随机信号分析-1 随机过程(1).ppt

1、随机信号分析,通信工程学院 张南 ,西安电子科技大学,2,什么是随机信号？,信号：随时间、空间或其他参量变化的、携带某种信息的物理量,最常见的是随时间变化的信号。,光信号,声信号,电信号,确定信号：随时间做有规律的、已知的变化的信号,方波,正弦波,锯齿波,3,什么是随机信号？,确定信号的特征,1) 相同条件下重复多次进行测量波形相同； 2) 可用一个或几个确定时间函数进行描述；,确定性体现事物的必然规律，是由事物的基本因素决定的,随机性体现事物的统计规律，是由事物的次要因素决定的,抛硬币,发炮弹,4,什么是随机信号？,随机信号：随时间做有无规律的、未知的、随机变化的信号,随机信号的特征,1)

2、相同条件下重复多次进行测量所得波形不同； 2) 不能用一个或几个确定的时间函数进行描述；,5,如何分析随机信号？,随机信号是否就无法捉摸、无法分析？,No!,随机信号的统计规律是确定的，可以采用统计学方法建立随机信号的数学模型随机过程,因此，本课程以随机过程的学习作为教与学的起点和重点，所获得的理论和方法可广泛应用于各种随机信号的分析中,6,学习随机信号分析的意义,自然界将遇到大量的随机信号,衰落信道,脑电波,电阻热噪声,股价走势,7,学习随机信号分析的意义,而在通信工程领域，随机信号分析必不可少,摩尔斯电码,可看做一种信源编码方法，需依据信源的统计特性，越频繁出现的字母，编码越简单，发送越迅

3、速,摩尔斯 (1791-1872),摩尔斯码的字母编码,8,学习随机信号分析的意义,理想信道的信道容量,在发送接收过程中，信号仅受到加性高斯白噪声(典型的随机信号)的影响，在此条件下，能实现无差错传输的最高的信息速率是多少？,香农公式：,香农 (1916-2001),随机的白噪声信号,9,进入课程,第一章 随机过程,随机过程是随机信号的数学模型。对随机过程的研究是进行随机信号分析的基础。,本章 首先讲解随机过程的基本概念及其统计特性， 接着探讨非常重要的一类随机过程平稳随机过程； 最后介绍几种重要的随机过程,说明 本课程所考查随机过程都是随时间变化的 随其他参量变化的随机过程分析方法类似,10

4、,1.1 随机过程的基本概念及统计特性,本节讲述随机过程的基本概念 及随机过程的数学期望、方差、相关函数 等统计特性,11,随机过程的基本概念及统计特性,噪声电压采样实验,相同条件下对接收机噪声电压的多次观测结果,0,t,s,ti,样本空间,给定时刻采样值是随机变量,12,随机过程的定义,随机过程的第一种定义,设随机实验的样本空间,，如果对于每个样本,有一个以t为参数的函数,，都,与之对应，则对应于所有的,得到一族函数,，这个以t为参数的函数族称为,随机过程，简记为,或者,。族中每个函数称为该,随机过程的一个样本，是随机过程的一次试验的物理实现，是一个确知的时间函数.,定义 1,13,随机过程

5、的定义,随机过程的第二种定义,若对于每个任意给定的时间ti(i=1,2,),都是一个随机,变量，则称,为随机过程。,两种定义的各自特点和适用场合,定义1主要体现：随机信号样本是一个时间函数； 定义2主要体现：任意时刻取值是一个随机变量；,对随机过程进行实际观测时适合使用定义1； 对随机过程进行理论分析时适合使用定义2；,定义 2,14,随机过程的定义,对随机过程(随机变量)的理解,两个与随机过程X( , t) 相关的参数： 和 t 当： 和 t都是变量时X( , t) 是随机过程 固定，t为变量时 X( , t) 是随机过程的一个样本 t固定， 为变量时X( , t) 是一个随机变量 和 t都

