浙江专版2019版高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10.1椭圆及其性质课件.pptx

1、第十章 圆锥曲线与方程10.1 椭圆及其性质,高考数学,考点一椭圆的定义和标准方程 1.椭圆的定义 把平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距,符号表示:|PF1|+|PF2|=2a(2a|F1F2|). 注意:(1)当2a=|F1F2|时,轨迹是线段F1F2; (2)当2ab0),焦点在y轴上的 椭圆的标准方程为+=1(ab0).给定椭圆+=1,m0,n0(mn),知识清单,要根据m、n的大小来判断焦点在哪个坐标轴上,焦点在分母大的那个坐标轴上. (2)若焦点位置不定,则可设椭圆方程为Ax2+By

2、2=1(A0,B0,且AB).,考点二椭圆的几何性质 1.椭圆的简单几何性质,2.利用椭圆的参数方程通过参数能间接表示椭圆上点 的坐标,从而转化为三角函数问题求解. 3.点P(x0,y0)和椭圆+=1(ab0)的关系: (1)P(x0,y0)在椭圆内+1.,4.焦点三角形:椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的PF1F2称作焦点三角形.如图,|PF1|=r1,|PF2|=r2,F1PF2=. (1)cos =-1. (2)=r1r2sin =b2=b2tan=c|y0|. 当|y0|=b,即P为短轴端点时,最大,且最大值为bc.,5.AB为椭圆+=1(ab0)的弦.设直线AB的斜率存在且为k

3、(k0),且 A(x1,y1),B(x2,y2),弦中点M(x0,y0).则 (1)弦长l=|x1-x2|=|y1-y2|. (2)k=-. (3)直线AB的方程:y-y0=-(x-x0). (4)线段AB的垂直平分线方程:y-y0=(x-x0).,椭圆的定义和标准方程的解题策略 1.涉及椭圆上的点到焦点的距离问题(可能到一个焦点的距离)常常用到定义. 2.求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法.具体过程是先定型,再定量,即首先确定焦点所在位置,然后再根据条件建立关于a,b的方程组.如果焦点位置不确定,那么要考虑是否有两解.有时为了解题方便,也可把椭圆方程设成mx2+ny2=1(m0,n0,mn

4、)的形式. 例1(2017浙江名校协作体期初,19)已知椭圆C:+=1(ab0),过椭 圆C上一点P与椭圆相切的直线l为y=-x+,且点P的横坐标为2. (1)求椭圆C的标准方程;,方法技巧,(2)若AB是椭圆的一条动弦,且|AB|=,求AOB面积的最大值.,解析(1)由已知得P(2,),故+=1, 联立得b2x2+a2=a2b2, 化简得x2-a2x+a2-a2b2=0,(4分) 由=0,得a2+8b2-36=0, 联立可得a2=12,b2=3,故椭圆C:+=1.(6分) (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+b, 联立得(4k2+1

5、)x2+8kbx+4(b2-3)=0,故x1+x2=-,x1x2=,(8分) 由|AB|2=(1+k2)(x2-x1)2=(1+k2)(x2+x1)2-4x1x2=, 得b2=3(1+4k2)-.(10分) 又原点O到直线AB的距离d=, 所以AOB的面积S=, 所以S2=, 令u=,则S2=-=-+9, 又u=4-1,4),所以当u=时,S2取最大值,=9,故Smax=3.,(13分) 当直线AB的斜率不存在时,AOB的面积为.(14分) 综上可得AOB面积的最大值为3.(15分),评析本题考查椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系,弦长计算,韦达定理,点到直线的距离,三角形面积的最值等基础知

6、识,考查化归与转化思想以及函数与方程思想.,椭圆的几何性质的解题策略 椭圆的几何性质包括:范围、对称性、顶点、离心率等,常考内容是离心率,解决离心率问题的关键在于如何构造关于a与c的等式或不等式,同时还要关注其他几个性质的应用. 例2(2017浙江嘉兴基础测试,20)已知椭圆C:+=1(ab0)的左、 右焦点分别为F1,F2,离心率为,经过点F2且倾斜角为45的直线l交椭圆 于A,B两点. (1)若ABF1的周长为16,求直线l的方程; (2)若|AB|=,求椭圆C的方程.,解题导引 (1)由椭圆的性质求a由离心率的定义得c代入得直线方程 (2)由离心率的定义,把椭圆和直线方程化为只含参数c的

7、形式联立直线与椭圆方程,由韦达定理计算弦长由|AB|=得c的值由椭圆的性质得椭圆的标准方程,解析(1)由题设得4a=16a=4,又=,c=2,F2(2,0), 直线l的方程为y=x-2. (2)由=,得a=2c,b=c, 椭圆C:3x2+4y2=12c2, 又l:y=x-c,设A(x1,y1),B(x2,y2), 联立 消去y得7x2-8cx-8c2=0, x1+x2=c,x1x2=-c2,且0, |AB|=c=,解得c=1,a2=,4,b2=3. 故所求椭圆C的方程为+=1.,评析本题考查椭圆的标准方程和性质,直线与椭圆的位置关系,弦长计算,韦达定理等基础知识,考查运算推理能力.,与椭圆有关

8、的综合问题的解题策略 与椭圆有关的综合问题主要有以下几个方面: 1.求直线与椭圆的相交弦长,一般是联立直线与椭圆方程,利用韦达定理和弦长公式|AB|=|x1-x2|=|y1-y2|(k为直线的斜率,且不为0)进 行求解.求弦长的取值范围或最值,利用判别式大于零,得到相关参变量的取值范围. 2.求弦所在的直线方程(如中点弦、相交弦等)、弦的中点轨迹等,往往利用韦达定理和“点差法”,但要注意判别式必须大于零. 3.与直线斜率综合,一般由斜率公式和韦达定理进行转化. 4.求椭圆内接三角形、四边形的面积(或面积的取值范围、最值),一般求出一条弦的长和另一点到这条弦的距离,得三角形面积(四边形一般,分为两个三角形).若是求面积的取值范围或最值,往往把面积表示为某个参量(斜率、截距等)的函数,转化为求函数的值域或最值. 例3(2015浙江,19,15分)已知椭圆+y2=1上两个不同的点A,B关于直 线y=mx+对称. (1)求实数m的取值范围; (2)求AOB面积的最大值(O为坐标原点).,解析(1)由题意知m0,可设直线AB的方程为y=- x+b. 由消去y,得x2-x+b2-1=0. 因为直线y=-x+b与椭圆+y2=1有两个不同