高等数学一元函数积分学

1、第三章 一元函数积分学(20%）,一、 不定积分,二、定积分,三、定积分的应用,本讲出题在10分18分之间，考点不多，一般在选择题、填空题、计算题中出现，不定积分是定积分的基础，定积分又是二重积分、曲线积分的基础，技巧性比较大，希望同学们多练习。 本讲重点：（1）原函数、不定积分的概念和性质。（2）直接积分方法、换元积分法。（3）凑微分技巧。 本讲难点：综合利用积分方法求不定积分 。,考试点津：,1原函数的概念； 2不定积分的两个性质及一个推论； 3分项积分法； 4换元积分法；又可细分为凑微分法（重点）与变量代换法（主要是去根号）； 5分部积分法。 有理函数积分、三角函数积分基本不考。即便考，

2、用前面的方法也可解决。,本章重点考核的知识点,第一节 不定积分,（一）、不定积分的概念与性质,（二）、不定积分的基本公式,第三章 一元函数积分学,2011年考了16分,（三）、换元积分法,（四）、分部积分法,（一） 不定积分的概念与性质,1. 原函数,设 是定义在某区间上的已知函数，如果存在一个函数 ，使对于该区间任意 ，都有关系式： 或 成立，则称函数 为函数 在该区间上的一个原函数。,例,又因为：,所以显然 ， ， ， 都是 的一个原函数。, 由此不难得出：,（1）一个函数的原函数不惟一，且有无穷多个。,（2）同一函数的原函数之间只相差一个常数。,（3）若 为 的一个原函数，则 表示 的所

3、有原函数。,称为 在该区间I上的不定积分。,即：,设 是 在区间I上的一个原函数，则函数 的全体原函数 （c为任意常数）,2. 不定积分,（一） 不定积分的概念与性质,如下图所示：,（一） 不定积分的概念与性质,3. 不定积分的几何意义,（一） 不定积分的概念与性质,4. 原函数存在定理,在 定义区间上的连续函数一定有原函数（即：一定有不定积分）。,定理1 微分运算与积分运算互为逆运算，即,定理2,定理3,（一） 不定积分的概念与性质,5. 不定积分的性质,基本积分表 ,是常数);,（二） 不定积分的基本积分公式,基本积分表 ,（二） 不定积分的基本积分公式,A.,B,C.,D.,提示公式：,

4、故选B,提示公式：,提示公式：,（三）换元积分法（重点掌握第一换元积分法）,2008年解答、8分,（四） 分部积分法,2010年解答、8分,内容小结,1. 不定积分的概念, 原函数与不定积分的定义, 不定积分的性质, 基本积分表,2. 直接积分法:,利用恒等变形,及 基本积分公式进行积分 .,常用恒等变形方法,分项积分,加项减项,利用三角公式 , 代数公式 ,积分性质,第二节 定积分,（一）基本概念与基本性质,（二）牛顿-莱布尼兹公式,第三章 一元函数积分学,（三）定积分的换元积分法和分部积 分法,（四）无穷区间上的反常积分,实例1 （求曲边梯形的面积）,（一）基本概念与基本性质,1、定积分的

5、定义,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,显然，小矩形越多，矩形面积和越接近曲边梯形面积,（四个小矩形）,（九个小矩形）,曲边梯形如图所示，,1. 分割,2. 近似,曲边梯形面积的近似值为,曲边梯形面积为,3. 求和,4. 取极限,定义,记为,积分上限,积分下限,积分和,注意：,定理1,定理2,2.定积分存在定理,定理,对定积分的补充规定:,说明,在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,3.定积分的几何意义,几何意义：,小结,定积分的实质：特殊和式的极限,定积分的思想和方法：,求近似以直（不变）代曲（变）,取极限,（此性质可以推广到有限多个

