凸集与凸函数_第1页
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文档简介

1、2020/7/10,1,1.2 凸集与凸函数,2020/7/10,2,一、凸集,定义1.1,设集合,若对于任意两点,及实数,都有：,则称集合,为凸集,注：,常见的凸集：空集，整个欧氏空间,超平面：,半空间：,2020/7/10,3,例1：,证明超球,为凸集,证明：,设,为超球中的任意两点，,则有：,即点,属于超球,所以超球为凸集,2020/7/10,4,凸集的性质,（）,有限个（可以改成无限）凸集的交集,为凸集,（）,设,是凸集，,是一实数，,则下面的,集合是凸集：,（）,设,是凸集，,则,的和集,是凸集;,2020/7/10,5,注：,和集和并集有很大的区别，凸集的并集,未必是凸集，而凸集的

2、和集是凸集,例2：,表示,轴上的点,表示,轴上的点,则,表示两个轴的所有点，,它不是凸集；,而,凸集,2020/7/10,6,推论：,设,是凸集，,则,也是凸集，,其中,是实数,定义1.2:,设,实数,则,称为,的凸组合,注：,凸集中任意有限个点的凸组合仍然在该,凸集中,2020/7/10,7,二、极点,定义1.3,设,为凸集，,若,中不存在,两个相异的点,及某一实数,使得,则称,为,的极点,注：,例3：,则,上的点均为极点,2020/7/10,8,证：,设,若存在,及,使得,则：,不等式要取等号，必须,且,容易证明,根据定义可知,为极点,2020/7/10,9,三、凸函数,定义1.5 严格凸函数,2020/7/10,10,2020/7/10,11,2020/7/10,12,凸函数的几何性质,2020/7/10,13,2020/7/10,14,凸函数的性质,2020/7/10,15,2020/7/10,16,凸函数的判定,2020/7/10,17,该定理的几何意义是：凸函数上任意两点之间的部分是一段向下凸的弧.,2020/7/10,18,一阶判别条件,2020/7/10,19,二阶判别条

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