6、固定时X( , t) 是一个确定值,15,随机过程的定义,随机过程判断举例,例1.1 随机初相正弦波X(t)=A cos(0t+ )， A和0是正常数， 服从0, 2上的均匀分布。判断其是否为随机过程.,从定义1的角度考虑： 是随机变量，每次观测其取值是随机的，从而得到不同的样本函数，且该函数是时间函数； 从定义2的角度考虑，固定t时，X(t)是随机变量的函数，也是一个随机变量； 因此X(t)是随机过程,16,随机过程的分类,当 和 t 固定时，X( , t)是一定值，表示随机过程在t时刻的状态。 X( , t)的所有能状态构成的集合称为状态空间或者相空间，记为G。,随机过程的相空间,相空间G

7、可能是一个连续集，也可能是离散集；同样，时间参数集T可能是离散集，也可能是连续集，经组合可对应出4种不同情况，可将随机过程分为4类,连续型随机过程 离散型随机过程 连续型随机序列 离散型随机序列,17,随机过程的分类,G的类型,T的类型,连续集,离散集,连续型随机过程,连续型随机序列,离散型随机过程,离散型随机序列,连续集,离散集,随机过程按照G和T的不同情况分类,18,随机过程的分类,按照随机过程样本函数的形式分类,任意样本函数是否可根据历史观测值准确预测？ 是 确定随机过程 否 不确定随机过程,按照随机过程的概率结构和特性分类,按分布函数/概率密度特性：马尔可夫，正态，瑞利等； 按遍历性特

8、性： 遍历，非遍历； 按平稳性特性： 平稳，非平稳； 按其功率谱密度特性： 宽带，窄带，白色，非白色,19,随机过程的概率分布,根据定义2，对随机过程采样，可得多维随机变量。在满足一定采样间隔要求下，随机过程的统计特性可由该多维随机变量的统计特性反映；因此可将概率论中对随机变量的概率统计特性的研究方法推广到随机过程的研究中。,随机过程的一维概率分布,定义3,设X(t), t T 是随机过程，对任意固定t1T 和实数x1 R，称Fx (x1 ; t1)=P X(t1) x1 为该过程的一维分布函数；若Fx (x1 ; t1)对x1的一阶偏导存在，则称,为该过程的一维概率密度函数.,20,随机过程

9、的概率分布,例1.2 随机过程X(t)=X cost， 是常数，X 服从标准正态分布。求其一维概率密度.,对给定时刻t1 ，正态分布随机变量X乘以常数cost1 ，所得X cost1亦为正态分布随即变量； 注意此处要求cost1 0,仅描述孤立时刻状态(单个随机变量)的统计特性，无法描述随机过程不同时刻状态间的联系； 描述任意两个时刻t1，t2状态X(t1)和X(t2)间的联系，需用二维分布函数和二维概率密度函数；,21,随机过程的概率分布,随机过程的二维概率分布 定义4,设X(t), t T 是随机过程，对任意固定t1 , t2 T 和实数x1 , x2 R，称Fx (x1 , x2 ; t

10、1 , t2 )=P X(t1) x1 , X(t2) x2 为该过程的二维分布函数；若Fx (x1 , x2 ; t1 , t2 )对x1 , x2的二阶混合偏导存在，则称,为该过程的二维概率密度函数.,为描述两个以上任意时刻状态之间的关系，需引入n维概率密度函数,22,随机过程的概率分布,随机过程的n维概率分布 定义5,设X(t), t T 是随机过程，对任意固定t1 , t2 , , tn T 和实数x1 , x2 , , xn R，称Fx (x1 , x2 , , xn ; t1 , t2 , , tn )=P X(t1) x1 , X(t2) x2 , , X(tn) xn 为该过程

11、的n维分布函数；若Fx (x1 , x2 , , xn ; t1 , t2 , , tn )对x1 , x2 , , xn的n阶混合偏导存在，则称,为该过程的n维概率密度函数.,23,随机过程的概率分布,n维分布函数(n维概率密度函数)能近似描述随机过程的统计特性，n越大，描述的完善程度越高；,所有n1维概率密度函数的集合称为有限维概率密度函数族；,前苏联数学家证明，有限维分布函数族或者有限维概率密度函数可完全确定随机过程的全部统计特性,所有n1维分布函数的集合称为有限维分布函数族；,24,随机过程的概率分布,例1.3 随机过程X(t)=A+Bt，0atb，A和B是相互独立的正态分布随机变量，

