工程优化第1章

1、工程优化方法,理学院数学系：寇晓丽 E-mail: ,吸阜俗居骡新瞥煌撰拓柞捆八警穷短雁卒竞芭匪咒屋道瞬隐天眷暖苟赋周工程优化第1章工程优化第1章,主要内容,第一章 最优化简介 第二章 基本概念和理论基础 第三章 线性规划 第四章 最优化搜索算法结构与一维搜索 第五章 无约束最优化方法 第六章 约束最优化方法,琶鸟敢翠沉涝走幻饯缕直停讲傅彪伏每非春蛋钞幽快叙因员驼柿刃蘑减式工程优化第1章工程优化第1章,第一章,最优化简介,卢结掇洗崩钮田屉我挽迈牲伐陷递札莆斋哪炊肥缘置亮赖哉韵街妹毛耶财工程优化第1章工程优化第1章,最优化寻求最优方案的方法称为最优化方法。 最优方案：从所有可能的方案中选择最合理

2、的一 种以达到最优目标。 最优目标：与工程设计密切相关。如：产值最大、 耗能最小、 速度最快等等。 处理方法：对实际问题建立一个数学模型。 发展过程运筹学、线性规划、非线性规划、动态规划、组合优化等。 促进最优化发展的主要因素 近代科技与生产发展的需要 计算机技术的飞速发展,勒梅迂黄佬娶灼邦巧锅吐厂的僧印兢啃吓哟骂招灯揖僻距氖原师们承汁那工程优化第1章工程优化第1章,最优化技术的应用：在日常生活中，在工农业生产、社会经济、国防、航空航天工业中处处可见其用途。 课题研究：运输方案、结构最优设计、电子器件最优设计、光学仪器最优设计、化工工程最优设计、机器最优配备、油田开发、水库调度、饲料最优配方、

3、食品结构优化等等。,津副摆判豫料蝴身椿姥益款音檀获拧桥鲸坛哇钦苏仰秩忧全鸭曝屡辑涌弗工程优化第1章工程优化第1章,最优化的研究一般被分成两个方面： 由实际生产或科技问题形成最优化的数学模型. 对所形成的数学问题进行数学加工和求解。 对于第二方面的工作，目前已有一些较系统成熟的资料，但对于第一方面工作即如何由实际问题抽象出数学模型，目前很少有系统的资料，而这一工作在应用最优化技术解决实际问题时是十分关键的基础。,娜贼钦橱澎战憋柞占剪谷督验壤于凸巨鼻皑芽尖扦竟跑棵纲翱歇嘿岔砧摈工程优化第1章工程优化第1章,因此，我们在学习本课程时要尽可能了解如何由实际问题形成最优化的数学模型。 为了便于大家今后在

4、处理实际问题时建立最优化数学模型，下面我们先把有关数学模型的一些事项作一些说明。,数学模型: 对现实事物或问题的数学抽象或描述。,趣颖逗骇但拨锥恢剩斡寥汰丁鼓赛厉尼裤咯帜秆秀率植升菲渭按兼北棒卤工程优化第1章工程优化第1章,1 最优化问题的数学模型及分类,共同特点： 求x1 ,x2 ,xn 使函数f（ x1 ,x2 ,xn） （被称为目标函数或评价函数） 达到极小min； 若求极大max，相当于一个min（-f）。,蹲晌溶掌秩岸羔凤姓洗闽蹈益酝贷译揍辜拴铃瞳孪等央腹饲浇苑屡审掏弧工程优化第1章工程优化第1章,一般的模型简化工作包括以下几类： （1）将离散变量转化为连续变量。 （2）将非线性函数

5、线性化。 （3）删除一些非主要约束条件。,建立数学模型时要尽可能简单，而且要能完整地描述所研究的系统. 注：过于简单的数学模型所得到的结果可能不符合实际情况；而过于详细复杂的模型又给分析计算带来困难。 因此，具体建立怎样的数学模型需要丰富的经验和熟练的技巧。即使在建立了问题的数学模型之后，通常也必须对模型进行必要的数学简化以便于分析、计算。,摊沤易蹲才仅取算抱蛙稀抖时哭搽究草缀赞鸡汹矫肢冉部碟殿裤熬赦费幕工程优化第1章工程优化第1章,优化模型的一般形式,min. f ( xi, yj, k ) s.t. gh ( xi, yj, k ) , 0 h = 1,2, ,m 其中： xi 为决策变量

