高中数学 1.1《正弦定理和余弦定理》教案（1） 新人教A版必修5（通用）

1、第一章解决三角教学案例(一)课程要求本章的中心内容是如何求解三角形。正弦定理和余弦定理是求解三角形的工具，最后它们被用来求解三角形。通过本章，学生应达到以下学习目标：(1)通过探索任意三角形边长与角的关系，我们可以掌握正弦定理和余弦定理，并解决一些简单的三角形测量问题。(2)能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算相关的实际问题。(二)写作意图和特点1.数学思维方法的重要性数学思维方法教学是中学数学教学的重要组成部分，有利于学生加深对数学知识的理解和掌握。本章高度重视与数学思想方法教学密切相关的内容，并在提问和思考解决问题方面对学生进行示范和引导。本章的两个主要数学结

2、论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形角之间关系的结论。在初中阶段，学生已经掌握了有关棱角关系的定性知识，即“在任何三角形中，都有大边到大角，小边到小角”，“如果已知两个三角形的两个对应边及其夹角相等，那么这两个三角形都是”等。在教科书中引入正弦定理时，要求学生从已有的几何知识出发，提出一个探索性的问题：“在任何三角形中，大边与大角、小边与小角之间都有一个角的关系。我们能得到边和角之间的这种关系的精确和定量的表示吗？”在介绍余弦定理时，我们提出了一个探索性的问题：“如果你知道一个三角形的两条边以及它们之间的夹角，按照三角形同余的判断方法，这个三角形就是一个大小和形状完全确定的三角形。我们仍

3、然从量化的角度来研究这个问题，即如何从已知的两个边及其夹角来计算三角形的另一边和两个角。”所有这些问题都旨在加强数学思维方法的教学。2.注意加强前后知识的联系加强与前几章教学内容的联系，注意复习和应用所学内容，为后面几章的教学内容做准备，可以使整套教材成为一个有机的整体，提高教学效率，帮助学生学习和巩固数学知识。本章论述三角形中的棱角关系，它与初中所学的三角形的棱角之间的基本关系以及三角形的棱角相等决定三角形的同余的知识密切相关。在教科书中引入正弦定理时，要求学生从已有的几何知识出发，提出探索性的问题：“在任何三角形中，大边与大角、小边与小角之间都有一个角的关系。我们能得到边和角之间这种关系的

4、精确和定量的表示吗？”在介绍余弦定理时，我们提出了一个探索性的问题：“如果你知道一个三角形的两条边以及它们之间的夹角，按照三角形同余的判断方法，这个三角形就是一个大小和形状完全确定的三角形。我们仍然从量化的角度来研究这个问题，即如何从已知的两个边及其夹角来计算三角形的另一边和两个角。”这样，从联系的角度从一个新的角度看待过去的问题，使学生对过去的知识有了新的认识，同时使新的知识建立在现有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构。课程标准和教科书将“解三角形”的内容安排在数学五的第一部分，相对落后。在此内容之前，学生已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等。这与本章的知识密切相关。这使得这部分

5、内容有了更多的工具来处理，并且有些内容在证明了余弦定理及其推论后，教材从余弦定理与勾股定理的比较中提出了一个思考问题。毕达哥拉斯定理指出了直角三角形中三个正方形之间的关系，而余弦定理指出了一般三角形中三个正方形之间的关系。你如何看待这两个定理之间的关系？”并进一步指出“从余弦定理和余弦函数的性质来看，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么与第三边相反的角就是直角；如果它小于第三边的平方，那么第三边对着的角是钝角；如果它大于第三边的平方，那么第三边对着的角就是锐角。从上面可以看出，余弦定理是勾股定理的推广。”3.注重强化意识和数学实践能力学习数学的最终目的是应用数学，但目前存在的两个突出问

6、题是学生应用数学的意识不强和创新能力弱。学生往往不能把实际问题抽象成数学问题，也不能把所学的数学知识应用到实际问题中去。他们不太了解所学数学知识的实际背景。虽然学生对一些常见的数学问题有很强的机械模仿能力，但面对新问题时，他们没有很多方法，对观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等科学思维方法了解不够。鉴于这些实际情况，本章重视从实际问题出发，介绍数学课题，最后将数学知识应用于实际问题。(3)对教学内容和课时安排的建议1.1正弦定理和余弦定理(约3课时)1.2应用示例(约4课时)1.3实习(约1课时)(4)评价建议1.在本章的教学中，应根据教学实践启发学生提问和研究问题。在探索正弦定理和余弦

