考研线代 线性方程组题库

1、第四章 线性方程组,线性方程组是否有解？若有解，那么一共有多少解？怎样求出其所有解？ 往年考题中，方程组出现的频率较高，大致有三种类型，一是非齐次线性方程组的求解(含对参数取值的讨论)，二是齐次线性方,程组基础解系的求解与证明，再者是有解，有非零解的判定及解的结构。向量的线性表示实际上也是一个方程组求解问题，而向量的线性相关实际上是齐次方程组是否有非零解的问题。,一、齐次方程组有非零解、基础解系、通解等问题,*1.(02，3分)设a是mn矩阵，b是nm矩阵，则线性方程组(ab)x=0,(a) 当nm时仅有零解； (b) 当nm时必有非零解；(c) 当mn时仅有零解； (d) 当mn时必有非零解

2、。,2.(02，8分)设齐次线性方程组其中a0 ，b0，n2，试讨论a,b为何值时，方程组仅有零解，有无穷多组解？在有,无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解。,评注：把第n行的-1倍加至第i行，i由1至n-1；然后把每行的-b倍均加至第n行。,3.(03，13分)已知齐次线性方程组其中 。试讨论a1, a2, an,和b满足何种关系时,(1)方程组仅有零解；(2)方程组有非零解，在有非零解时，求此方程组的一个基础解系。,先把第1行的-1倍依次加至其余各行，然后是把i行的-ai倍加至第1行(i=2,n)，再将第1行移到最后一行。,评注：本题行列式 的计算方法特别多，不知你还会那些？你

3、能用特征值的方法和理论求出 的值吗？,*4.(04,4分)设n阶矩阵a的伴随矩阵a*0，若 是非齐次线性方程组ax=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组ax=0的基础解系。,(1)不存在； (2)仅含一个非零解向量；(3)含有两个线性无关的解向量； (4)含有三个线性无关的解向量。,(96,6分)求齐次线性方程组的基础解系。,*(98,5分)已知线性方程组()的一个基础解系为 (b11, b12,b12n)t，(b21, b22,b22n)t，(bn1, bn2,bn2n)t，,试写出线性方程组() 的通解，并证明理由。,(01,6分)设1,2,s为线性方程组ax=0的一个基础解系1=t1

4、1+t22,2=t12+t23,s=t1s+t21，其中t1,t2为实常数，试问满足什么关系时，1, 2,s也为ax=0的一个基础解系。,(04,9分)设有齐次线性方程组(n2)试问a为何值时，该方程组有非零解，并求其通解。,(98,5分)已知三阶矩阵a的第一行是(a,b,c)，a,b,c不全为零，矩阵 (k为常数)，且ab=0，求线性方程组ax=0的通解。,综述：总体上看这一部分考得不十分理想，看来在基础解系的理解与把握上还有问题。复习时应当理解齐次线性方程组的基础解系与通解的概念，要掌握齐次线性方程组的基础解系与通解的求法，否则在特征向量的求解上还要出问题。,n-r(a)这个数有两层含义，

5、它既表示齐次线性方程组ax=0的基础解系中有n-r(a)个解向量，又表示每个解中有n-r(a)个自由变量，搞清这个数会减少一些无谓的失误，目前考生在基础解系上解答得并不理想，希望引起重视。,从2002年，2003年考题来看，对矩阵初等变换的要求明显比往年要高。,二、非齐次线性方程组,5.(96,3分)设 ， ， ，其中aiaj (ij, i, j =1,2,n)，则线性方程atx=b的解是 。,6.(08，6分)设n元线性方程组ax=b，其中,()当a取何值时，该方程组有唯一解，并求x1；()当a取何值时，该方程组有无穷多解，并求通解。,这样的方程组要会解(1)设线性方程组,(1)证明：若a1

