二次曲线的渐近方向中心渐近线

1、5.2 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线,1. 二次曲线的渐近方向,我们在5.1 中看到二次曲线,和具有方向 的直线,（1）,（2）,的交点参数满足,或者直线全部在二次曲线上，成为二次曲线的组成部分.,当满足条件,（3）,时，交点数目会有三种情况,或者只有一个实交点，,或者没有交点，,这说明, 直线方向会影响其与曲线的交点. 方向(3)具有特殊性. 我们将(3)所示的方向定义为二次曲线的渐近方向.,我是 特殊方向,（3）,因为二次曲线（1）的二次项系数不能全为零， 所以渐近方向 所满足的（3）总有确定的解.,下面考虑(3)存在渐近方向的个数问题.,如果 ，那么把（3）改写成,得,如果 ，把（3

2、）改写成,（3）,如果 ，那么把（3）改写成,得,所以,这时,（3）,如果,那么一定有,这时（3）变为,总结以上讨论的各种情况, 渐近方向的数目?,最多两个! (从比值的角度看),（3）,如果 ，渐近方向满足,如果 ，渐近方向满足,这说明渐近方向的数目最多两个! (从比值的角度看),有虚方向吗?,区分一下虚实方向.,（3）,如果 ，渐近方向满足,如果 ，渐近方向满足,从上我们看到，,当且仅当 时，,二次曲线的渐近方向是一对共轭的虚方向；,（3）,如果 ，渐近方向满足,如果 ，渐近方向满足,二次曲线有一个实渐近方向；,（3）,如果 ，渐近方向满足,如果 ，渐近方向满足,二次曲线有两个实渐近方向.

3、,因此二次曲线的渐近方向最多有两个.,总结:,当且仅当 时，,二次曲线的渐近方向是一对共轭的虚方向；,当且仅当 时，,二次曲线有一个实渐近方向；,当且仅当 时，,二次曲线有两个实渐近方向.,显然二次曲线的非渐近方向有无数多.,因此,可以利用渐近方向将二次曲线分类,定义 5.2.2,没有实渐近方向的二次曲线叫做 椭圆型的，有一个实渐近方向的二次曲线叫做抛物 型的，有两个实渐近方向的二次曲线叫做双曲线型 的。,因此二次曲线（1）按其渐近方向可以分为三 种类型，即,1) 椭圆型曲线： ；,2) 抛物型曲线： ；,3) 双曲型曲线： .,例1 求下列二次曲线的渐近方向,并指出曲线属于何种类型.,(1)

4、,(2),解: (1),渐近方向满足,即:,解得:,有两个实渐近方向.,是双曲型曲线.,也可以由,得到是双曲型曲线.,解: (1),渐近方向满足,即:,解得:,有两个虚渐近方向.,是椭圆型曲线.,也可以由,得到是椭圆型曲线.,p193. 1.,现在请大家做课堂练习,2. 二次曲线的中心与渐近线,我们在5.1 中又看到，当直线的方向 为二次曲线（1）的非渐近方向时，即当,时，直线与二次曲线总交于两个点（两个不同实的，两重合实的或一对共轭虚的）.,我们把由这两点决定的线段 叫做二次曲线的弦.,线段AB是 弦,C,我们这些弦 都被C平分 称C为中心,根据这个定义，,当点 为二次曲线（1）的中心时，,

5、的直线,与二次曲线交于两点,点 就是弦 的中点.,的直线,与二次曲线交于两点,设交点M1与M2对应的参数分别为t1, t2.,则有,注意,(a),所以(a)意味着,由前面所得,而另一方面, 直线,与二次曲线的交点,对应的参数, 可以由下列方程解得,从韦达定理得,（4）,因为 为任意非渐近方向，所以（4）式是关于 的恒等式，从而有,（4）,反过来，适合上面两式的点 ，显然是二 次曲线的中心.,这样我们就得到了下面的定理：,（5）,所以，二次曲线的中心坐标由下列方程组决定,（5）,解:,二次曲线的中心坐标由下列方程组决定,解得:,二次曲线的中心坐标由下列方程组决定,（5）,由上面的方程容易得到推论

6、,例如,(0, 0)为中心.,练习：p193. 3.,作业： P194. 4.,定义 5.2.2 没有实渐近方向的二次曲线叫做椭圆型的， 有一个实渐近方向的二次曲线叫做抛物型的， 有两个实渐近方向的二次曲线叫做双曲线型的。,因此二次曲线（1）按其渐近方向可以分为三 种类型，即,1) 椭圆型曲线： ；,2) 抛物型曲线： ；,3) 双曲型曲线： .,复 习,二次曲线的中心坐标由下列方程组决定,（5）,下面将利用中心把二次曲面分类.,下面将利用中心把二次曲面分类.,先考虑中心最多有多少?,由于二次曲线的中心坐标由下列方程组决定,（5）,如果系数行列式,那么(5)有唯一的解.,此时,二次曲线有唯一的

7、中心.,如果系数行列式,即 ，,二次曲线没有中心；,而当 时，,那么当,时，,（5）,（5）无解，,（5）有无数多解,换句话说,上的所有点都是二次曲线的中心，,这时这条直线叫做中心直线.,定义 5.2.4,有唯一中心的二次曲线叫做中心二次曲线，,没有中心的二次曲线叫做无心二次曲线，,有一条中心直线的二次曲线叫做线心二次曲线，,无心二次曲线与线心二次曲线统称为非中心二次曲线.,例2,根据这个定义，我们得二次曲线按其中心得分类：,1） 中心曲线：,2） 非中心曲线： ，,线心曲线： 。,即,由前面关于曲线按渐近方向的分类,二次曲线按其渐近方向可以分为三种类型，即,1) 椭圆型曲线： ；,3) 双曲

8、型曲线： .,2) 抛物型曲线： ；,因此,椭圆型曲线与双曲型曲线都是中心曲线.,抛物型曲线是非中心曲线， 它包括无心曲线与线心曲线.,而抛物型曲线,二次曲线的渐近线,显然，,椭圆型曲线只有,两条虚渐近线而无实渐近线 ，,双曲型曲线有两条实渐近线，,中的无心曲线却无渐近线，,至于线心曲线它有一条实渐近线，就是它的中心直线.,渐近线与二次曲线的位置关系,证,设直线,是二次曲线的渐近线.,这里 为二次曲线的中心，,渐近方向.,那么我们有,为二次曲线的,渐近线与二次曲线没有交点；,因此根据 5.1 中直线与二次曲线的相交情况的讨论，,我们有：,当点,不在二次曲线上，即,时，,当点 在二次曲线（1）上，,渐近线（2）全部在二次曲线上，,的组成部分.,成为二次曲线,解:,求中心,二次曲线的中心坐标由下