B样条曲线曲面

1、,3.1.2 B样条曲线和曲面,在我们工程中应用的拟合曲线，一般 地说可以分为两种类型：一种是最终 生成的曲线通过所有的给定型值点， 比如抛物样条曲线和三次参数样条曲 线等，这样的曲线适用于插值放样； 另一种曲线是，它的最终结果并不一 定通过给定的型值点，而只是比较好 地接近这些点，这类曲线（或曲面） 比较适合于外形设计。,因为在外形设计中(比如汽车、船舶)， 初始给出的数据点往往并不精确；并 且有的地方在外观上考虑是主要的， 因为不是功能的要求，所以为了美观 而宁可放弃个别数据点。因此不须最 终生成的曲线都通过这些数据点。 另一方面，考虑到在进行外形设计时 应易于实时局部修改，反映直观，以

2、便于设计者交互操作。第一类曲线在 这方面就不能适应。,法国的 Bezier 为此提出了一种新的 参数曲线表示方法，因此称为Bezier 曲线。后来又经过 Gordon、Forrest 和 Riesenfeld等人的拓广、发展， 提出了样条曲线。 这两种曲线都因能较好地适用于 外形设计的特殊要求而获得了广泛的 应用。,一、Bezier曲线 Bezier曲线的形状是通过一组多边折 线（特征多边形）的各顶点唯一地定 义出来的。在这组顶点中： (1) 只有第一个顶点和最后一个顶点 在曲线上； (2) 其余的顶点则用于定义曲线的导 数、阶次和形状； (3) 第一条边和最后一条边则表示了 曲线在两端点处的

3、切线方向。,.Bezier曲线的数学表达式 Bezier曲线是由多项式混合函数推导 出来的，通常 n+1 个顶点定义一个 n 次多项式。其数学表达式为： (0 t 1) 式中：i：为各顶点的位置向量 i,n(t)：为伯恩斯坦基函数,伯恩斯坦基函数的表达式为： 假如规定：，！，则 t=0:i=0 ,Bi,n(t)=1 i0 ,Bi,n(t)=0 P(0)=P0,t=1:i=n ,Bi,n(t)=1 in ,Bi,n(t)=0 P(1)=Pn 所以说，“只有第一个顶点和最后一个 顶点在曲线上”。即 Bezier曲线只通过多边折线的起点 和终点。,下面我们通过对基函数求导，来分析 两端切矢的情况。

4、得：,讨论： t=0: i=0: Bi-1,n-1(t)=0； Bi,n-1(t)=1。 i=1: Bi-1,n-1(t)=1； Bi,n-1(t)=0。 i2: Bi-1,n-1(t)=0； Bi,n-1(t)=0。 （均出现 0 的非 0 次幂）,t=0 同理可得，当 t=1 时 这两个式子说明：Bezier曲线在两端 点处的切矢方向与特征多边形的第一 条边和最后一条边相一致。,.二次和三次Bezier曲线 (1) 三个顶点：P0,P1,P2 可定义一条 二次(n=2) Bezier曲线： 其相应的混合函数为：,所以，根据式： 二次 Bezier 曲线的表达形式为： P(t)=(1-t)2

5、P0+2t(1-t)P1+t 2 P2 （t 1),根据 Bezier 曲线的总体性质，可讨 论二次 Bezier 曲线的性质： P(t)=(1-t)2P0+2t(1-t)P1+t2 P2 P(t)=2(t-1)P0+2(1-2t)P1+2tP2 P(1/2)=1/2P1+1/2(P0+P2) P(0)=2(P1-P0) P(1)=2(P2-P1) P(1/2)=P2-P0,二次 Bezier 曲 线是一条抛物线,(2)四个顶点 P0、P1、P2、P3 可 定义一条三次 Bezier 曲线： *,二、B样条曲线 .从 Bezier 曲线到样条曲线 (1) Bezier 曲线在应用中的不足： 缺

6、乏灵活性一旦确定了特征多 边形的顶点数(m个)，也就决定了曲 线的阶次(m-1次)，无法更改； 控制性差当顶点数较多时，曲 线的阶次将较高，此时，特征多边形 对曲线形状的控制将明显减弱；,不易修改由曲线的混合函数可 看出，其值在开区间 ( 0 , 1 ) 内均不为 零。因此，所定义之曲线在 ( 0 t 1) 的区间内的任何一点均要受到全部顶 点的影响，这使得对曲线进行局部修 改成为不可能。 （而在外形设计中，局部修改是随时要进行的）,为了克服 Bezier 曲线存在的问题， Gordon 等人拓展了 Bezier曲线，就 外形设计的需求出发，希望新的曲线 要： 易于进行局部修改； 更逼近特征多

