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文档简介

1、公理化的方法，公理化的思想任何真正的科学都是从原则开始的，以原则为基础，并从中得出所有的结果。1亚里士多德，自欧几里得以来，使一个理论成为公理意味着通过选择某些命题并从这些命题中进一步推导出某些命题来实现它；如果系统是完整的，那么在正常情况下，这个理论中的所有结论也应该被推导出来。c2parsons公理化的步骤是将逻辑形式与现实和实际的直观内容严格分开。公理是人类精神的自由创造。3爱因斯坦，在数学理论体系中，我们选择尽可能少的原始概念和一组没有证明的公理，以此为出发点。通过使用纯逻辑推理的规则，理论系统被构建成演绎系统。这种建立理论体系的想法是不言自明的。公理是关于基本概念之间关系的规定。这些

2、规定是合理的，不矛盾的，也不逊色，即公理的选择应满足三个要求：(1)相容公理系统的相容性，也称为协调或非矛盾，是指同一系统中的公理，不能与任何一套公理相矛盾。另外，即使目前没有矛盾，也不能确定将来什么时候不会有矛盾。如果它能成为一个具有数学意义的公理系统，它必须符合相容性，这是公理系统最基本的要求。事实上，根据逻辑知识，对于任何命题来说，PP是一个不变的假命题，(PP)Q是一个不变的真命题。因此，如果一个公理系统有矛盾，不管矛盾是否明显，但是，最后，两个明显矛盾的命题R and R可以从这个公理系统中导出，因而任何命题(真)都可以导出。显然，这样一个公理系统很难帮助人们理解现实世界的数量关系和

3、空间形式，因此没有实用价值。然而，判断一个公理系统的公理是否相容并不容易。一般来说，命题源于公理，因此，为了证明公理系统的相容性，常用的模型方法是寻找抽象公理的具体模型。如果模型中的具体关系之间没有矛盾，则公理系统满足兼容性要求。因此，公理系统的相容性是相对意义上的相容性。(2)公理系统的独立性是指公理系统中的每一条公理都不能由其他公理通过逻辑推导得到，因为如果一条公理可以被证明为一个定理，就没有必要把这条公理列为公理。它确保公理系统尽可能简洁。从这个意义上说，具有独立性的公理系统是极小的，即要求公理系统中的公理数量尽可能少，不允许冗余的公理。(3)完备性公理系统的完备性要求通常被认为是确保某一数学分支的所有命题都可以从这组公理中导出。也就是说，应该有足够的公理。因此，从这个意义上说，公理系统应该是可以想象的。公理系统中的公理越少，选择模型的自由度就越大。公理系统中的公理越多，适合它的模型就越少。也就是说，当我们不断地扩展一个公理系统时(当然，需要加入的新公理是独立的，并且与原始公理相矛盾)，能够成为公理系统的模型越来越少，直到系统完成并且模型是唯一的。

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