6、, a2, a3, a4,两两不相等，则此线性方程组无解。(2)设a1=a3=k，a2=a4=-k (k0)，且已知1， 2是该方程组的两个解，其中,写出此方程组的通解。,评注：也可把ax=0的基础解系简写为 。,(2)(00,2,6分)设 ， ， ，a=t，b=t，其中t是的转置，求解方程2b2a2x=a4x+b4x +,评注：特解不是唯一，例如令 可有特解 。本题得分率较低，人均1.9分，主要错误是矩阵运算不正确，不能正确建立起线性方程组，也有些考生在方程组求解时犯种种错误。反映出基本概念、基本运算不过关。,(3)已知4阶方阵a=(1234)，1,2, 3, 4均为4维列向量，其中2,3,

7、4线性无关， ，如果=1+2+3+4，求线性 方程组ax=的通解。,评注：因为方程组ax=的向量形式为x11+x22+x33+x44=1+2+3+4那么利用1=22-3及2,3,4线性无关可以得到,(2x1+x2-3)2+(-x1+x3)3+(x4-1)4=0 (1)故知 (2)于是ax=与上述方程组同解，解此方程组就可得到ax=的通解。,从随机抽样的情况分析，数学一本题的得分率约为54%，其中满分为27%，而零分高达18%，反映出考生习惯于常规的线性方程组，对于抽象的不知从何处入手，接口切入点不清楚；也有相当一部分考生基本运算不熟练，错,误多，例如把1=22-3代入后整理的(1)式不正确，方

8、程组(2)的求解无论是特解还是相应的齐次方程组的基础解系都有种种谬误，这一切希望大家要引以为戒。,(4)(04,4,13分)设线性方程组已知(1, -1,1,-1)t是该方程组的一个解。试求,()方程组的全部解，并用对应的齐次方程组的基础解系表示全部解；()该方程组满足x2=x3的全部解。,(5)(06,4,9分)设已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解。,()证明方程组系数矩阵a的秩r(a)=2；()求a,b的值及方程组的通解。,(95,7分)设线性方程组，问a为何值时方程组有解？并在求解时，求出方程组通解。,(08,6分)设n元线性方程组ax=b，期中 ， ，,()当a取何值时，该方程组有

9、唯一解，并求x1；()当a取何值时，该方程组有无穷多解，并求通解。,综述 解线性方程组作初等行变换时要正确(若在这里出错，往下还有意义吗？)作有解判断时不要遗漏。,近年来这类题目新的动向，要求考生 通过矩阵运算，自己建立起方程组然后再求解，或利用解的结构从逻辑推理的角度，或用构造同解方程组的方法来求解。这样题目的综合性、灵活性增加，对考生能力的要求提高了。,三、有解判定及解的结构,7(00,3分)设1,2,3是四元非齐次线性方程组ax=b的三个解向量，且秩(a)=3，1=(1,2,3,4)t，2+3=(0,1,2,3)t，c表示任意常数，则线性方程组ax=b的通解x=,(a) ； (b) ；

10、(c) ； (d) 。,8(01,3分)设a是n阶矩阵，是n维列向量，若 秩(a)，则线性方程组,(a) ax=必有无穷多解； (b) ax=必有唯一解；(c) 仅有零解； (d) 必有非零解。,练习题(1)(00,1,3分)已知方程组 无解，则a= 。,(2)(90,1,3分)已知1,2是非齐次线性方程组ax=b的两个不同的解，1,2是对应齐次线性方程组ax=0的基础解系，k1,k2为任意常数，则方程组ax=b的通解必是,(a) ； (b) ；(c) ； (d) 。,(3)(97,4,3分)非齐次线性方程组ax=b中未知量的个数为n，方程个数为m，系数矩阵a的秩为r，则,(a)r=m时，方程