12、求该过程的n维概率密度函数.,相互独立正态分布随机变量的线性组合亦为正态分布随机变量；该过程的n维概率密度函数就是n维正态随机变量(X(t1) , X(t2) , , X(tn)的联合概率密度函数，该函数可由二阶统计量(n维随机变量的协方差矩阵)完全确定,C是协方差矩阵，X=(x1 , x2 , , xn）,25,随机过程的数字特征,有限维概率密度函数族可完全确定随机过程的全部统计特性，但有时得到该函数族相当困难，甚至不可能 幸运的是，很多时候只需要掌握随机过程的几个统计值即可；这些统计值即为随机过程的数字特征，有数学期望、均方值、方差、相关函数等。 数字特征既能描述随机过程的重要特性，又便于

13、实际测量； 对随机过程的数字特征的计算方法，是先把时间t固定，然后用随机变量的分析方法来计算。,26,随机过程的数字特征,随机过程的数学期望 定义6,随机过程X(t), tT的数学期望表示为：,设随机过程X(t), tT的一维概率密度函数为 fX(x ; t),数学期望是随机过程所有样本函数在t时刻取值的平均，该平均被称为统计平均或者集合平均； 直观上，mX(t）表示随机过程X(t) 的波动中心,27,随机过程的数字特征,随机过程的均方值 定义7,随机过程X(t), tT的二阶原点距,称为随机过程的均方值函数，简称均方值.,随机过程的方差 定义8,随机过程X(t), tT的二阶中心距,称为随机

14、过程的方差函数，简称方差.,28,随机过程的数字特征,随机过程的标准差 定义7,方差,的平方根,称为随机过程的标准差、方差根或者均方差.,方差和标准差描述了随机过程X(t)的所有样本函数在t时刻取值相对于其的波动中心mX(t) 的偏离程度； 当X(t)表征的是接收机输出端的噪声电压时，则： 均方值表征消耗在单位电阻上的瞬时功率统计平均值； 方差表征消耗在单位电阻上的瞬时交流功率统计平均值.,29,随机过程的数字特征,随机过程不同时刻状态之间的相关关系,均值、方差等数字特征表征了随机过程在单个时刻的统计特性，但无法表征其在不同时刻状态间的相关关系. 如下图,需要引入能表征随机过程不同时刻状态相关

15、程度的数字特征：自相关函数与自协方差函数,30,随机过程的数字特征,随机过程的自相关函数 定义10,设X(t), tT为随机过程，对任意固定的t1 , t2 T，随机变量X(t1)和X(t2)的混合原点距,称为该随机过程的自相关函数，简称相关函数.其描述了任意两不同时刻状态间的相关程度。当t1 = t2 =t时,自相关函数等于其均方值，因此均方值是自相关函数的特例,31,随机过程的数字特征,随机过程的自协方差函数 定义11,设X(t), tT为随机过程，对任意固定的t1 , t2 T，随机变量X(t1)和X(t2)的混合中心距,称为该随机过程的自协方差函数，简称协方差函数.其描述了任意两不同时

16、刻状态起伏值之间的相关程度. 当t1 = t2 =t时,此时的协方差等于方差,32,随机过程的数字特征,协方差函数和相关函数的关系,概括地说，协方差函数等于相关函数减去数学期望的乘积,有了均值mX(t)和相关函数RX(t1 , t2 )，协方差KX(t1 , t2 )和方差,都可由 他们确定，因此均值和相关函数是随机过程,最基本的两个数字特征。,33,随机过程的数字特征,例1.4 设g(t)是周期为L的矩形波，Y是两点分布随机变量，其概率分布如下表所示，令X(t)=Y g(t), tT=(0,)，则X(t)是具有随机振幅、周期为L的矩形波过程，求其数字特征,34,随机过程的数字特征,例1.5

