含权债券定价

1、1,7. 含权债券定价 by Honglin Yu UIBE School of Banking & Finance,2,本章主要内容,含权债券的定价 可回购债券的定价 利率的顶和底定价 可转债的定价 转手债券定价（部分不含权） CMO证券的定价,3,回顾：,债券定价的基本原理：现金流折线法 债券可以看做是一系列现金流的组合； 对于每一时点的现金流来说，其对应的贴现率一般情况下是不同的（这就是前一章所讨论的债券的收益率曲线和利率的期限结构理论）； 用与每期现金流期限所对应的即期利率对每期现金流折线后求和，得到的就是债券的理论价格。,4,回顾：,债券定价的基本原理对非含权和含权债券的定价都是适用

2、的； 但含权债券的特点是： 各时点上的债券价格是条件依存性的； 思考：如何解决含权债券的定价问题？,5,回顾：,思考：是否可以用B-S定价公式？ 不可以！因为B-S模型存在一些局限性： B-S模型假设原生资产价格的自然对数服从正态分布，这意味着资产的价格可能到达任何正值； 对于债券而言，其价格不可能大于其所有利息与到期偿还价值之和。,6,含权债券的定价,解决思路： 如果知道某因素的变动（这里我们只考虑利率的变动）可能性和变动大小。则可以求出现金流的期望值，进而可以得到债券的期望价格。 利率的二项式（二叉树）方法。,7,含权债券的定价,风险中立情形下债券价值的评估等式：,R=1+r,8,含权债券

3、定价的前提,三个主要前提： 投资者都是风险中立者； 市场上不存在套利机会； 利率是影响债券现金流变化的唯一因素。,9,可回购债券的定价,回顾： 什么是可回购债券？ 在什么样的情况下，债券会被回购？ 债券的回购价格低于债券的市场价格。 通常在市场利率下降的时候发生。,10,可回购债券的定价,可回购权对债券有两方面的影响： 使得可回购债券的投资者面临再投资风险； 在市场利率下降的情况下，使债券的价格上升受到限制。,11,可回购债券的定价,可回购债券的价格收益率曲线：,市场收益率（市场利率）,12,可回购债券的定价,可回购债券的投资者相当于同时拥有两种证券： 与可回购债券有着相同面值、票面利率、期限

4、的不可回购债券（多头）； 不可回购债券的买入期权的卖空头寸（空头）。,13,可回购债券的定价,可回购债券的价值分解 这样的价值分解可用于： 理论定价； 现实中评估可回购债券的价值。,14,可回购债券的定价,利用二项式模型给一般附息债券定价 例：有一个不含权的附息债券，票面利率5.25%（按年支付），期限为三年，面值为100元。已知利率的二项式树图。该附息债券的定价为102.074元。如以下几图所示：,15,可回购债券的定价,利率的二项式树图，其中利率上升、下降的概率都为50%：,r0=3.5%,ru=4.976%,rd=4.074%,rdd=4.530%,rud=5.532%,ruu=6.75

5、7%,rud=rdu,16,可回购债券的定价,不可回购债券价值的二项式树图：,V=102.074 C0=0 r0=3.5%,V=99.461 C1=5.25 ru=4.976%,V=101.332 C1=5.25 rd=4.074%,V=100.689 C2=5.25 rdd=4.530%,V=99.732 C2=5.25 rud=5.532%,V=98.588 C2=5.25 ruu=6.757%,C3=100+5.25,C3=100+5.25,C3=100+5.25,C3=100+5.25,17,可回购债券的定价,利用二项式模型给一般附息债券定价 解答： 1、在时点3上，现金流为确定值债券

6、到期时的面值为100元，利息为5.25元；,18,可回购债券的定价,利用二项式模型给一般附息债券定价 解答： 2、在时点2上，三种可能利率情形下的债券价值：,19,可回购债券的定价,利用二项式模型给一般附息债券定价 解答： 3、在时点1上，两种可能利率情形下的债券价值：,20,可回购债券的定价,利用二项式模型给一般附息债券定价 解答： 4、在时点0上债券价值：,21,可回购债券的定价,利用二项式模型给一般附息债券定价 注意： 由于未来现金流的不确定性，所能计算的债券价值是期望值。,22,可回购债券的定价,给债券的欧式期权定价： 例：有一个债券的欧式期权，债券票面利率为5.25%（按年支付），期

