四种命题的关系

1、2020/7/10,1.1.3 四种命题的相互关系,高二数学 选修2-1 第一章 常用逻辑用语,2020/7/10,回顾,交换原命题的条件和结论，所得的命题是_ 同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是_ 交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是_,逆命题。,否命题。,逆否命题。,2020/7/10,原命题,逆命题,否命题,逆否命题,四种命题形式: 原命题: 逆命题: 否命题: 逆否命题:,若 p, 则 q 若 q, 则 p 若p, 则q 若q, 则p,观察并填空,（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；,（2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；,（3）若f(x)

2、不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；,（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数；,（1）与（2）互为 命题，（1）与（3）互为 命题，（1）与（4）互为 命题，（2）与（3）互为 命题，（2）与（4）互为 命题，（3）与（4）互为 命题。,逆,否,逆否,逆否,否,逆,四种命题之间的关系,原命题 若p则q,逆命题 若q则p,否命题 若 p则 q,逆否命题 若 q则p,互为逆否,互为逆否,1.,互逆,互否,2.,3.,互逆,互否,4.,5.,6.,2020/7/10,若xA ，则 xAB 。,(真),(假),(假),(真),(真),2.四种命题的真假,看下面的例子：,1）原命题：若x

3、=2或x=3, 则x2-5x+6=0。,(真),(真),(真),3）原命题：若xAB，则x A。,（假）,（真）,若x2-5x+6=0, 则x=2或x=3。,若x2且x3, 则x2-5x+60 。,若x2-5x+60，则x2且x3。,若ab=0, 则a=0。,若a 0, 则ab0。,若ab0,则a0。,若x AB ，则 xA 。,（真）,若xA ，则 x AB 。,（假）,2020/7/10,四种命题的真假,有且只有下面四种情况:,原命题与逆否命题；逆命题与否命题同真同假，其它关系不明。,0个或2个或4个,2020/7/10,1.判断下列说法是否正确。,1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不

4、一定为真；,（对）,2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。,（对）,3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假。,（错）,4）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假。,（错）,练一练,原命题与逆否命题；逆命题与否命题同真同假，其它关系不明。,2020/7/10,2. 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。,（1）若 或 ，则 。,（2）若 ，则x,y全为0。,逆命题：若m+n0，则m0或n0（真） 否命题：若m0且n0，则m+n0（真） 逆否命题：若m+n0，则m0且n0（假）,逆命题：若x,y全为0 ，则x2+y2=0 （真） 否命题：若x2+y20 ，则x

5、,y不全为0 （真） 逆否命题：若x,y不全为0，则x2+y20 （真）,2020/7/10,原命题与逆否命题同真同假的应用,直接判断原命题的真假有困难时，可以间接判断逆否命题的真假。,例：判断下列命题的真假 （1）若p2+q2=2,则p+q2; （2）设a是整数，若a2能被2整除，则a也能被2整除。 （3）成才之路跟踪练习3。,2020/7/10,总结,2020/7/10,反证法：,要证明某一结论A是正确的，但不直接证明，而是先去证明A的反面（非A）是错误的，从而断定A是正确的。 即反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法。,2020/7/

6、10,反证法的步骤：,假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。 从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾。 由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。,2020/7/10,例 证明：若p2q22，则pq2.,将“若p2q22，则pq2”看成原命题。由于原命题和它的逆否命题具有相同的真假性，要证原命题为真命题，可以证明它的逆否命题为真命题。,即证明 为真命题,2020/7/10,假设原命题结论的反面成立,看能否推出原命题条件的反面成立,尝试成功,得证,例 证明：若p2q22，则pq2.,2020/7/10,变式练习,1、已知 。求证：,这说明，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题。

7、,解：假设p+q2,那么q2-p,根据幂函数 的单调性，得,即,所以,因此,2020/7/10,可能出现矛盾四种情况：,与题设矛盾； 与反设矛盾； 与公理、定理矛盾； 在证明过程中，推出自相矛盾的结论。,2020/7/10,证明:,因为,所以,例 用反证法证明： 如果ab0，那么 .,2020/7/10,练 圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。,已知：如图，在O中，弦AB、CD交于P，且AB、CD不是直径.求证：弦AB、CD不被P平分.,证明：,假设弦AB 、CD被P平分，,P点一定不是圆心O，连接OP，根据垂径定理的推论，,有,OPAB, OPCD,即 过点P有两条直线与OP都垂直，,这与垂线性质矛盾，,弦AB、CD不被P平分。,2020/7/10,若a2能被2整除，a是整数，求证：a也能被2整除.,证：假设a不能被2整除，则a必为奇数， 故可令a=2m+1(m为整数), 由此得 a2=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1, 此结果表明a2是奇数， 这与题中的已知条件（a2能被2整除）相矛盾, a能被2整除.,2020/7/10,2020/7/10,Back,2020/7/10,想一想？,（2） 若其逆命题为真，则其否命题一定为真。但其原命题、逆否命题不一定为