高等数学课件（完整版）详细

1、一、问题的提出,1. 计算圆的面积,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,二、级数的概念,1. 级数的定义:,(常数项)无穷级数,一般项,部分和数列,级数的部分和,2. 级数的收敛与发散:,余项,无穷级数收敛性举例：Koch雪花.,做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对 称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形如此 类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到 了面积有限而周长无限的图形“Koch雪花”,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,播放,周长为,面积为,第 次分叉：,于是有,结论：雪花的周长是无界的，而面积有界,雪花的面积存在极限（收敛）,解,收敛,发散,发散,发散,

2、综上,解,三、基本性质,结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变.,结论: 收敛级数可以逐项相加与逐项相减.,证明,类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.,证明,注意,收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.,收敛,发散,四、收敛的必要条件,证明,级数收敛的必要条件:,注意,1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;,发散,2.必要条件不充分.,讨论,8项,4项,2项,2项,项,由性质4推论,调和级数发散.,五、小结,常数项级数的基本概念,基本审敛法,思考题,思考题解答,能由柯西审敛原理即知,练习题,练习题答案,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,观察雪花分形

3、过程,第一次分叉：,依次类推,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,一、正项级数及其审敛法,1.定义:,这种级数称为正项级数.,2.正项级数收敛的充要条件:,定理,部分和数列 为单调增加数列.,证明,即部分和数列有界,3.比较审敛法,不是有界数列,定理证毕.,比较审敛法的不便:,须有参考级数.,解,由图可知,重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数.,证明,4.比较审敛法的极限形式:,证明,由比较审敛法的推论, 得证.,解,原级数发散.,故原级数收敛.,证明

4、,收敛,发散,比值审敛法的优点:,不必找参考级数.,两点注意:,解,比值审敛法失效, 改用比较审敛法,级数收敛.,二、交错级数及其审敛法,定义: 正、负项相间的级数称为交错级数.,证明,满足收敛的两个条件,定理证毕.,解,原级数收敛.,三、绝对收敛与条件收敛,定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.,证明,上定理的作用：,任意项级数,正项级数,解,故由定理知原级数绝对收敛.,四、小结,思考题,思考题解答,由比较审敛法知 收敛.,反之不成立.,例如：,收敛,发散.,练 习 题,练习题答案,一、函数项级数的一般概念,1.定义:,2.收敛点与收敛域:,函数项级数的部分和,余项,(x在收敛域上

5、),注意,函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题.,3.和函数:,(定义域是?),解,由达朗贝尔判别法,原级数绝对收敛.,原级数发散.,收敛;,发散;,二、幂级数及其收敛性,1.定义:,2.收敛性:,证明,由(1)结论,几何说明,收敛区域,发散区域,发散区域,推论,定义: 正数R称为幂级数的收敛半径.,幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间.,规定,问题,如何求幂级数的收敛半径?,证明,由比值审敛法,定理证毕.,例2 求下列幂级数的收敛区间:,解,该级数收敛,该级数发散,发散,收敛,故收敛区间为(0,1.,解,缺少偶次幂的项,级数收敛,级数发散,级数发散,级数发散,原级数的收敛区

6、间为,三、幂级数的运算,1.代数运算性质:,(1) 加减法,(其中,(2) 乘法,(其中,柯西乘积,(3) 除法,(相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多),2.和函数的分析运算性质:,(收敛半径不变),(收敛半径不变),解,两边积分得,解,收敛区间(-1,1),常用已知和函数的幂级数,四、小结,2.幂级数的收敛性:,收敛半径R,3.幂级数的运算:,分析运算性质,1.函数项级数的概念:,思考题,幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？,思考题解答,不一定.,例,它们的收敛半径都是1,但它们的收敛域各是,练 习 题,练习题答案,一、泰勒级数,上节例题,存在幂级数在其收敛域

7、内以f(x)为和函数,问题:,1.如果能展开, 是什么?,2.展开式是否唯一?,3.在什么条件下才能展开成幂级数?,证明,泰勒系数是唯一的,逐项求导任意次,得,泰勒系数,问题,定义,泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?,不一定.,可见,在x=0点任意可导,证明,必要性,充分性,证明,二、函数展开成幂级数,1.直接法(泰勒级数法),步骤:,例1,解,由于M的任意性,即得,例2,解,例3,解,两边积分,得,即,牛顿二项式展开式,注意:,双阶乘,2.间接法,根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法,求展开式.,例如,例4,解,三、小结,1.

