不变，只是作均匀的扩张，后继屈服面仅与一个和内变量有关的参数 有关，可表为：,随动强化则认为屈服面大小和形状不变，仅是整体地在应力空间中作平动，其后继屈服面可表为：,多数材料的屈服面介于两者间。如果应力空间中应力方向变化不大，等向强化与实际较符合。它的数学处理简单，故应用较广。但当需考虑循环荷载下耗能时，随动强化可反应包辛格效应，因此应该用它。,2000.3,哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作,18,2）塑性状态的加载和卸载准则,跳 转,在外部作用

9、下应变点仍在屈服面上，并有新的塑性变形发生，此时称这个过程为塑性加载。,如果应变点离开屈服面退回弹性区，反应是纯弹性的，此过程称塑性卸载。,应变点不离开屈服面，又无新的塑性变形发生，此时称中性变载。,转 下,2000.3,哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作,19,2000.3,哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作,20,2-2) 具有强化的弹塑性材料,跳 转,2-1）理想弹塑性材料,由于此时屈服面大小和形状不随内变量发展而改变，因此屈服面为 。用公式表示理想弹塑性材料的加卸载准则为：,对软化材料，无法建立加、卸载准则。,转图,2000.3,哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作,21,理想弹塑性材料,等向强化弹

10、塑性材料,随动强化弹塑性材料,2000.3,哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作,22,3）流动准则,在塑性力学中，认为材料进入塑性后存在一个势函数（简称塑性势） 。塑性应变增量可由势函数给出：,流动准则又可分为正交（相关）流动准则和非正交（非相关）流动准则两种。前者认为塑性势就是屈服面，因此 。而后者则认为塑性势和屈服面不同。对正交准则，塑性流动方向垂直于屈服面，加、卸载准则取决于非负的尺度因子d，它大于零，表示加载，等于零，表示其他情况。,2000.3,哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作,23,4）弹塑性本构关系,在应力增量dij作用下，应变增量dij 可分成弹性和塑性两部分。弹性部分,在上述概念基

11、础上，下面讨论材料非线性分析的核心问题正交流动弹塑性本构关系。,因此总应变为,弹性张量,因为在卸载和中性变载状态d=0，因此反应是纯弹性的。,2000.3,哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作,24,对于具有强化的加载状态，因为屈服面为,因此,又因为,则由df =0（也称一致性条件）可得,在永久变形标志k各种不同取法情况下，dk将有不同的形式，若统一记,一致性条件,2000.3,哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作,25,由此可见，只要建立了屈服面方程，则对应加载状态应力增量dij的应变增量dij 为,若引入如下记号：,则弹塑性本构关系可统一表示成,上述本构方程是以应力为基本未知量的，它只适用于强化材料。

12、,2000.3,哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作,26,2.2 应变空间表述的弹塑性本构关系,以应变空间来讨论，能给出对强化、软化和理想塑性材料普遍适用的本构关系表达式。,由于所有的讨论基本上和应力空间对应，因此下面只是简单列出有关式子。,1) 屈服条件和屈服面,屈服面方程,初始屈服面,屈服面内弹性，屈服面上塑性。,2) 加、卸载和流动准则,2000.3,哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作,27,对正交流动准则,d大于零表示加载，等于零表示其他情况。,3) 弹塑性本构关系,式中,2000.3,哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作,28,同样，若引入如下记号：,则弹塑性本构关系也可统一表示成,式中 称塑性矩

13、阵， 称弹塑性矩阵。,上述本构方程是以应变为基本未知量的，它适用于理想塑性、强化和软化材料。,2000.3,哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作,29,2.3 两种表述的关系,由于建立屈服函数的实验研究多为用应力表示的，关于强化、软化和理想塑性等也是用应力定义的，但是应力空间本构有很大局限性。因此有必要把应变空间表述的本构关系转换成用应力表示。,在应力空间的屈服面方程为,由于 ， 。将其代入屈服面方程，则可得到应变空间的屈服面,2000.3,哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作,30,建立了两空间屈服面关系后，对应变空间的导数就可用应力空间屈服面的导数来计算,利用上述式子，即可将应变空间的本构方程和加、卸

14、载准则用应力屈服面函数表示如下：,2000.3,哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作,31,必须注意，这里导数 是由应力空间屈服面定义的， 但是它是应变空间表述的。 位移有限元分析用它！,下节将利用本节知识讨论几种常用材料的本构和流动准则,2000.3,哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作,32,3. 几种常用弹塑性材料模型简介,3.1 等向强化-软化的米塞斯（Mises）材料,由薄壁圆筒的实验研究可得，这种材料的屈服面方程为,在主应力状态下，第二不变量为,式中J2是应力偏张量的第二不变量 ，由于偏张量第一不变量等于零 ，因此,2000.3,哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作,33,在单向拉伸状态下，J2=2

15、/3。在纯剪状态下，J2=2。一般情况下，sij=ij -kkij /3,所以 .,屈服面式中(k)，是由单向应力状态的数据确定的屈服参数。在单向拉伸时为2=B2/3。在纯剪状态下=B。任何情况下都是硬化参数塑性功wp的函数。,根据屈服面表达式，可求得,因为,2000.3,哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作,34,因此,为了求A，需先由屈服面对wp的偏导数求M,式中Gp是 曲线的斜率。同理，对单向拉伸情况，-M=Ep/3。,2000.3,哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作,35,由此可得A=G+Gp（或A=G+Ep/3），又因,因为,2000.3,哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作,36,由此可得 弹塑性

16、矩阵为,加、卸载准则为,统一的本构关系为,2000.3,哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作,37,3.2 随动强化的米塞斯材料,这种材料的屈服面方程为,由此屈服面方程出发，求导可得,式中是与内变量有关的量， 称为应力迁移张量，由它可以确定屈服面在应力空间的位置。 是一个常量，表示屈服面形状不变。,如上推导即可得到应变空间的本构关系和流动准则。米塞斯屈服准则主要适用于金属材料。,2000.3,哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作,38,2000.3,哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作,39,3.3 岩土工程广泛使用的Mohr-Coulomb材料,这种材料的屈服准则为,式中是破坏面上切应力，n是破坏面的正压力。

17、c是材料粘性系数，是内摩擦角，c和是两个材料常数。在主应力空间，此屈服准则可用下图示意,2000.3,哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作,40,据此，屈服面方程可写为,引入主应力的三角公式,上述屈服面方程可改为,2000.3,哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作,41,与前面两种情况相同，由此即可求得 ，但必须注意，在棱面交界处导数是无法确定的，因此使有限元分析困难。,2000.3,哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作,42,3.4 等向强化-软化的Drucker - Prager材料,这种材料的屈服面方程为,式中和是材料常数，为了确定它，将其和摩尔-库仑准则对比。摩尔-库仑准则在主应力空间是一六棱锥，德鲁克-普拉克准则是一圆锥面，令两锥顶重合，在平面上D-P的截线(圆)和M-C截线（不规则六边形）外（内）顶点重合，可得（参考内顶点重合时为“+”）,2000.3,哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作,43,2000.3,哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作,44,2000.3,哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作,45,从屈服面方程可得,由此可得,现取硬化参数k为塑性体应变p的函数，则设,则可得,如果,2