第6 讲 一次函数、二次函数与幂函数

1、第 6 讲 一次函数、二次函数与幂函数,基础自查,2幂函数 (1)幂函数的定义 形如 (R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，为常数 (2)幂函数的图象,yx,(3)幂函数的性质,函数,特征,性质,0，),y|yR且y0,x(0，)时，,x(，0)时，减,联动思考 想一想：幂函数与指数函数有何不同？ 答案：本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在 底数位置，而指数函数的自变量在指数位置,联动体验,考向一二次函数的解析式的求法,【例1】 设二次函数f(x)满足f(2x)f(2x)，且f(x)0的两个实根的平方和 为10，f(x)的图象过点(0,3)，求f(x)的解析式 解：f(2x)f(2

2、x)， f(x)的图象关于直线x2对称 于是，设f(x)a(x2)2k(a0)， 则由f(0)3，可得k34a， f(x)a(x2)234aax24ax3. ax24ax30的两实根的平方和为10， 10 xx(x1x2)22x1x216， a1， f(x)x24x3.,反思感悟：善于总结，养成习惯 二次函数解析式的确定，应视具体问题，灵活地选用其形式，再根据题设条件列方程组，即运用待定系数法来求解在具体问题中，常常会与图象的平移、对称，函数的周期性、奇偶性等知识有机地结合在一起,迁移发散 1设二次函数f(x)，当xx1时，取最大值5(x10)，二次函数g(x)的最小值为 2，且g(x1)25

3、，f(x)g(x)x216x13. (1)求x1的值； (2)求g(x)的表达式 解：(1)设f(x)a(xx1)25(a0)， 则g(x)x216x13a(xx1)25. 而g(x1)25，故x16x113a(x1x1)2525. 即x16x1825， 得x117(舍去)或x11.x11. (2)由(1)得g(x)(1a)x22(a8)xa8. g(x)有最小值2， 8a 2，解得：a2. 故g(x)3x212x10.,【例2】 已知f(x)x23x5，xt，t1，若f(x)的最小值为h(t)，写出h(t) 的表达式,考向二二次函数的最值问题,函数图象的对称轴为x， (1)当t1，即t时，

4、h(t)f(t1)(t1)23(t1)5， 即h(t)t25t1(t) (2)当tt1， 即t时， h(t)f().,反思感悟：善于总结，养成习惯 解二次函数求最值问题，首先采用配方法，将二次函数化为ya(xm)2 n(a0)的形式，得顶点(m，n)或对称轴方程xm，分三个类型： 顶点固定，区间固定； 顶点含参数，区间固定； 顶点固定，区间变动,迁移发散,考向三幂函数的图象和性质,反思感悟：善于总结，养成习惯 1利用幂函数的性质，确定幂指数的取值范围，以达到求解的目的 2注意对a、b的讨论来判断函数的奇偶性 3有关幂值的大小比较，可结合幂值的特点，选择适当的函数，借助 其单调性进行比较,迁移发散,课堂总结 感悟提升 1二次函数的单调性只与对称轴和开口方向有关系，因此单调性的判断通常 用数形结合法来判断 2幂函数yx(R)，其中为常数，其本质特征是以幂的底x为自变 量，指数为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标 准应当注意并不是任意的一次函数、二次函数都是幂函数，如yx 1，yx22x等都不是幂函数 3幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至 于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只 能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定