8、如何求函数的泰勒级数;,2.泰勒级数收敛于函数的条件;,3.函数展开成泰勒级数的方法.,思考题,什么叫幂级数的间接展开法？,思考题解答,从已知的展开式出发, 通过变量代换、四则运算或逐项求导、逐项积分等办法,求出给定函数展开式的方法称之.,练 习 题,练习题答案,一、近似计算,两类问题:,1.给定项数,求近似值并估计精度;,2.给出精度,确定项数.,关健:,通过估计余项,确定精度或项数.,常用方法:,1.若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决;,2.若不是交错级数,则放大余和中的各项,使之成为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和.,例1,解,余和:,例2,解,其误差不超过 .,二、计算定

9、积分,解法,逐项积分,展开成幂级数,定积分的近似值,被积函数,第四项,取前三项作为积分的近似值,得,例3,解,收敛的交错级数,三、求数项级数的和,1.利用级数和的定义求和:,(1)直接法;,(2)拆项法;,(3)递推法.,例4,解,2.阿贝尔法(构造幂级数法):,(逐项积分、逐项求导),例4,解,例5,解,四、欧拉公式,复数项级数:,复数项级数绝对收敛的概念,三个基本展开式,揭示了三角函数和复变数指数函数之间的一种关系.,五、小结,、近似计算,求不可积类函数的定积分，,、微分方程的幂级数的解法(第十二节介绍),求数项级数的和，欧拉公式的证明；,思考题,利用幂级数展开式, 求极限,思考题解答,将

10、上两式代入,原式=,练 习 题,练习题答案,一、问题的提出,问题:,解,得和函数：,因为该级数每一项都在0,1是连续的，,例1,考察函数项级数,和函数的连续性,结论,问题,二、函数项级数的一致收敛性,定义,几何解释:,例2,解,余项的绝对值,例3,研究例1中的级数,在区间( 0 , 1内的一致收敛性.,解,对于任意一个自然数,因此级数在( 0, 1 )内不一致连续,说明:,从下图可以看出:,小结一致收敛性与所讨论的区间有关,定理（魏尔斯特拉斯(Weierstrass)判别法）,一致收敛性简便的判别法：,证,例4,证明级数,证,三、一致收敛级数的基本性质,定理1,证,(1),(2),同样有,(3

11、),由(1)、(2)、(3)可见,定理2,(4),证,根据极限定义，有,即,定理3,(5),注意:级数一致收敛并不能保证可以逐项求导.,例如，级数,逐项求导后得级数,所以原级数不可以逐项求导,定理4,幂级数的一致收敛性,定理5,证,于是,四、小结,1、函数项级数一致收敛的定义；,2、一致收敛级数的判别法魏尔斯特拉斯判别法；,4、幂级数的一致收敛性,3、一致收敛级数的基本性质；,练 习 题,练习题答案,第十章习题课,常数项级数,函数项级数,一 般 项 级 数,正 项 级 数,幂级数,三角级数,收 敛 半 径 R,泰勒展开式,数或函数,函 数,数,任 意 项 级 数,泰勒级数,一、主要内容,1、常

12、数项级数,级数的部分和,定义,级数的收敛与发散,性质1: 级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.,性质2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.,性质3:在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.,性质4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和.,级数收敛的必要条件:,收敛级数的基本性质,常数项级数审敛法,定义,2、正项级数及其审敛法,审敛法,(1) 比较审敛法,(2) 比较审敛法的极限形式,定义 正 、负项相间的级数称为交错级数.,3、交错级数及其审敛法,定义 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.,4、任意项级数及其审敛法,5、函数项级数,(1) 定义,(2) 收敛点与收敛域,(3) 和函数,(1) 定义,6、幂级数,(2) 收敛性,推论,定义: 正数R称为幂级数的收敛半径.,幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间.,a.代数运算性质:,加减法,(其中,(3)幂级数的运算,乘法,(其中,除法,b.和函数的分析运算性质:,7、幂级数展开式,(1) 定义,(2) 充要条件,(3) 唯一性,(3) 展开方法,a.直接法(泰勒级数法),步骤:,b.间接法,根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导