高中数学 1.1 集合 集合的概念 康托尔-集合论的创造者素材 新人教版必修1（通用）

1、康托尔集合论的创造者康托尔g (康托尔，地理飞行员，1845.3.31918.1.6 )德意志数学家，集合论的奠基者。 我在露西亚的圣彼得堡出生的。 父亲是犹太裔丹麦人，母亲是艺术工作者人。 1856年，一家搬到了德意志的法兰克福。 先在中学，然后在威斯巴登的本科预科班学校学习。 1862年进入苏黎世高等院校的工程科学部，第二年进入柏林大学学习数学和神学，库马尔(Kummer，Ernst Eduard，1810.1.291893.5.14 )，合十礼埃尔什管桁架(合十礼埃尔斯特拉斯，Karl Theodor Wilhelm， 1815.1.0.3.11897.2.1.9 )和克罗内克(Kron

2、ecker，lelelepold，1823.1.2.71891.1.2.2.9 )被告知。 我1866年在盖廷根学过一学期。 在1867年库马的指导下，用一般的整数不定方程式ax2 by2 cz2=0来解决问题的论文取得了博士学位。 毕业后，受到合十礼埃尔斯管桁架的直接影响，从数学理论转向严格的分析理论研究，不久显露头角。 他在哈雷高等院校任教(18691913 )初期证明了复合变量函数的三角级数展开的唯一性，并在有理数列界限定义了无理数。 1872年成为该校的副教授，1879年担任教授。 由于学术观点受到重大打击，康托尔曾患过精神分裂症，1887年恢复健康，继续工作，但晚年被疾病困扰。 19

3、18年1月6日，在德意志哈雷(Halle)-维滕贝格高等院校附属精神病院去世。康托尔爱好广泛，个性鲜明，一生信奉宗教。 早期的数学兴趣是数论，1870年开始研究三角级数，从而导致了1.9世纪末、2.0世纪初最伟大的数学成果的集合论和超穷数理论的建立。 此外，他还努力探讨新理论的创立过程中相关的数理哲学问题。 18881893年创设康托尔伦数学会第一会长，1890年创设德意志数学家联合会，担任第一届会议主席。主要贡献康托尔对数学的贡献是集合论和超贫困数理论。两千多年来，科学家们虽然无限接触，但没有把握和认识它的能力，这确实是向人类提出的尖溜溜挑战。 康托尔以其思维独特、想象力丰富、方法新颖，描绘

4、了人类智慧精品的集合论和超贫乏的数学理论，使1.9、2.0世纪交际学界乃至哲学界震惊。 可以毫不夸张地说：“对于数学的无限革命，几乎是他一个人独立完成的。”(1)集合论的确立随着对十九世纪分析的严格化和函数论的发展，数学家们提出了一系列重要问题，认真考察了无理数理论、不连续函数理论，并认为这方面的研究成果为康锯今后工作奠定了必要的思想基础。康托尔是函数在三角级数表现中唯一寻找判别标准的工作，认识到了无限集合的重要性，并开始了对无限集合的一般理论研究。 1870年和1871年控制台发表了数学杂志次论文，证明了函数f(x )的三角级数表示的唯一定理，证明了即使不在有限断点收敛定理也成立。 1872

5、年，他在数学年鉴发表了三角级数中一个定理的推广这篇论文，将唯一的结果传播到允许例外值是无限的集合状况。 为了描述这个集合，他首先定义了点定径套的临界点，然后导入了点定径套的指南定径套和指南定径套的指南定径套等重要概念。 这是从探索唯一的问题到点定径套论研究的开端，为点定径套论奠定了理论基础。 之后，他又在数学年鉴号和数学杂志号发表了很多文章。 他被指定的、不同的东西的集合体。 人们可以认识到这些个的东西，并且可以判断所识别的东西是否属于这个集合。 他还指出，如果一个集合能够与其中一部分一一对应就是无限的。 他还提出了开集、闭集、完成全集等重要概念，进行了集合的定义和交叉两种演算。为了把有穷集合

6、的要素数的概念扩展到无限集合中，他以一对一对应为原则提出了集合等价的概念。 两个集合只能在那些要素之间一一对应，所以被称为等价。 像这样，第一次用要素的“多少”对各种各样的无限集合进行分类。 他还导入了“可列”这一概念，能够与正整数一一对应的任何集合都称为可列集合。 在1874年在数学杂志发表的论文中，证明了有理数的集合是可能的，以后代数的整体构成的集合也是可能的。 关于实数集合是否可能的问题，1873年在康德金(Dedkind，Julins Wilhelm Richard，1831.10.61916.2.12 )的信中提出，不久他自己回答实数集合是不可能的。 实数集合是不可列的，代数集合是可

7、列的，所以他得出了一定存在超越数的结论，而且超越数“比代数多得多”。 同年，建构了以实变函数论而闻名的“康托集”，提出了测度为零的不可数集的一个例子。 另外，也可以使直线上的点与平面整体的点巧妙地对应，使直线与n维空间整体以点的一对一对应。 从1879年到1883年，康托尔写了6篇系列论文，论文的总主题是“关于无限线性点流形”，其中前4篇与在先论文类似，讨论了集合论的数学成果，尤其是在集合论分析中的有趣应用。 第五篇论文后来由单行本出版，单行本书名为一般集合论基础。 六篇论文是五篇的补充。 康托尔的信条是：“数学在自个儿发展中是完全自由的，概念上有制约的是没有不符点，必须与正确定义中引入的概念