17、随机相位正弦波X(t)=a cos(t+ )， a0, 是常数， 服从0, 2上的均匀分布,求该随机过程的mX(t)、RX(t1 , t2 )和一维概率密度函数fX(x, t),思路： 1 导致随机特性的量是 ，所以首先确定其概率密度函数； 2 根据其概率函数，可方便求得mX(t)和RX(t1 , t2 ) 3 求解随机变量的一维 概率密度函数 按照随机变量函数的概率密度函数的求解规则求解； 求解时注意随机变量函数的非单调特性.,35,1.2 时间连续随机过程的微分和积分,本节讲述时间连续随机过程的微分和积分 及微分和积分过程的统计特性,36,时间连续随机过程的微分和积分,随机过程的连续性 定

18、义12,根据定义1，随机过程是t为参数的函数族，如同普通函数一样，连续性是可导(可微)的前提，因此考虑随机过程的微分和积分，首先需考虑随机过程的连续性.,如果随机过程X(t)在t0时满足E(X(t+ t)- X(t)2 0, 则称该随机变量在t时刻在均方意义下连续，简称m.s连续.,E(X(t+ t)- X(t)2 =RX(t+ t, t+ t)-RX(t, t+ t)-RX(t+ t, t)+RX(t, t),可见，若RX(t1 , t2 )在t1 = t2=t 点处连续，则X(t)必在t 点处连续 若RX(t1 , t2 )沿着t1 = t2线处处连续，则 X(t)对每个t都是连续的,37

19、,时间连续随机过程的微分和积分,如果随机变量X(t)是连续的，则其数学期望也必定连续，即,证明：,设,由于,因此,左边随t0而趋近于0，此时有,该结果可写作：,可见，求极限和求数学期望可以互换次序,38,随机过程的微分及其数字特征,随机过程的微分(导数) 定义13,随机过程X(t)的导数可定义为一个极限,若该极限式在m.s意义下存在，则称X(t)具有均方意义的导数,随机过程的微分(导数) 定义14,如果能找到另一个过程,满足,则称X(t)在t时刻具有均方导数,39,随机过程的微分及其数字特征,使用柯西准则判断随机过程导数是否存在,若下式成立，则表明导数存在,由于,40,随机过程的微分及其数字特

20、征,若偏导数,存在，则,即柯西准则成立，随机过程的导数过程存在。 可见，随机过程在均方意义下有导数的充分条件是相关函数在其自变量相等时，二阶偏导数存在，即存在,注：随机过程有导数，则该过程必连续，反之不成立,41,随机过程的微分及其数字特征,随机过程导数的数学期望,设Y(t)=,则Y(t)的数学期望为：,可见，随机过程导数的数学期望等于过程数学期望的导数，即,注：导数运算和数学期望运算次序可交换,42,随机过程的微分及其数字特征,随机过程导数的相关函数,X(t)和Y(t)的互相关函数为：,Y(t)和X(t) 的互相关函数为：,43,随机过程的微分及其数字特征,Y(t) 的自相关函数为：,而,于

21、是：,随机过程导数的相关函数等于该随机过程相关函数的混合偏导数,44,随机过程的微分及其数字特征,例1.6 数学期望为mx(t)=5sint、相关函数为,的随机信号X(t)输入微分电路，求其输出信号Y(t)的均值和相关函数.,1）导数的数学期望等于数学期望的导数，因此,2）导数的相关函数等于相关函数的二阶混合偏导数，因此,45,随机过程的积分及其数字特征,随机过程的积分定义15,对于给定实随机过程X(t)，若在确定区间a,b上每一个样本函数的下列积分都存在，即,则称Y为随机过程X(t)的积分。,随机过程的积分定义16,对实随机过程X(t)，若满足,其中,是a,b上的任一划分，,则称,为X(t)

22、在a,b上,的均方积分。,46,随机过程的积分及其数字特征,随机过程的带“权函数的”积分 定义17,对于给定实随机过程X(t)和普通函数h(,t), 在确定区间a,b上的积分,为X(t)在区间a,b上的加权积分。,随机过程的变上限积分 定义18,对于给定实随机过程X(t)，有,为X(t)在区间a,b上的变上限积分。,47,随机过程的积分及其数字特征,随机过程积分的数学期望,随机过程积分的数学期望为：,随机过程积分的数学期望等于随机过程数学期望的积分；即积分运算和数学期望运算的次序可交换,对随机过程X(t)的加权积分和变上限积分来说，其数学期望等于原始随机过程X(t)的数学期望mx(t)的加权积

