D11-8一般周期函数的傅里叶级数

1、第八节,一般周期的函数的傅里叶级数,以2 l 为周期的函数的,傅里叶展开,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第十一章,一、以2 l 为周期的函数的傅里叶展开,周期为 2l 函数 f (x),周期为 2 函数 F(z),变量代换,将F(z) 作傅氏展开,f (x) 的傅氏展开式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设周期为2l 的周期函数 f (x)满足收敛定理条件,则它的傅里叶展开式为,(在 f (x) 的连续点处),其中,定理.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则有,则有,证明: 令, 则,令,则,所以,且它满足收敛,定理条件,将它展成傅里叶级数:,( 在 F(z) 的连续点处 ),变

2、成,是以 2 为周期的周期函数 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,其中,令,( 在 f (x) 的 连续点处 ),证毕,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,其中,(在 f (x) 的连续点处),如果 f (x) 为偶函数, 则有,(在 f (x) 的连续点处),其中,注: 无论哪种情况 ,在 f (x) 的间断点 x 处, 傅里叶级数,收敛于,如果 f (x) 为奇函数, 则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 把周期为4函数，一个周期表示为,展开成,傅里叶级数;.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、非周期函数的展开,1。 周期延拓的情形,设函数 f ( t

3、) 在 -l , l )上满足Dirichlet 条件 为了将其展开为Fourier 级数，需要将 f ( t ) 在 -l , l ) 以外进行周期性延拓，也就是作一个周期,为 2 l 的函数 F (t ) 使得F (t ) 在 -l , l ) 上与 f ( t )恒等，将F (t ) 展开成Fourier 级数,而在 -l , l ) 的连续点处， 有,若 t 0 是 -l , l ) 内的间断点，则在该点处，级数收敛于,2。非周期函数的周期性延拓,如果函数 f ( t ) 只是定义在 0 , l 上，且 在 0 , l 上满足Dirichlet 条件，需要展开成 Fourier 级数，

4、就要先在 -l , 0 ）上 补充,定义，或者说构造一个新函数 F ( t ) 使得在区间 0 , l 上有F ( t ) = f ( t ) 然后按照周期延拓的方法将F ( t ) 展开成 Fourier 级数 ，当限制自变量在 0 , l 上时，就得到 f ( t ) 的Fourier 展开式,一般而言，奇延拓的收敛域不包括端点 偶延拓的收敛域包括端点,例2. 把,展开成,傅里叶级数;.,解: 将 f (x) 作周期延拓, 则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 把,展开成,(1) 正弦级数; (2) 余弦级数.,解: (1) 将 f (x) 作奇周期延拓, 则有,(2) 将,作

5、偶周期延拓,则有,作周期延拓,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明: 此式对,也成立,由此还可导出,据此有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 交流电压,经半波整流后负压消,失,试求半波整流函数的,解: 这个半波整流函数,它在,傅里叶级数.,上的表达式为,的周期是,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,n 1 时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由于半波整流函数 f ( t ),直流部分,说明:,交流部分,由收,收敛定理可得,2 k 次谐波的振幅为,k 越大振幅越小,因此在实际应用中展开式取前几项就足以逼近f (x)了.,上述级数可分解为

6、直流部分与交流部分的和.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,当函数定义在任意有限区间上时,方法1,令,即,在,上展成傅里叶级数,周期延拓,将,在,代入展开式,上的傅里叶级数,其傅里叶展开方法:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,方法2,令,在,上展成正弦或余弦级数,奇或偶式周期延拓,将 代入展开式,在,即,上的正弦或余弦级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 将函数,展成傅里叶级数.,解: 令,设,将F(z) 延拓成周期为 10 的周期函数,理条件.,由于F(z) 是奇函数, 故,则它满足收敛定,机动 目录 上页 下页 返回 结束,利用欧拉公式,二、傅里叶级数的复数形式,设 f

7、(x)是周期为 2 l 的周期函数 , 则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意到,同理,机动 目录 上页 下页 返回 结束,傅里叶级数的复数形式:,因此得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,式的傅里叶级数 .,例4. 把宽为 ,高为 h ,周期为 T 的矩形波展成复数形,解: 在一个周期,它的复数形式的傅里叶系数为,内矩形波的函数表达式为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,为正弦 级数.,内容小结,1. 周期为2l 的函数的傅里叶级数展开公式,(x 间断点),其中,当f (x)为奇 函数时,(偶),(余弦),2. 在任意有限区间上函数的傅里叶展开法,变换,延拓,3. 傅里叶级数的复数形式,利用欧拉公式导出,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1. 将函数展开为傅里叶级数时为什么最好先画出其图形?,答: 易看出奇偶性及间断点,2. 计算傅里叶系数时哪些系数要单独算 ?,答: 用系数公式计算,如分母中出现因子nk,作业: P256 1 (1) , (3) ; 2 (2) ; 3,从而便于计算系数和写出,收敛域 .,必须单独计算.,习题课 目录 上页 下页 返回 结束,备用题,期的傅立叶级数, 并由此求级数,(91