7、限3年，面值为100元。该债券为可回购债券，回购日为第二年年末，回购价格为99.50元。利率树图同上例。问： 债券回购的选择权的价值是多少？ 该含权债券的价值是多少？,23,可回购债券的定价,如果债券不可回购，则债券价值的二项式树图为：,V=102.074 C=0 r0=3.5%,V=99.461 C=5.25 ru=4.976%,V=101.332 C=5.25 rd=4.074%,V=100.689 C=5.25 rdd=4.530%,V=99.732 C=5.25 rud=5.532%,V=98.588 C=5.25 ruu=6.757%,C=100+5.25,C=100+5.25,C=

8、100+5.25,C=100+5.25,24,可回购债券的定价,可回购债券：在时点2，当债券价格大于回购价格99.50元时，债券才会发生回购的可能：,V=102.074 C=0 r0=3.5%,V=99.461 C=5.25 ru=4.976%,V=101.332 C=5.25 rd=4.074%,V=100.689 C=5.25 rdd=4.530%,V=99.732 C=5.25 rud=5.532%,V=98.588 C=5.25 ruu=6.757%,C=100+5.25,C=100+5.25,C=100+5.25,C=100+5.25,25,可回购债券的定价,债券选择权的内在价值为：

9、,Vcall=0.383 r0=3.5%,Vcall=0.11 ru=4.976%,Vcall=0.683 rd=4.074%,Vcall=1.189 rdd=4.530%,Vcall=0.232 rud=5.532%,Vcall=0 ruu=6.757%,26,可回购债券的定价,解答： 1、在时点2上： 在短期利率为6.757%时，不含权债券价值为98.58899.50,期权的内在价值为0.232； 在短期利率为4.53%时，不含权债券价值为100.68999.50,期权的内在价值为1.189.,27,可回购债券的定价,解答： 2.1、在时点1上： 在短期利率为4.976%时，期权的内在价值

10、为（注意：为等待后得到的价值）：,28,可回购债券的定价,解答： 2.2、在时点1上： 在短期利率为4.074%时，期权的内在价值为：,29,可回购债券的定价,解答： 3、在时点0上： 在短期利率为3.5%时，期权的内在价值为：,30,可回购债券的定价,解答： 4、由于在0时点上，回购选择权的价值为0.383，不含权债券的价值为102.074元，含权债券的价值为101.691元。 由于存在回购权：,31,可回购债券的定价,给债券的美式期权定价 例：一个可回购债券的票面利率为5.25%（按年支付），期限为三年，面值为100元，该债券的回购日为第一年年底至第二年年底，回购价格都为99.50元。利率

11、树图和上例一样。问： 该债券的美式回购权的价值是多少？ 该含权债券的价值是多少？,32,可回购债券的定价,当债券的价格大于回购价格99.50元时，债券才会发生回购的可能：,V=102.074 C=0 r0=3.5%,V=99.461 C=5.25 ru=4.976%,V=101.332 C=5.25 rd=4.074%,V=100.689 C=5.25 rdd=4.530%,V=99.732 C=5.25 rud=5.532%,V=98.588 C=5.25 ruu=6.757%,C=100+5.25,C=100+5.25,C=100+5.25,C=100+5.25,为什么？,33,可回购债券

12、的定价,债券选择权的内在价值为：,Vcall=0.939 r0=3.5%,Vcall=max(0.11,0) ru=4.976%,Vcall=max(0.683,1.833) rd=4.074%,Vcall=1.189 rdd=4.530%,Vcall=0.232 rud=5.532%,Vcall=0 ruu=6.757%,34,可回购债券的定价,解答： 1、在时点2上，各结点上的选择权的内在价值与欧式期权相应结点上的价值完全一样。,35,可回购债券的定价,解答： 2、在时点1上，选择权的持有者有两个选择： 一是等待。等待是有价值的，这一价值取决于1年后的期望值和利率。等待的价值等于欧式期权在