8、相协调。 数学的本质在于其自由。 ”“好的。”(2)超贫困数理论的建构一般集合论基础数学的主要成果是引入超贫困数，在具体开展该理论的过程中，康托尔应用了以下原则第一生成原则：从任意给定点的数量，通过逐个加1 (单位)可以得到后续数。第二生成原则：对于没有最大数量的序列，将生成该序列的极限的新数，并将其定义为大于该序列中所有数量的后续数。第三(限制)原则：保证在上述超贫困系列中发生自然中断，使第二类具有确定界限，形成更多的类。反复应用三项原则，得到超贫困数的序列、1、2、利用先前引入的集合势的概念，康托尔指出，第一类(I )和第二类(ii )的重要区别在于(ii )的势头大于(I )的势头。 在

9、一般集合论基础的第1.3章中，康托尔首次指出，数类(ii )的势头是数类(I )势头之后的势头。在一般集合论基础中，套件表示良序集和无穷良序集编号的概念，超穷数的集合整体是良序，而且无穷良序集表示存在唯一的第二类数作为表示其顺序特性的编号。 康托尔还通过良序集定义了超穷数的加法、乘法及其逆运算。对超穷数论基础的献文是康托最后一部重要的数学着作，经历了2.0年的漫长艰难探索，康托想系统地总结超贫困数理论的严峻数学基础。 对超穷数论基础的献文分为两部分，第一部分为“全序集合的研究”，于1895年5月发表在数学年鉴。 第二部分是1897年5月在数学年鉴发表的关于良序集的研究。 对超穷数论基础的献文的

10、发表表示集合论从点定径套论转变为抽象集合论。 但是，因为它还没有被公理化，而且其逻辑性前提和证明方法没有给出适当的限制，就会导出残奥船坞，所以康托的集合论被称为古典的集合论和朴素的集合论。康托尔的遭遇康梭开创了新的划时代集合论，建立了古希腊时代2000多年以来人类认识史上第一个抽象形式符号系统和确定性运算，使本质上无限的特性显露出来，使无限概念发生革命性的变化，渗透到所有数学的分歧，从根本上改造数学结构， 促进了数学其他许多新分支的建立和发展，成为实函数论、代数拓扑、群论和泛函数观分析等理论的基础，带来了逻辑和哲学。 但是，康托尔的集合论并不完美。 另一方面，康托尔对“连续统一假说”和“良序性

11、定理”束手无策，另一方面，在十九世纪与2.0世纪之交发现的布里奇特的残奥船坞、康托尔的残奥船坞、罗素的残奥船坞，使集合论的可信性受到很大怀疑。 此外，集合论的出现确实冲击了传统观念，扭转了许多前人的思想，使当时的数学家难以接受，遭到很多人反对，其中反对最激烈的是柏林学派的代表人物之一，构造主义者克罗内克。 克罗内克认为数学的对象必须是可建构的，不能以有限的步骤建构是可疑的，不是数学的对象。 他反对无理数和连续函数理论，同样严厉的批评和恶意攻击康德的无限集合和界限数理论的不是数学而是神秘主义。 他说康托尔的集合论是空的。 除克罗内克外，著名数学家也对集合论提出了反对意见。 法国数学家庞加莱(Po

12、incare，J ules Henri，1854.4.291912.7.17 )说：“不仅仅是我，重要的是不要引进用有限的文字不能完全定义的东西。” 他把集合论作为有趣的“病理学状况”讲出来，预测“子孙得了(Cantor )集合论，人们恢复了”。 德意志数学家合十礼(Wey1，Claude Hugo Hermann，1885.11.91955.12.8 )认为，关于康托尔基数的等级观点是“雾上雾”。 克莱恩(Klein，Christian Felix，1849.4.251925.6.22 )也不赞成集合论的思想。 数学家H.A .施华尔兹本来是康托尔的挚友，但他反对集合论与康托尔断绝了交往。

13、在集合论的残奥船坞出现之后，他们开始认为集合论基本上是病态，他们用不同的方法发展为经验主义、半经验主义、直观主义、构造主义等学派，在基础战争中构成了反康托尔的阵营。1884年，连续的统一假说长期未得到证实，加之与克罗内克的尖溜溜对立，康托尔在精神上屡次受到打击，5月末，他变得无法支持，第一次精神崩溃。 他的精神沮丧，无法集中精力研究集合论，从此，他就陷入了神学、哲学和文学的争论之中。 但每次他恢复常态，他的思想总是异常清晰，继续他的集合论工作。应该说，康托尔的集合论得到了公开认可和热情洋溢的赞扬，首先是在瑞士苏黎世召开的第一届国际数学家大会上表现出来的。 瑞士苏黎世联邦理工学院教授胡维茨(Hurwitz，Adolf，1859.3.2.61919.1.1.1.8 )在他的综合报告中明确阐述了康托尔的集合论对函数论进展的重大推动作用，首次在国际数学学界发表了康托尔的集合论不可能的哲学，而对数学的发展有所帮助在小组会议上，法国数学家阿达玛(Hadamard Jacques，1865.1.2.81963.1.0.1.7 )也报告了其对健康锯工作的重要作用。 随着时间的推移，人们逐渐认识到了集合论的重要性。 希尔伯特(Hilbert David，1862.1.231943.2.14 )高度评价康德的集大成论“