高中数学第一章基本初等函数（Ⅱ）1.1任意角的概念与弧度制1.1.1角的概念的推广课件新人教B版必修4.ppt

1、第一章基本初等函数(),1.1任意角的概念与弧度制,1.1.1角的概念的推广,1.结合具体实例体会角的概念的推广,能正确区分正角、负角和零角. 2.理解象限角与终边在坐标轴上的角的特征. 3.掌握终边相同的角的表示方法,并能判断角所在的位置.,1,2,3,1.任意角 (1)角的定义. 静态定义:有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,这个公共端点叫做角的顶点,这两条射线叫做角的边. 动态定义:一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角,所旋转射线的端点叫做角的顶点,开始位置的射线叫做角的始边,终止位置的射线叫做角的终边. (2)角的记法:用一个希腊字母表示;用三个大写的英文字

2、母表示(字母前面要写“”).,1,2,3,(3)在平面内,一条射线绕它的端点旋转有两个相反的方向:顺时针方向和逆时针方向.习惯上规定,按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角;按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角;当射线没有旋转时,也把它看成一个角,叫做零角;旋转生成的角,又常叫做转角.这样就形成了任意大小的角,即任意角. (4)角的运算:引入正角、负角的概念以后,角的减法运算可以转化为角的加法运算,即-可以化为+(-).这就是说,各角和的旋转量等于各角旋转量的和.,1,2,3,【做一做1】 钟表的分针在一个半小时内转了() A.180B.-180C.540D.-540 解析:分针是顺时针旋转的,故分

3、针旋转而成的角为负角,其值为-(360+180)=-540. 答案:D,1,2,3,2.终边相同的角 设表示任意角,所有与终边相同的角,包括本身构成一个集合,这个集合可记为S=|=+k360,kZ,即任一与终边相同的角,都可以表示成与整数个周角的和的形式. 归纳总结 1.集合中的为任意角. 2.k360-,kZ可理解为k360+(-),kZ,即k360-,kZ的终边与-的终边相同. 3.相等的角终边一定相同,终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无数个,它们相差360的整数倍. 4.“kZ”这一条件不可少. 5.零角的始边和终边相同,但始边和终边相同的角并不一定是零角.,1,2,3,【做一做2

4、-1】 与610角终边相同的角表示为() A.k360+230,kZ B.k360+250,kZ C.k360+70,kZ D.k360+270,kZ 解析:610=360+250, 所求角为k360+250,kZ. 答案:B,1,2,3,【做一做2-2】 在-398,38,142,1 042角中,终边相同的角是() A.-398,38B.-398,142 C.-398,1 042D.142,1 042 解析:-398=-1360-38,1 042=3360-38. 答案:C,1,2,3,3.象限角 (1)在平面直角坐标系中,如果将角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴正半轴重合,那么角的终边

5、在第几象限,就把这个角叫做第几象限的角. (2)如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限. 【做一做3-1】 已知是第三象限的角,则-的终边在 () A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 解析:因为是第三象限的角, 所以k360+180k360+270,kZ, 则-k360-270-k360-180,kZ. 故-的终边在第二象限. 答案:B,1,2,3,【做一做3-2】 -2 017角是第象限的角. 解析:-2 017=-6360+143, 即-2 017角与143角终边相同,而143是第二象限的角, -2 017是第二象限的角. 答案:二,1.各象限角与终边在坐标轴上

6、的角的表示 剖析(1)象限角的集合. 第一象限的角的集合为x|k360xk360+90,kZ; 第二象限的角的集合为x|k360+90xk360+180,kZ; 第三象限的角的集合为x|k360+180xk360+270,kZ; 第四象限的角的集合为x|k360+270xk360+360,kZ.,(2)终边在坐标轴上的角的集合. 终边落在x轴的正半轴上,角的集合为x|x=k360,kZ; 终边落在x轴的负半轴上,角的集合为x|x=k360+180,kZ; 终边落在x轴上,角的集合为x|x=k180,kZ; 终边落在y轴的正半轴上,角的集合为x|x=k360+90,kZ; 终边落在y轴的负半轴上