6、函数代数和的情况）,性质1,4.定积分的性质（证明略）,性质2,补充：不论 的相对位置如何, 上式总成立.,例 若,（定积分对于积分区间具有可加性）,则,性质3,证,性质4,性质5,性质5的推论：,证,（1）,证,说明： 可积性是显然的.,性质5的推论：,（2）,证,（此性质可用于估计积分值的大致范围）,性质6,证,由闭区间上连续函数的介值定理知,性质7（定积分中值定理）,积分中值公式,使,即,积分中值公式的几何解释：,定积分的性质,（注意估值性质、积分中值定理的应用）,典型问题,（）估计积分值；,（）不计算定积分比较积分大小,小结,1. 积分上限函数,2.牛顿-莱布尼茨公式,（二 ）牛顿-莱

7、布尼茨公式,考察定积分,称为积分上限函数。,1.积分上限函数,积分上限函数的定义,积分上限函数的性质,证,由积分中值定理得,例1 求,解,定理 3（微积分基本公式）,证,2.牛顿莱布尼兹公式,(Newton-Leibnitz Formula),令,令,牛顿莱布尼茨公式,微积分基本公式表明：,注意,求定积分问题转化为求原函数的问题.,例 求,解,例7 求,解,解 面积,3.微积分基本公式,1.积分上限函数,2.积分上限函数的导数,小结,牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系,1.定积分的换元法,（三） 定积分的换元法,2.定积分的对称性,3.定积分的分部积分法,定理,1.定积分的换元法,

8、例 计算,解,令,又解例 计算,解,应用换元公式时应注意:,（1）,（2）,注意,换元才需换上下限,注意:,（1）,（2）,不可以！,证,2.定积分的对称性,奇函数,例,解,原式,所以选D,对称上下限，奇偶,推导,3.定积分的分部积分公式,几个特殊积分、定积分的几个等式,定积分的换元法,小结,定积分的分部积分公式,（注意与不定积分分部积分法的区别）,定义1,（四） 无穷区间上的反常积分（了解）,例计算,解,定义2,解,定义3,（一）求平面图形的面积,第三节 定积分的应用 （二重积分和该项内容考到可能性 极大）,（二）求旋转体的体积,回顾,曲边梯形求面积的问题,1、定积分的元素法,（一）求平面图

9、形的面积,面积表示为定积分的步骤如下,（3）求和，得A的近似值,（4）求极限，得A的精确值,提示,元素法的一般步骤：,这个方法通常叫做元素法,应用方向：,平面图形的面积，体积。,经济应用。其他应用。,2、求平面图形的面积,如何用元素法分析？,，,2、求平面图形的面积,如何用元素法分析？,2、求平面图形的面积,如何用元素法分析？,第二步：写出面积 表达式。,2、求平面图形的面积,如何用元素法分析？,2、求平面图形的面积,如何用元素法分析？,2、求平面图形的面积,如何用元素法分析？,2、求平面图形的面积,第二步：写出面积 表达式。,如何用元素法分析？,解,两曲线的交点,选 为积分变量,解,两曲线的

10、交点,选 为积分变量,于是所求面积,于是所求面积,观察下列图形，选择合适的积分变量求其面积：,考虑选择x为积分变量，如何分析面积表达式？,观察下列图形，选择合适的积分变量：,考虑选择y为积分变量，如何分析面积表达式？,解,两曲线的交点,选 为积分变量,平面图形的面积的计算步骤:,(1) 画草图,(2) 选择合适的积分变量,(3) 求交点,确定积分限.,(4) 列式,原则:尽可能使分的块数越少越好.,极坐标情形,求由曲线,及,围成的曲边扇形的面积 .,在区间,上任取小区间,则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为,所求曲边扇形的面积为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对应 从 0 变,例. 计算阿基米德螺线,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,到 2 所围图形面积 .,旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴,圆柱,2、求旋转体的体积(volume of body),（1）,圆锥,圆台,2、求旋转体的体积(volume of body),（3）,（2）,旋转体