13、相应结点上的内在价值。 二是按照99.50元的价格回购债券。,36,可回购债券的定价,解答： 3、在时点0上，选择权的价值为： 思考： 为什么时点0时的选择权价值不是102.074-99.50=2.574？,37,可回购债券的定价,解答： 4、债券的美式回购权的价值为0.939元，不含权债券的价值为102.074元，含美式回购权的债券价值为101.135元。,38,可回购债券的定价,思考： 在其他条件都相同，为什么美式回购权的债券价格小于欧式回购权的债券价格？ ,39,可回购债券的定价,总结： 可回购债券定价的关键点是什么？ 回购选择权分别为美式和欧式时，可回购债券有什么不同？ ,40,利率的

14、顶、底定价,回顾： 利率的顶、底是什么？ 见教材P13。,41,利率的顶、底定价,利率的顶、底是一种选择权 利率的顶可以理解为关于浮动利率的一串认购选择权，它限制了浮动利率负债所支付的最高利率水平。这一选择权属于发行者。 利率的底则可以理解为关于浮动利率的一串回卖选择权，它限制了浮动利率负债所支付的最低利率水平。这种选择权则属于投资者。,42,利率的顶、底定价,利率的顶、底是一种选择权 利率的顶和底既可以脱离债券本身，通过单独交易获得（可分离性），也可以与债券相连，其价格则体现在证券的利率当中。,43,利率的顶、底定价,给利率的顶定价,44,利率的顶、底定价,思考： 为什么利率的顶的价值是多次

15、顶的价值相加，而不是像美式期权取节点上的最大值？ .,45,利率的顶、底定价,给利率的顶定价 例：利率的顶为6.7%，本金1000万元，支付频率为年。已知利率的变化树图。求顶的价值。,46,利率的顶、底定价,给利率的顶定价 利率变化树图：,5%,6.93%,5.94%,6.20%,7.23%,8.51%,10.7%,9.03%,7.67%,6.55%,47,利率的顶、底定价,给利率的顶定价 1、给第1年的顶定价：,10952.4,23000,0,48,利率的顶、底定价,解答： 1、时点1和0时的价值为：,49,利率的顶、底定价,给利率的顶定价 2、给第2年的顶定价：,64015.0,10941

16、7.4,25014.2,0,53000,181000,50,利率的顶、底定价,解答： 2.1、T=2时:,51,利率的顶、底定价,解答： 2.2、T=1时:,52,利率的顶、底定价,解答： 2.3、T=0时:,53,利率的顶、底定价,给利率的顶定价 3、给第3年顶定价：,143121.7,207038.2,93517.3,45668.5,152476,290295.8,400000,233000,97000,0,54,利率的顶、底定价,解答： 3.1、T=3时:,55,利率的顶、底定价,解答： 3.2、T=2时:,56,利率的顶、底定价,解答： 3.3、T=1时:,57,利率的顶、底定价,解答

17、： 3.4、T=0时:,58,利率的顶、底定价,解答： 4、顶的价值为：,59,利率的顶、底定价,给利率的底定价,60,利率的顶、底定价,给利率的底定价 例：利率的底为6.3%，本金1000万元，支付频率为年。已知利率的变化树图。求底的价值。,61,利率的顶、底定价,给利率的底定价 利率变化树图：,5%,6.93%,5.94%,6.20%,7.23%,8.51%,10.7%,9.03%,7.67%,6.55%,62,利率的顶、底定价,给利率的底定价 1、给第1年的底定价：,17142.9,0,36000,63,利率的顶、底定价,给利率的底定价 2、给第2年的底定价：,2247.5,0,4719

18、.7,10000,0,0,64,利率的顶、底定价,给利率的底定价 3、给第3年底定价：,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,65,利率的顶、底定价,解答： 4、底的价值为：,66,可转债的定价,回顾： 什么是可转债？ ,67,可转债的定价,可转债的价值分解 可转债的定价关键是求出可转换权的定价。 股票期权的定价既可以用二项式模型，也可以用B-S模型。,68,可转债的定价,二项式模型和可转换权的定价 例：某一公司可转换债券，面值为100元，票面利率为2%，转换期为6个月，转换比率为1：1，转换价格为125元。目前股票价格为100元，借贷的年利率为8%。假设6个月后该公司的股票价格要么下降为5