7、,角的集合为x|x=k360-90,kZ; 终边落在y轴上,角的集合为x|x=k180+90,kZ; 终边落在坐标轴上,角的集合为x|x=k90,kZ. 名师点拨象限角与终边在坐标轴上的角的集合的表示形式并不唯一,还有其他的表示形式.如终边落在y轴的非正半轴上,角的集合为x|x=k360+270,kZ.,2.第一象限的角、小于90的角、090的角、锐角的差别 剖析受初中所学角的影响,往往在解决问题时,考虑的角还是仅仅停留在锐角、直角、钝角上,即初中所学角的范围,没有按任意角来看待.其突破方法是把握住各类角的取值范围. 锐角是090的角; 090的角是090的角; 小于90的角包括锐角以及所有负

8、角和零角; 第一象限的角是|k360k360+90,kZ所表示的角,其中有正角、负角. 名师点拨要正确区分易混的概念,如锐角一定是第一象限的角,而第一象限的角不全是锐角,如-330,730角都是第一象限的角,但它们都不是锐角.,3.教材中的“思考与讨论” (1)如果是第一象限的角,那么的取值范围可以表示为怎样的不等式? (2)如果分别是第一、第二、第三和第四象限的角,那么 分别是第几象限的角? 剖析(1)如果是第一象限的角,那么的取值范围可以表示为k360k360+90,kZ. (2)若是第一象限的角,则k360k360+90,kZ,故180k 180k+45,kZ. 若k=2n,nZ,则36

9、0n 360n+45,nZ,此时 为第一象限的角;,题型一,题型二,题型三,题型四,【例1】 下列结论正确的是() A.第一象限的角都是锐角 B.锐角都是第一象限的角 C.第一象限的角一定不是负角 D.小于180的角是钝角、直角或锐角 解析:-320角是第一象限的角,但它不是锐角,所以A不正确;锐角是大于0且小于90的角,终边落在第一象限,故锐角都是第一象限的角,所以B正确;-330角是第一象限的角,但它是负角,所以C不正确;0角小于180角,但它既不是钝角,也不是直角,更不是锐角,故D不正确. 答案:B,题型一,题型二,题型三,题型四,反思解答本题的关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、

10、正角、负角等概念.另外需要掌握判断结论正确与否的技巧.判断结论正确,需要证明;而判断结论错误,只要举出一个反例即可.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练1】 给出以下说法: 第二象限的角都是钝角;三角形的内角一定是第一、二象限的角;不相等的角的终边一定不相同;第四象限的角一定比第一象限的角大;若是锐角,则90-一定是锐角. 其中正确说法的个数是. 解析:451=360+91是第二象限的角,但451不是钝角,故错;三角形的内角可以是90,这时它不是第一、二象限的角,故错;1和361两个角不相等,但终边相同,故错;300是第四象限的角,400是第一象限的角,而300400,故错;当是锐角时

11、,90-一定是锐角,故正确. 答案:1,题型一,题型二,题型三,题型四,【例2】 写出与75角终边相同的角的集合,并在360,1 080)内找出与它终边相同的所有角. 分析根据与角终边相同的角的集合为S=|=k360+,kZ,写出与75角终边相同的角的集合,再取适当的k值,求出在360,1 080)内的角.,题型一,题型二,题型三,题型四,解:与75角终边相同的角的集合为 S=|=k360+75,kZ. 当3601 080时,即360k360+751 080, 又kZ,所以k=1或k=2. 当k=1时,=435;当k=2时,=795. 综上所述,与75角终边相同且在360,1 080)内的角为

12、435角和795角. 反思求某一范围内与已知角的终边相同的角时,常在集合中,通过对k进行赋值求得.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练2】 下列各角中,与30角终边相同的角是() A.150B.210C.-330D.330 解析:由于30-(-330)=360,所以30与-330终边相同. 答案:C,题型一,题型二,题型三,题型四,【例3】 在角的集合|=k90+45,kZ中, (1)有几种终边不相同的角? (2)有几个在-360360范围内的角? 分析从代数角度看,取k=,-2,-1,0,1,2,可以得为,-135,-45,45,135,225,;从图形角度看,是以45角为基础,依次

