数列极限的定义

1、1.1 数列的极限,一、极限思想及其发展,2、极限的思想及地位 极限思想是近代数学的重要思想，是用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。 在现代的数学分析教科书中，几乎所有基本概念（连续、微分、积分）都是建立在极限概念的基础之上。可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科”。,1、极限的概念及地位 极限是微积分中的基础概念，指变量在一定的变化过程中，总体上逐渐稳定的一种变化趋势以及所趋向的值。,3、极限思想的发展,极限概念的形成经历了漫长的岁月。 （1）两千多年前，我国的惠施就在庄子的天下篇中提出：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。” 这是我国古代极限思想的萌芽。,1，,不为

2、零，但无限接近零,1/2 ，,1/4 ，,1/ 8 ，,1/16 ，,1/32 ，,趋于稳定值0极限,割之弥细， 所失弥少，割 之又割，以至 于不可割，则 与圆合体而无 所失矣.,（2）公元3世纪，我国的刘徽圆内接多边形来推算圆面积的方法割圆术。 这是我国古代极限思想的在几何上的应用。,此准确求得圆面积的公式应用“割圆术”的思想，但并非刘徽求圆面积的算法。,附： 刘徽割圆术 算法简述,2.从勾股定理出发，求正十二边形的边长。 如图， 继续根据勾股定理， 从圆内接正n边形边长，求出圆内接正2n边形边长。,刘徽指出利用=3这一数值算得的结果是圆内接正十二边形的面积而非圆面积。他由圆内接正六边形算起

3、，逐渐把边数加倍，算出正12边形、正24边形、正48边形、正96边形的面积。 这样继续分割下去,所得多边形的面积就无限接近于圆面积。,1.已知圆内接正六边形每边的长等于半径。 如图：0A=OB=AB=R,3.从圆内接正n边形边长，可以求圆内接正2n边形面 积。如图，四边形OACB面积等于半径OC和正六边形 边长AB乘积的一半。,4.圆面积S满足不等式：S2nSS2n2（S2nSn）,（分割的次数越多S-Sn越小，S也就越精确。）,5.最后将与圆合体的正多边形分割成无穷个以圆心为顶点，每边长为底的 小等腰三角形，于是有 （L为圆周长）。所以，,24,12,6,3,2.598076211353,3

4、.000000000000,3.105828541230,3.132628613281,（3）古希腊人（欧多克索斯）创造的穷竭法也蕴含了极限的思想，结合归谬法用于数学证明。 穷竭法对几何图形“分割求和”的形式为积分的雏形，其思想是积分的直接源泉。,（穷竭法完成证明一般分为两个步骤：首先是一个称为“穷竭”的逼近过程，然后用“双重归谬法”完成证明。）,例：用穷竭法求三棱锥的体积公式。,连接各边中点，将原三棱锥分成两个小三棱柱和两个小三棱锥，有,同理,，所以两三棱柱体积和,再对两个小三棱锥做同样的分割，得到四个小三 棱柱的体积和为,（4）17世纪，牛顿（Newton）和莱布尼兹（Leibniz）在总

5、结前人经验的基础上，创立了微积分。,到18世纪，基本弄清了极限的描述性定义。 如牛顿用路程的改变量 与时间的改变量 的比值 表示物体的平均速度，让 无限趋近于零，得到物体的瞬时速度，那么“极限”直观地描述为“若当自变量x无限趋近于 时，函数 无限趋近A，则称以A为极限”。,（5）1821年法国数学家柯西在他的分析教程中进一步提出了极限定义的方法，把极限过程用不等式刻划，后经德国数学家维尔斯特拉斯进一步加工，成为现在所说的柯西极限定义或叫“ ”定义 。,不严格定义,严格定义,如果按照某一法则，对每一个 ,对应着一个确定的实数 ,这些实数 按下标n从小到大排列得到的序列,二、数列极限的定义,1.数

6、列的定义,例如:,数列中的每一个数叫做数列的项,第n项 叫做通项.,称为数列，记为,可视 为一种定义域为正整数的整标函数:,数列的两种几何表示：,在数轴上,在平面上,2.数列极限的定义,观察数列(1),观察数列(2) 时的变化趋势,对于一般的数列 x n ，总会出现两种情形： 当 n 时，x n a ， 当 n 时，x n 不趋于任何确定的数。 例如：,如上举例的数列：,（1）数列极限的描述性定义,（否则称数列发散）,一般地，在n无限增大的变化过程中，如果无穷数列 xn中的xn无限趋近于一个常数a，那么 称数列xn收敛于a；a叫做数列xn的极限 记作：,微积分发展初期，人们往往从实际出发考虑问

7、题， 不太注重基础理论。随着究的深入和应用的广泛，出 现了越来越多的含混和悖论，使得数学的发展又一次 遇到令人不安的危机，产生这种危机的根本原因是极 限理论问题。于是科学家们在完成了微积分基本理论 后，又回过头来重新构建微积分基础。通过一大批优 秀科学家近一个世纪的努力，终于建立了微积分严谨 的基础，其核心就是今天的极限理论。,（2）数列取极限过程的精确表达,什么叫做 x n无限接近于一个常数 a ？ x n 无限接近于一个常数 a 或 x n 趋向于 a 都是定性的 描述，而非定量的和客观的表达，因为它依赖于考察者 的主观判断。 什么叫做 n无限增大？ n 10000，n 10 100 可否

8、称作 n 无限增大？如果不 能，n 变化到什么样的值才能称为 n 无限增大？,问题1,问题2,x n a 的意义的定量表达,第一步，如何定量表示 x n 与 a 的接近程度？ 从几何上看，x n 与 a 均对应于数轴上的点，要表示两点 x n 与 a 的接近程度可通过二者之间距离的大小来表示，即通过 | x n - a |的大小来表示。 因此， x n a 的意义就是| x n - a | 可任意地小。,第二步，如何表示| x n - a | 可任意地小？ xn与a的接近程度可用不等式|xn - a| l 来表示。l 很小表示xn与a很接近。但任何确定的很小的数 l 均不能表示|x n - a

9、 | 可任意地小。 由于可任意小的具体数是不存在的，因此只有人为地建立这样一种“数”的概念，数学家柯西设想出了这样一种数，并用 表示。 表示可任意赋值的数，而一但赋于 为某具体值，它就是通常的实数。 于是 x n - a 可任意地小可表示为：对预先给定的可任意小的正数 有 x n - a .,x n a 过程的定量表达,柯西的表示法不能完全表示极限 xn a . 因为|x n - a| N 时有 | x n - a | 成立。,另一方面，表示 n 增大程度的具体值 N 和预先给定的 的大小有关。也就是N 对 有某种依赖关系，即N = N( ). 一般而言，若 取值较大，xn 的下标不需变化到很

10、大就有| xn - a| 成立，相应N就较小。若 取值较小，则xn 的下标需变化到足够大，才可有| xn - a| 成立，于是N就较大。 然而为说明 xn a 这一事实， N 对 的依赖关系N = N( )的具体 形式并不重要，重要的是|xn - a| 总能发生或成立。 也就是对 x n 的下标 n 变化而言， 重要的是N = N( )的存在性。,庄子天下篇,一尺之棰 日取其半 万世不竭。,若要求接近度小于 0.25， 0.01,事实上，不论给多小的正数，总能找到对应的n,（2）数列极限的“ ”定义（严谨定义）,转换:,所以 可以表示为,“ 无限接近 ”与“ 无限接近0”意义相同,注意：,定义：,成立，,设 为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数 （不论它多小