函数的单调性与导数

1、33导数的应用,3.3.1函数的单调性与导数,1.通过实例了解函数导数的符号与函数单调性之间的关系； 2.能够利用导数研究函数的单调性； 3.会求函数的单调区间.,1.利用导数研究函数的单调性，求函数的单调区间(重点) 2.利用数形结合思想理解导函数与函数单调性之间的关系(难点) 3.常与方程、不等式等结合命题.,研究股票时，我们最关心的是股票曲线的发展趋势(走高或走低)，以及股票价格的变化范围(封顶或保底)从股票走势曲线图来看，股票有升有降我们知道，可以用导数来研究股票走势曲线的变化趋势 那么，如何用导数来研究函数的单调性呢？,用函数的导数判断函数单调性的法则 设函数yf(x)在区间(a，b

2、)内可导， (1)如果在(a，b)内，f(x)0，则f(x)在此区间是增函数； (2)如果在(a，b)内，f(x)0，则f(x)在此区间是减函数,上述结论可用图来直观理解,1函数f(x)(x3)ex的单调递增区间是() A(，2)B(0,3) C(1,4) D(2，) 解析：f(x)(x3)ex(x3)(ex)(x2)ex， 令f(x)0，解得x2.故选D. 答案：D,答案：C,求下列函数的单调区间 (1)f(x)xx3； (2)f(x)sin xcos xx1，x(0,2),策略点睛,题后感悟(1)如何利用导数判断或证明函数的单调性？ 利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就

3、是判断或证明不等式f(x)0(f(x)0)在给定区间上恒成立一般步骤为：求导数f(x)；判断f(x)的符号；给出单调性结论 (2)注意事项： 如果出现个别点使f(x)0，不影响函数在包含该点的某个区间内的单调性,2.已知a0，且a1，证明函数f(x)axxln a在(，0)内是减函数 证明：f(x)axln aln aln a(ax1)，x1时，ln a0，ax1，f(x)0， 即f(x)在(，0)内是减函数 综上，函数f(x)在(，0)内是减函数,若函数f(x)ax3x2x5在R上单调递增，求实数a的取值范围,(2)注意事项： 一般地，最后要检验参数的取值能否使f(x)恒等于0.若f(x)恒

4、等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有f(x)0，则由f(x)0(或f(x)0)恒成立解出的参数取值范围为最后解 (3)三次函数与二次函数的关系是什么？ 在导数的应用中，三次函数是常见的一种函数，在二次函数的基础上，应了解三次函数的图象和一些性质一般地，三次函数的图象是一个“双峰”的曲线，它的导函数是一个二次函数；三次函数的单调区间的端点就是它的导函数的零点，也就是相应方程的根,1函数的单调性与导数 (1)在利用导数来讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在定义域内通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间 (2)一般利用使导数等于零的点来对函数划分单调区间

5、 (3)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间中间不能用“”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开,(4)注意在某一区间内f(x)0(或f(x)0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分不必要条件，而不是充要条件(例如f(x)x3) (5)如果函数在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)为常数函数如f(x)3，则f(x)30. (6)利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数的几何意义在研究曲线变化规律中的一个应用，它充分体现了数形结合思想 (7)若在某区间上有有限个点使f(x)0，在其余的点恒有f(x)0，则f(x)在该区间上仍为增函数,特别提醒若无穷多个点使f(x

6、)0，那么这些点必须是离散的，不能构成区间,2求函数的单调区间的方法 求函数的单调区间，就是解不等式f(x)0或f(x)0，这些不等式的解就是所求的单调区间 求函数单调区间的步骤如下： (1)求f(x)的定义域； (2)求出f(x)； (3)解不等式f(x)0(或f(x)0)可得函数的增区间(或减区间),3判断函数的单调性的方法 判断函数f(x)在(a，b)内的单调性的方法： (1)求f(x)的定义域； (2)求出f(x)在(a，b)内的符号； (3)作出结论,4利用函数单调性讨论有关参数 求函数yf(x)的单调增区间、减区间分别是解不等式f(x)0，f(x)0所得的x的取值集合反过来，若已知f(x)在区间D上单调递增，求f(x)中的参数值