19、0元（50%的概率），要么上升至200元。求该可转换债券的转换权的价值。,69,可转债的定价,二项式模型和可转换权的定价 股票价格的变化和期权的价格为：,股票：100元,200,50,期权：C？,75,0,如何定价？,70,可转债的定价,二项式模型和可转换权的定价 解决思路：构建一个投资组合，该组合的现金流量和该期权的现金流量完全相同，则可以用无风险套利方法为该期权定价：,71,可转债的定价,二项式模型和可转换权的定价 解决思路：构建一个投资组合，该组合的现金流量和该期权的现金流量完全相同，则可以用无风险套利方法为该期权定价。,72,可转债的定价,二项式模型和可转换权的定价 构建一投资组合，该

20、组合包括一定数量的该公司股票，以及按借贷利率借入的某数量负债，该组合的现金流量与股票购入期权的现金流量完全相同，则有：,73,可转债的定价,二项式模型和可转换权的定价 求解： 该投资组合在期初时的现金流量，也就是期权的价值为：,74,可转债的定价,二项式模型和可转换权的定价 思考：如果转换期较长，则如何定价呢？ ,75,可转债的定价,二项式模型和可转换权的定价 例：某公司可转债，面值为100元，票面利率为2%，转换期为两年，借贷利率为年利率8%，转换比率为1：1，转换价格为125元。已知股票价格在转换期间的变化树图。求该可转债的转换权价值。,76,可转债的定价,二项式模型和可转换权的定价 股票

21、价格变化树图：,100,200,50,40,125,300,77,可转债的定价,二项式模型和可转换权的定价 根据股票价格和可转换价格，可得：,C,Cu,Cd,Cdd=0,Cud=0,Cuu=175,78,可转债的定价,二项式模型和可转换权的定价 1、先求1时刻股票价格上升时转换权的价值。根据同样的解决原理，构建组合：,79,可转债的定价,二项式模型和可转换权的定价 求解： 该投资组合在时点1时的现金流量，也就是该时点期权的价值为：,80,可转债的定价,二项式模型和可转换权的定价 同理可得：,81,可转债的定价,二项式模型和可转换权的定价 2、求0时点转换权的价值，同样有：,82,可转债的定价,

22、二项式模型和可转换权的定价 求解： 该投资组合在时点1时的现金流量，也就是该时点期权的价值为：,83,可转债的定价,思考： 如果转换比率改变了呢，如何定价？ ,84,可转债的定价,思考： 例：其他条件都不变，但转换比率变为：一个可转债可转换成两个股票。则该转换权的价值为？,85,可转债的定价,股票价格变化树图仍为：,100,200,50,40,125,300,86,可转债的定价,根据股票价格，转换比率和可转换价格，可得：,C,Cu,Cd,Cdd=0,Cud=0,Cuu=350,87,可转债的定价,同理，构建投资组合： 求解后得到购买股票和借款的数量，即可求出Cu的价值。同样可求出Cd 的价值。

23、再推出C的价值。,88,可转债的定价,思考： 例：如果其他条件都不变，但转换比率变为：两个可转债可转换成1个股票。则该转换权的价值为？,89,可转债的定价,股票价格变化树图仍为：,100,200,50,40,125,300,90,可转债的定价,根据股票价格，转换比率和可转换价格，可得：,C,Cu,Cd,Cdd=0,Cud=0,Cuu=87.5,91,可转债的定价,同理，构建投资组合： 求解后得到购买股票和借款的数量，即可求出Cu的价值。同样可求出Cd 的价值。再推出C的价值。,92,可转债的定价,用B-S model 给可转债定价 由于可转债的标的资产是股票，因此，可以用B-S model 给

24、可转债定价。,93,可转债的定价,用B-S model 给可转债定价 B-S 定价公式：,94,可转债的定价,用B-S model 给可转债定价 例：某可转债的面值为100元，票面利率为2%，转换期为两年，转换比率为1：1，转换价格为125元，目前股票价格为100元。假定两年期连续利率为8%，股票收益率的波动率为0.6（每年为60%）。求可转换权的价值。,95,可转债的定价,用B-S model 给可转债定价 解答：1、计算d1,d2:,96,可转债的定价,用B-S model 给可转债定价 解答：2、查表求出：,97,可转债的定价,用B-S model 给可转债定价 解答：3、计算转股价格的