13、加上(或减去)90的整数倍,即依次按逆时针(或顺时针)方向旋转90所得各角,如图所示.结合图形求解.,题型一,题型二,题型三,题型四,解:(1)在给定的角的集合中,终边不相同的角共有4种,分别是与45,135,225,315角终边相同的角. (2)令-360k90+45360, kZ,k=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3. 在-360360范围内的角共有8个. 反思把代数计算与对图形的认识结合起来即数形结合,会使这类问题处理起来更容易些.数形结合是解决数学问题的最重要的方法之一,做题时要注意应用.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练3】 已知角的终边落在直线y=x上,则角的集合S

14、=() A.|=k360+45,kZ B.|=k90+45,kZ C.|=k360+225,kZ D.|=k180+45,kZ,题型一,题型二,题型三,题型四,解析:当角的终边落在直线y=x在第一象限内部分时,角与45角的终边相同,这时=k1360+45(k1Z);当角的终边落在直线y=x在第三象限内部分时,角与225角的终边相同,这时=k2360+225(k2Z). 因此,终边落在直线y=x上的角的集合S=|=k1360+45,k1Z|=k2360+225,k2Z=|=k180+45,kZ. 答案:D,题型一,题型二,题型三,题型四,【例4】 若是第三象限的角,试判断2是第几象限的角?180

15、-是第几象限的角? 分析根据所在的象限,用不等式表示其范围,再求出2,180-的范围,从而确定它们所在的象限. 解:因为是第三象限的角, 所以180+k360270+k360,kZ, 所以360+2k3602540+2k360,kZ, 即(2k+1)3602180+(2k+1)360,kZ,所以2是第一、二象限的角,或终边在y轴的非负半轴上的角. 同理,得-270-k360-180-k360,kZ, 则-90-k360180-k360,kZ, 所以180-是第四象限的角.,题型一,题型二,题型三,题型四,反思1.给定一个角,判断其终边所在的象限,将所给出的角的度数除以360,求出其在0,360

16、)内的余数,再根据这个余数来确定角所在的象限. 2.已知角终边所在的象限,求n或 (nN+)的终边所在的象限,可用分类讨论法解决,也可用几何法解决.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练4】 若是第一象限的角,则 +180的终边所在的象限是() A.第一、二象限B.第二、三象限 C.第一、三象限D.第二、四象限 解析:由于是第一象限的角,所以 是第一或第三象限的角,从而 +180也是第一或第三象限的角. 答案:C,题型一,题型二,题型三,题型四,【例5】 设集合A=|=k180+90,kZ |=k180,kZ,集合B=|=k90,kZ,则() A.ABB.BA C.AB=D.A=B 解析

17、:集合A=|=k180+90,kZ|=k180,kZ=|=(2k+1)90,kZ|=2k90,kZ=|=m90,mZ,集合B=|=k90,kZ,A=B. 答案:D,题型一,题型二,题型三,题型四,反思判断角的集合之间的关系一般有两种方法:一种方法是将各集合中表示角的式子化为同一种形式(这种方法要用到整数分类的有关知识);另一种方法是将各集合中表示角的式子中的k赋值,并将角的终边画在坐标系中,直至重复出现相同位置的终边为止,根据各类集合中角的终边的情况,判断角的集合的关系.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练5】 设集合M=|=k360+50,kZ,N=|=k180+50,kZ,则M与N

18、的关系是() A.M=NB.MN C.NMD.MN= 解析:由于M=|=k360+50,kZ=|=2k180+50,kZ,当kZ时,2k是偶数,所以MN. 答案:B,1,2,3,4,5,6,1.把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240所形成的角是() A.120B.-120C.240D.-240 答案:D,1,2,3,4,5,6,2.与120角终边相同的角是() A.-600+k360(kZ) B.-120+k360(kZ) C.120+(2k+1)180(kZ) D.660+k360(kZ) 解析:由于120=-600+3602,所以120角与-600角的终边相同,因此与120角终边相同的角可表示为-600+k360(kZ). 答案:A,1,2,3,4,5,6,3.若为锐角,则下列各角中为第四象限的角的是() A.90-B.90+ C.360-D.180+ 解析:由已知090,所以270360-360,故360-是第四象限的角. 答案:C,1,2,3,4,5,6,4.已知角终边上的一点的坐标是P(0,-3),则角的集合是. 解析:由题意知,角的终边与y轴的负半轴重合, 所以角的集合是|=k360+270,kZ. 答案:|=k360+270,kZ,1,2,3,4,5,6,5.终边在直线y=- x上的所有角的集合是,上述集合在-180180范围内的角是