11、组ax=b有解；(b) r=n时，方程组ax=b有唯一解； (c) m=n时，方程组ax=b有唯一解；(d) rn时，方程组ax=b有无穷多解。,(02,3分)设有三张不同平面的方程ai1x+ai2y+ai3z=bi，i=1,2,3，它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2，则这三张平面可能的位置关系为,(03,8分)已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1：ax+2by+3c=0； l2：bx+2cy+3a=0； l3：cx+2ay+3b=0试证这三条直线交于一点的充分必要条件为。a+b+c=0,(97,4,3分)非齐次线性方程组ax=b中未知量个数为n，方程的个数为m，系数矩阵

12、a的秩为r，则方程组ax=b有解；,(a) r=m时，方程组ax=b有解；(b) r=n时，方程组有唯一解；(c) m=n时，方程组有唯一解；(d) rn时，方程组ax=b有无穷多解。,(01,2,3分) 设方程组有无穷多解，则a= 。,综述 对非齐次线性方程组要会判断何时无解？何时有唯一解？何时有无穷多解？当方程组有无穷多解时，解的性质与结构是什么？当系数矩阵没有具体给出时，如何求通解？当方程组有无穷多解或无解时，如何求参数？,四、公共解、同解,9. (00,3分)设a为n阶实矩阵，at是a的转置矩阵，则对于线性方程组()：ax=0和() atax=0，必有,(a) ()的解是()的解， (

13、)的解也是()的解；(b) ()的解是()的解， 但()的解不是()的解；,(c) ()的解不是()的解， ()的解也不是()的解；(d) ()的解是()的解， 但()的解不是()的解。,评注： 若=(1,2,n)t，则 ，可见t=0=0。而t0 0。,本题有43%的考生选(d)，说明这些考生不会用左乘t的方法由ata=0推导出a=0。,10. (05,13分) 已知齐次线性方程组 () () () 和 ()同解，求a, b,c的值。,10. (07,11分) 设线性方程组 与方程 有公共解，求a的值及所有公共解。,练习题 (1)(94,1,8分) 设4元线性齐次方程组()为 ，又已知某线性齐

14、次方程组() 的通解为：k1(0,1,1,0)+k2(-1,2,2,1),(1)求线性方程组()的基础解系。(2)问线性方程组()和()是否有非零公共解？若有，则求出所有的非零公共解，若没有，则说明理由。,评注： 由于()的通解是l1(0,0,1,0)+l2(-1,1,0,1)，()的通解是：k1(0,1,1,0)+k2(-1,2,2,1)，因此若令,只要能求出不全为0的l1,l2，则 ，且 是()的解，也是()的解。由此可得l1,l2,k1,k2的齐次方程组,可见当k1=k20时，有非0公共解，下略。 求两个方程组的公共解的思路方法清楚吗？若() 、() 两个方程组均已具体给出，你如何求公共

15、解呢？,(2)(03,1,4分) 设有齐次线性方程组ax=0和bx=0，其中a,b均为mn矩阵，现有4个命题：,若ax=0的解均是bx=0的解 则秩(a)秩(b)；若秩(a)秩(b)，则ax=0的解均是bx=0解；若ax=0与bx=0同解，则秩(a)=秩(b)；若秩(a)=秩(b)，则ax=0与bx=0同解。,以上命题正确的是(a) ； (b) ； (c) ； (d) 。,评注： 请考生自己证明命题正确，举例说明命题不正确。,(3)(98,4,分)已知下列非齐次线性方程组()，() () (),(1)求解方程组()，用其导出组的基础解系表示通解。(2)当方程组中的参数m,n,t为何值时，方程组()与()同解。,评注： 当把方程组()的解代入到方程组()中。求出m,n,t后，方程组()即为,可求出方程组()的通解。再与方程组()的通解相比较可知方程组()与方程组()同解。 本题考查线性方程组通解的求法及两个方程组同解的概念。,(02,4,8分) 设4元齐次线性方程组()为 ，而已知另一齐次线性齐次方程组()的一个基础解系为：1=(2,-1,a+2,1)，2=(-1,2,4,a+8)+k2(-1,2,2,1),(1)求方程组()的一个基础