25、现值：,98,可转债的定价,用B-S model 给可转债定价 解答：4、计算转换权的价值：,99,可转债的定价,用B-S model 给可转债定价 计算：同样的例题，如果用二项式方法则如何计算？计算出的结果为？,100,可转债的定价,思考： 可转债有什么样的优势？ 对于发债方： 节约利息； 税收屏蔽； 融资的便利； 合理的资本结构。 对于金融机构还有补充资本金的作用。,101,可转债的定价,思考： 可转债有什么样的优势？ 对于投资方： 保底收益； 获取选择权； 转换股票后所获取的收益。,102,可转债的定价,Mini Case：招行可转债风波 2003年8月26日，招行发布公告：董事会审议通

26、过了关于发行可转换公司债券的议案。该议案提出，招行将发行不超过100亿元，期限为5年的可转换债券。,103,可转债的定价,Mini Case：招行可转债风波 该消息引起了市场的巨大震动。发行计划公布的一个月中，招行股价从8月25日的10.51元下降到9月25日的9.37元，降幅达11%，股票市值损失65亿元。,104,可转债的定价,Mini Case：招行可转债风波 思考：为什么招行的可转债会引起股价的大幅下降？ ,105,可转债的定价,Mini Case：招行可转债风波 提示： 可转债的定价问题？ 招行的发行可转债的动机？ 流通股股东的利益？ 机构投资者（基金）的角色？ 当时的市场背景？,1

27、06,转手证券定价,什么是转手证券？ 转手证券属于资产支持证券的一种，其现金流依赖于其支撑资产。其他MBS创新都是在转手证券之上实现的。,107,转手证券定价,转手证券发放的步骤（以住房抵押贷款为例）： 商业银行或储蓄机构发放住房抵押贷款； 把贷款卖给中介机构，后者以贷款池为支持创造出证券； 中介结构通过担保贷款本金的偿还来减低证券的信用风险； 中介机构把贷款服务的权利出售给公司（或许就是原来的银行）； 中介机构将证券在市场中销售。,108,转手证券定价,转手证券的特点： 转手证券的现金流依赖于原始的住房抵押贷款现金流； 住房抵押贷款可以提前偿还（含有期权性质）。,109,转手证券定价,转手证

28、券的价值分解： 转手证券与可回购债券相似。转手证券的持有者相当于持有了一种不可回购债券，同时出售了该债券的买入期权。,110,转手证券定价,转手证券定价的关键： 知道转手证券的现金流量（因为转手） 知道利率期限结构（因为含权）,111,转手证券定价,例：某5年期，每年偿还一次的转手证券。该转手证券的面值为100元，对应于100元的住房抵押贷款。住房抵押贷款的利息率为12%（固定利率等额偿还），中介机构收取贷款余额1%的手续费，转手证券的票面利率为11%。已知5年的利率树图。求： 不提前偿还条件下的转手证券的价值； 提前偿还条件下的转手证券的价值。,112,转手证券定价,利率变化树图：,10%,

29、14.32%,9.79%,9.76%,13.77%,19.42%,23.50%,15.80%,12.7%,9.50%,27.30%,19.55%,14.20%,11.25%,9.30%,113,转手证券定价,解答： 1、求出住房抵押贷款的现金流。 固定利率等额偿还的计算公式（PMT函数）：,114,转手证券定价,解答： 1、求出住房抵押贷款的现金流。 根据上式，求出每期的偿还金额：,115,转手证券定价,解答： 2、计算住房抵押贷款和转手证券的现金流,116,转手证券定价,3、不可提前偿还条件下的转手证券价格树图：,97.22,76.48/26.74,83.92/26.74,67.26/26.