7、边形； 是低阶次曲线。 于是，用 n次样条基函数替换了伯 恩斯坦基函数，构造了称之为样条 曲线的新型曲线。,2.样条曲线的数学表达式 样条曲线的数学表达式为： 在上式中，0 t 1； i= 0, 1, 2, , m 所以可以看出：样条曲线是分段定 义的。如果给定 m+n+1 个顶点 Pi ( i= 0, 1, 2, m+n)，则可定义 m+1 段 n 次的参数曲线。,在以上表达式中： F k,n ( t ) 为 n 次B样条基函数，也称 样条分段混合函数。其表达式为： 式中： 0 t 1 k = 0, 1, 2, , n,连接全部曲线段所组成的整条曲线称 为 n 次样条曲线。依次用线段连接 点

8、 Pi+k (k=0,1,n)所组成的多边折 线称为样条曲线在第i段的特征多 边形。,.二次样条曲线 在二次样条曲线中，n=2,k=0,1,2 故其基函数形式为：,有了基函数，因此可写出二次样条 曲线的分段表达式为： ( i= 0,1,2,m )m+1段,写成一般的矩阵形式为： 式中，k为分段曲线的特征多边形 的顶点：B0,B1,B2。对于第i段曲线的 Bk 即为：Pi,Pi+1,Pi+2 连续的三个顶 点。（见下图）,n=2,二次B样条曲线 m+n+1个顶点，三 点一段，共m+1段。,i=0 P0,2(t),i=1 P1,2(t),二次样条曲线的性质 先对 P(t)求导得： 然后分别将 t=

9、0,t=0.5,t=1 代入 P(t) 和 P(t)，可得： P(0)=1/2(B0+B1), P(1)=1/2(B1+B2); P(0)=B1-B0, P(1)=B2-B1; P(1/2)=1/21/2P(0)+P(1)+B1 P(1/2)=1/2(B2-B0)=P(1)- P(0),与以上这些式子所表达的性质相符的 曲线是何种形状：（见下图）,是什么曲线？ 与Bezier曲线有 何差别？,结论：分段二次B样条曲线是一条抛 物线；有n个顶点定义的二次B样条曲 线，其实质上是n-2段抛物线（相邻三 点定义）的连接，并在接点处达到一 阶连续。（见下图）,.三次样条曲线 分段三次样条曲线由相邻四个

10、顶点 定义，其表达式为： P( t )=F0,3(t)B0+F1,3(t)B1+F2,3(t)B2 +F3,3(t)B3(0 t 1) 可见，由 n 个顶点定义的完整的三次 样条曲线是由 n-3 段分段曲线连接 而成的。很容易证明，三次样条曲 线在连接处达到二阶连续。 *,样条曲线是一种非常灵活的曲线， 曲线的局部形状受相应顶点的控制很 直观。这些顶点控制技术如果运用得 好，可以使整个样条曲线在某些部 位满足一些特殊的技术要求。如： 可以在曲线中构造一段直线； 使曲线与特征多边形相切； 使曲线通过指定点； 指定曲线的端点； 指定曲线端点的约束条件。,三、B样条曲面 在数学上，可以很容易将参数曲

11、线段 拓张为参数曲面片。因为无论是前面 的 Bezier 曲线还是样条曲线，它 们都是由特征多边形控制的。而曲面 是由两个方向（比如 u 和 v）的特征 多边形来决定，这两个方向的特征多 边形构成特征网格。,双二次Bezier曲面和样条曲面,.Bezier 曲面 给定了(m+1)(n+1)个空间点列 bi,j (i=0, 1,2,n; j=0,1,2,m)后，可以定义m n次 Bezier 曲面如下式所示： 式中：(0 u,v 1);Bi,n(u) 为 n 次 Bernstein 基函数；连接点列 bi,j 中相 邻两点组成特征网格。,在实际应用中，次数 m 和 n 均不宜 超过 5，否则网格

12、对于曲面的控制力 将会减弱，这同 Bezier曲线的情况 是相似的。其中最重要的应用是 m=n =3，即双三次 Bezier曲面。 双三次 Bezier曲面的表达式为：,式中：,.样条曲面 从样条曲线到样条曲面的拓展完 全类似于从Bezier曲线到Bezier曲面的 拓展。 给定了(m+1)(n+1)个空间点列 bi,j (i=0, 1,2,n; j=0,1,2,m)后，可以定义m n次 B样条曲面片如下式所示：,同样，式中的 Fi,n(u)称为n次样条 基函数族，连结 bi,j组成的空间网格 称为特征网格。 在实际应用中，最为重要的一种曲面 是双三次样条曲面片，此时 m=n=3。 其表达式为：,式中： 其余的U、V和