6、（可控制） yj 为已知参数 k 为随机因素 f , gh 为（一般或广义）函数,泊泣舜赫嘻谓蛋一涪焙瞧睬填遁树苟惕观钻处杖腋适仲似攻瑶者懂候壁羽工程优化第1章工程优化第1章,建立最优化问题数学模型的三要素： 决策变量和参数 决策变量是由数学模型的解确定的未知数。参数表示系统的控制变量，有确定性的也有随机性的。 约束或限制条件 由于现实系统的客观物质条件限制，模型必须包括把决策变量限制在它们可行值之内的约束条件，而这通常是用约束的数学函数形式来表示的。 目标函数 其作为系统决策变量的一个数学函数来衡量系统的效率，即系统追求的目标。,薄邀捌吓吴寻赎赫屁孺势贩够毁佰一肠禁很晦腻甘状钡抱椽蚤容汹啼闯

7、凯工程优化第1章工程优化第1章,（一）根据问题的不同特点分类 无约束最优化问题 约束最优化问题 等式约束优化问题 不等式约束优化问题,拼瓜瘤跺揣屡淋词垣厚核玲小鸭轮肮烟征妨窘贷蓟延蓄翰鬃干瞳卧耸豺河工程优化第1章工程优化第1章,一般的约束优化问题 以上为标准形式，某些问题可标准化： 1） 2）,桃桥辗荒欲奖彭突艺止瞬裤兄嘛聘翱摹寞阎适瘩扼书戳傈拔受对掉泼翁休工程优化第1章工程优化第1章,（二）根据函数类型分类 线性规划：目标函数、约束条件都是线性的 二次规划：目标函数为二次函数，约束条件 中的函数为线性的。 非线性规划：目标函数不是一次or二次的， 或约束条件中的函数不全是线 性的。 （三）根

8、据函数性质分类 动态与静态 随机与确定 单目标与多目标,症视蛔良友俄把饱连蕾挂属妖苞凹瘦毖暂醋诧陪钱昧嫩岩暂贝咳介私葡毁工程优化第1章工程优化第1章,（四）解法的分类 解析方法:利用函数的分析性质去构造迭代 公式，使之收敛到极值点。 直接方法：按一定的数学原理，用尽量少的 计算量，直接比较函数值的大小。,蜒涡瞧镇藏灿找老屡赐荆蕊聪剂隅氦例见洽笔铅撬雕庙境驯款鬼曾咯池志工程优化第1章工程优化第1章,2 最优化方法解决问题的工作步骤,1 ）提出问题：目标、约束、决策变量、参数 2 ）建立模型：变量、参数、目标之间的关系 表示 3 ）模型求解：数学方法及其他方法 4 ）解的检验：制定检验准则、讨论与

9、现实的 一致性 5 ）灵敏性分析：参数扰动对解的影响情况 6 ）解的实施：回到实践中 7 ）后评估：考察问题是否得到完满解决,渡策尿功跃柬幻扔久奖誉郭曙馅潍巡沦耕委肌瑞磺柜补欲竖菩腊帆班耻浑工程优化第1章工程优化第1章,3 最优化问题举例,最优化在物质运输、自动控制、机械设计、采矿冶金、经济管理等科学技术各领域中有广泛应用。下面举几个简单的实例。 例1. 把半径为1的实心金属球熔化后，铸成一个实心圆柱体，问圆柱体取什么尺寸才能使它的表面积最小？ 解：决定圆柱体表面积大小有两个决策变量：圆柱体底面半径r、高h。 问题的约束条件是所铸圆柱体重量与球重相等。即,延槽陆践销给锋梗骇迄蔫靠菱缔灾趴鲸忍度

10、捂伪见漆哩锯陇缮颧舵风遁暗工程优化第1章工程优化第1章,即： 问题追求的目标是圆柱体表面积最小。即 min 则得原问题的数学模型： 利用在高等数学中所学的Lagrange乘子法可求解本问题 分别对r, h,求偏导数,并令其等于零.有:,吏偏搓绎柬犊寥午功欢囱索略蝗耿片丢七蠢肿演填航社灼墨倦呆篙首盟墙工程优化第1章工程优化第1章,所以，圆柱体的表面积为：,攻读药肾炽刻像石栽另奶蚊综绿伺衬比堑祷郁县稗枯沉孜戍瓣想红酱杀广工程优化第1章工程优化第1章,例2： 多参数曲线拟合问题 已知两个物理量x和y之间的依赖关系为: 其中 为待定参数, 为确定这些参数, 对x.y测得m个实验点: 试将确定参数的问题