30、90,63.22/26.90,57.84/26.90,40.13/27.07,43.87/27.07,45.84/27.07,47.67/27.07,21.59/27.27,22.99/27.27,24.07/27.27,24.71/27.27,25.15/27.27,0/27.49,0/27.49,0/27.49,0/27.49,0/27.49,0/27.49,价值/现金流量,117,转手证券定价,3、不可提前偿还条件下的转手证券的价格为97.22元。,118,转手证券定价,4、提前偿还权的含权价值： 转手证券是可以提前支付的。 思考：在什么样的情况下会提前支付？ 1、当提前偿还选择权的执行

31、价格小于贷款余额当时的市场价值时，即抵押贷款的当前价值超过了施权价。 2、近似处理在本例题中当不可提前偿的转手证券的价格高于同一时点上的住房抵押贷款的余额时。,119,转手证券定价,4、提前偿还权的内在价值： 因此：实施提前偿还（全部偿还，非部分偿还）的执行价格为每一时点上住房抵押贷款的期初余额： t=0,K=100元； t=1,K=84.26元； t=2,K=66.63元； t=3,K=46.88元； t=4,K=24.77元； t=5,K=0元。,120,转手证券定价,5.1、住房抵押贷款的时间价值树图：,99.71,78.16/27.74,85.74/27.74,68.44/27.74,

32、64.34/27.74,58.88/27.74,40.68/27.74,44.46/27.74,46.45/27.74,48.31/27.74,21.79/27.74,23.20/27.74,24.29/27.74,24.93/27.74,25.38/27.74,0/27.74,0/27.74,0/27.74,0/27.74,0/27.74,0/27.74,价值/现金流量,121,转手证券定价,5.2、提前偿还权的行权价值为：,0,0,1.48,1.81,0,0,0,0,1.43,0,0,0,0.16,0.61,0,0,0,0,0,0,122,转手证券定价,5.3、提前偿还权的含权价值为：,0

33、.67,0.01,1.48，0.82,1.81，0.65,0.03,0,0,0,0.07,1.43，0.35,0,0,0,0.16,0.61,0,0,0,0,0,0,行权价值，等待价值,123,转手证券定价,6、不提前偿还条件下的转手证券价值为97.22；提前偿还权为0.67；则可提前偿还的转手证券的价值为96.55。,124,转手证券定价,7.1、提前偿还权的内在价值为（近似处理）：,0,0,0,0.63,0,0,0,0,0,0.79,0,0,0,0,0.38,0,0,0,0,0,0,125,转手证券定价,7.2、提前偿还权的价值（近似处理）：,0.13,0,0.29,0.63,0,0,0,

34、0,0,0.79,0,0,0,0,0.38,0,0,0,0,0,0,126,转手证券定价,8、不提前偿还条件下的转手证券价值为97.22；近似处理的提前偿还权为0.13；则可提前偿还的转手证券的价值为97.09。,127,转手证券定价,抵押贷款提前偿还的原因 市场利率的高低； 市场利率的历史路径； 宏观经济状况； 住房抵押贷款的条件； 季节因素； 贷款龄；,128,转手证券定价,贷款提前偿还对转手证券的投资者意味着： 转手证券的现金流提前收取； 面临再投资收益率风险。 某些投资者将不愿购买转手证券。,129,转手证券定价,贷款提前偿还与转手证券的现金流量 转手证券定价的关键是确定其现金流量，而

35、贷款本金的提前偿还使转手证券的现金流量难以确切预测。对此已讲述过的处理方法： 方法一：当提前偿还选择权的执行价格小于贷款余额当时的价值时会发生提前偿还，按含权债券的定价来处理。 思考：这样的方法有什么问题？,130,转手证券定价,贷款提前偿还与转手证券的现金流量 方法二：假定每期的提前偿还为某个固定的比率。,131,转手证券定价,贷款提前偿还与转手证券的现金流量 思考：方法二存在什么问题？ ,132,转手证券定价,贷款提前偿还与转手证券的现金流量 方法三：PSA模型确定提前偿还贷款量 PSA 模型是美国公共证券协会依据美国住房管理委员会的经验值来估计提前偿还的方法。提前偿还标准是用有条件提前偿还比率（CPR）来表示的。,133,转手证券定价,例如： 30年的住房抵押贷款，第一月的年化CPR为0.2%，以后30个月内每月递增0.2%，直到CPR为6%。30个月后，每月的提前偿还比率都为6%（年化），具体而言： 如果t30，则CPR=6%。,134,转手证券定价,注意：CPR是以年为单位的，而住房抵押贷款是按月支付的，因此需要把CPR转