7、定理的证明过程中，应启发学生在具体的教学过程中，根据学生的思维方向，得到自己的定理证明。例如，对于正弦定理，我们可以得到应用矢量法的证明，对于余弦定理，我们可以得到三角形法和解析法。在用两个定理解决三角形和度量问题的过程中，一个问题往往有许多不同的解法，因此应鼓励学生提出自己的解法，并对不同的方法进行必要的分析和比较。对于一些常见的测量问题，甚至可以鼓励学生设计应用程序并获得可以直接应用于实践的算法。2.适当安排一些实践作业，旨在使学生进一步巩固知识，提高分析问题和解决实际问题的能力，提高动手操作能力，用数学语言表达实践过程和结果，增强数学应用意识和数学实践能力。教师应重视对学生实践工作的指导

8、，包括实际测量问题的选择，及时纠正实际操作中的错误，解决测量中的一些问题。主题： 1.1.1正弦定理类别类型：新类别教学目标知识与技能：通过探索任意三角形边长与角的关系，掌握正弦定理的内容及其证明方法；将利用正弦定理和三角形内角和定理来解决斜三角形的两种基本问题。过程与方法：让学生从已有的几何知识中探索任意三角形的边与对角的关系，引导学生通过观察、演绎和比较，从特殊到一般地归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实际操作。情感态度与价值观：培养学生在方程思维指导下理解三角形问题的操作能力；培养学生合理推理和探索数学规律的数学思维能力，通过三角函数、正弦定理、矢量积等知识之间的联系，体现事物之间的普

9、遍联系和辩证统一。教学重点如图1.1-1所示，固定边CB和边b，使边AC绕顶点C旋转.A思考：碳的大小和它的对边AB的长度之间的数量关系是什么？显然，AB边的长度随着其对角线的增加而增加用一个等式来准确表达这种关系？丙乙。教授新课程探索与研究(图1.1-1)在初中，我们已经学会了如何解直角三角形。让我们首先讨论直角三角形中的角和边的相等性。如图1.1-2所示，在RtABC中，设BC=a，AC=b，AB=c，根据锐角三角形函数中正弦函数的定义，有，和，a然后是公元前因此，在直角三角形中(图1.1-2)思考：那么对于任何三角形，上述关系仍然有效吗？(由学生讨论和分析)它可以分为锐角三角形和钝角三角

10、形：如图1.1-3所示，当ABC是一个锐角三角形时，让AB侧的高度为CD。根据任意角度三角函数的定义，如果CD=，那么c你也可以用同样的方法得到它所以公元前(图1.1-3)思考：我们能以其他方式证明这个等式吗？由于边长的原因，我们可以考虑用向量来研究这个问题。(证词2):在A点、c点做它可以通过添加向量来获得然后是甲和乙，那是同样，如果你在C点做，你可以得到它因此同样，当ABC是一个钝角三角形时，上述关系仍然成立。(由学生课后自己推导)从上述研究过程中，可以得到以下定理正弦定理：在三角形中，每条边与对角正弦的比值相等，也就是说，理解定理(1)正弦定理表明，在同一个三角形中，边与其对角线的正弦成

11、正比，比例系数是同一个正数，即有一个正数k，(2)相当于，因此，正弦定理的基本功能如下：(1)已知三角形的任意两个角和一边可以找到其他边，例如；(2)众所周知，其他角度的正弦值可以从三角形的任意两条边的对角获得，例如。一般来说，知道一个三角形的一些边和角，寻找其他边和角的过程叫做解三角形。示例分析例1。在，我们知道，厘米，并解决三角形。解决方法：根据三角形内角和定理，；根据正弦定理，；根据正弦定理，注释：计算器可以用来解决三角形中的复杂运算。例2。在中，我们知道cm，cm，并求解三角形(角度精确，边长精确到1cm)。解决方法：根据正弦定理，因为，或(1)当时，,(2)当时，,注释：应该注意的是，当两个边的对角解三角形和其中一个已知时，可能有两个解。课堂练习练习第5页的问题1(1)和2(1)。补充练习