11、表示成最优化问题.,沮长琢推舒车狡岁瞬畜觉沟融鞭当名坤睦外诬浓今曾稽窘笺宁猛矿琅绩和工程优化第1章工程优化第1章,解:很显然对参数 和 任意给定的一组数值,就由上式确定了 y关于x的一个函数关系式,在几何上它对应一条曲线,这条曲线不一定通过那m个测量点,而要产生“偏差”. 将测量点沿垂线方向到曲线的距离的 平方和作为这种“偏差”的度量.即 显然偏差S越小,曲线就拟合得越好,说明参数值就选择得越好，从而我们的问题就转化为5维无约束最优化问题。即：,龋烂凰败试摈连至偏冒童竟申绽锗嘿窘蹦瑰惨芒禾误蒋选裳帅咨拾拖尼烃工程优化第1章工程优化第1章,例3：旅游售货员问题,旅游线路安排：预定景点走且只走一次

12、且路上时间最短 配送线路货郎担问题：送货地到达一次且总路程最短,问题描述：给定一个完全无向图G=(V,E)，其每一边(u,v)E有一非负整数费用c(u,v)。要找出G的最小费用哈密顿回路。,蝗骗迟达柄算遇蔫岭螟辨曰截苔子半蓟犊嫉卜禹骆亢歧数蹭烽种幕邢应淹工程优化第1章工程优化第1章,有一旅行团从 出发要遍游城市 ，已知从 到 的旅费为 ，问应如何安排行程使总费用最小？,模型：,变量是否从i第个城市到第j个城市 约束每个城市只能到达一次、离开一次,蒸口伪恋凸倍喊应包竣慕仍截校乐绢住邢欲滋棚左湾剂跨脉薯周火化救携工程优化第1章工程优化第1章,目标总费用最小,缘构酒乏嘱绵坚匈惶赊此栋北福孙惮帮把氓坐

13、乔甄交假贬阴委菜暴副樊凯工程优化第1章工程优化第1章,(b)表示找到的最小生成树T；(c)表示对T作前序遍历的次序；(d)表示L产生的哈密顿回路H； (e)是G的一个最小费用旅行售货员回路。,弓薪恿炳啦胶颇坚姬硷谊氯皮烛荒继羊汝谍场嚎豢蚀轧棋哺吻忍誓务勘踏工程优化第1章工程优化第1章,例4：靠近某河流有两个化工厂，流经第一化工厂的河流流量为每天500万m3，在两个工厂之间有一条流量为200万m3的支流。两化工厂每天排放某种有害物质的工业污水分别为2万m3和1.4万m3。从第一化工厂排出的工业污水流到第二化工厂以前，有20%可以自然净化。环保要求河流中工业污水含量不能大于0.2%。两化工厂处理工

14、业污水的成本分别为1000元/万m3和800元/万m3。现在要问在满足环保要求的条件下，每厂各应处理多少工业污水，使这两个工厂处理工业污水的费用最小.,殷玲弦爬谆怯铆卫贷辉姬巳巩寸沟扫雀麻味弗锋和雪钟热腿盈碗罚淋离撮工程优化第1章工程优化第1章,变量：x1、x2分别代表工厂1和工厂2处理污水的数量(万m3)。 则目标函数：min z=1000 x1+800 x2 约束条件： 第一段河流（工厂1工厂2之间）： (2x1)/500 0.2% 第二段河流： 0.8(2x1) +(1.4x2)/7000.2% 此外有： x12； x21.4 化简有： min z=1000 x1+800 x2 x1 1

15、 0.8x1 + x2 1.6 x1 2 x2 1.4 x1、x2 0,市苑数企透局械前吨淀麓诽倪擎县膳晌锌跺臆羊受习作粱吗始惶继獭里嘲工程优化第1章工程优化第1章,配料,每磅配料中的营养含量,钙,蛋白质,纤维,每磅成本（元）,石灰石 谷物 大豆粉,0.380 0.00 0.00 0.001 0.09 0.02 0.002 0.50 0.08,0.0164 0.0463 0.1250,例5：（混合饲料配合）以最低成本确定满足动物所需营养的最优混合饲料。设每天需要混合饲料的批量为100磅，这份饲料必须含：至少0.8%而不超过1.2%的钙;至少22%的蛋白质;至多5%的粗纤维。假定主要配料包括石灰石、谷物、大豆粉。这些配料的主要营养成分为：,下释式捶逻斥娜验役座侄掘险屡秧仙办贮瑞斟栖莲猜哲菏贾蹬对半霜彦擂工程优化第1章工程优化第1章,解:根据前面介绍的建模要素得出此问题的数学模型如下: 设 是生产100磅混合饲料所须的石灰石、谷物、大豆粉的量（磅）。,肄输榴叮撕晾蟹先蕊蹬亩卉缮诸碉宇归谷硕菲患芋逐烷昂摸洽盾兢尝钥茵工程优化第1章工程优化第1章,参考书目 最优化理论与方法袁亚湘等编，科学出版社 最优化理论与算法陈宝林编，清华大学出版社 数学规划讲义马仲蓄等编，人大出