23、分和变上限积分,48,随机过程的积分及其数字特征,随机过程积分均方值,随机过程积分的方差,随机过程积分的均方值等于随机过程自相关函数的二重积分 随机过程积分的方差等于随机过程协方差函数的二重积分,49,随机过程的积分及其数字特征,随机过程加权积分的相关函数,随机过程变上限积分的相关函数,对随机过程X(t)的变上限积分的相关函数等于X(t)的相关函数的二重变上限积分,50,随机过程的积分及其数字特征,例1.7 随机过程X(t)=Ve3tcos2t，其中V是均值为5方差为1的随,机变量。设新的随机过程,，求其数字特征,51,随机过程的积分及其数字特征,52,1.3 平稳随机过程和遍历性过程,本节讲

24、述两类具有重要研究意义的随机过程 平稳随机过程和 遍历性随机过程,53,平稳随机过程,一类非常重要的随机过程，在通信、天文学、生物学等诸多方面有非常广泛的应用； 其重要特性是，在时间平移下，其概率性质不发生变化； 此类过程一方面受随机因素的影响而产生波动，另一方面又具有惯性，而在不同时刻的波动基本保持不变； 平稳随机过程可分为严平稳过程和宽平稳过程；,54,严平稳随机过程及其数字特征,如果其n维概率密度(或者n维分布函数)fX (x1 , x2 , , xn ; t1 , t2 , , tn )不随时间起点而改变，即对任何n和， X(t)的n维概率密度满足,严平稳过程 定义19,则称X(t)为

25、严平稳随机过程，或狭义平稳随机过程,平稳随机过程判定：主要物理条件,55,严平稳随机过程及其数字特征,严平稳过程的一维概率密度与时间无关,n=1， =- t1 可得：,于是其均值、方差、均方值都和时间无关：,56,严平稳随机过程及其数字特征,严平稳过程的二维概率密度与时间起点无关，只与t1 , t2的时间间隔有关,n=2， = t2 t1 可得：,当t1=t2=t时，,57,严平稳随机过程及其数字特征,严平稳过程的判定,证明其非严平稳过程比较容易，利用严平稳随机过程的性质，找出一个反例即可 常用的判断方法： 1)若X(t)严平稳，k为任意正整数， 则EXk(t)与时间t无关 2)若X(t)严平

26、稳，则对任意时刻t0， X(t0)有相同的统计特性,58,宽平稳随机过程及其数字特征,1)一二阶矩在一定程度上有效地描述了随机过程的重要特性，对于实际工程技术而言，这已经足够解决问题； 2)实际中遇到的最多的最重要的过程是高斯过程，而该过程的一二阶矩能够完全确定其所有n维概率密度；,宽平稳过程更具实际意义,59,宽平稳随机过程及其数字特征,宽平稳过程 定义20,若随机过程X(t)的均值函数与协方差函数存在且满足,则称X(t)为宽平稳过程(广义平稳过程)，简称平稳过程,1）,2）,3）,宽平稳过程反映了一个系统处于稳态工作条件下的统计性质,宽平稳随机过程,61,宽平稳随机过程及其数字特征,例1.

27、8 随机过程X(t)由如下三个样本函数组成，且等概率发生,求其均值和相关函数并判断,其是否平稳,均值与t有关，因此非平稳,62,宽平稳随机过程及其数字特征,例1.9 随机过程Z(t)=Xsint+Ycost，其中X和Y是相互独立的二元随机变量，分别以2/3和1/3的概率取-1和2，试求： 1) Z(t)的均值和自相关函数 2)证明Z(t)是宽平稳但非严平稳,63,宽平稳随机过程及其数字特征,寻找反例证明该过程非严平稳过程,高阶原点矩是否和时间t有关？,而上式中各项如下：,于是：,三阶矩与时间有关，因此非严平稳过程,64,平稳随机过程相关函数性质,平稳过程自相关函数的性质：,1),均方值，是平均

28、功率的统计值,2),自相关函数是的偶函数,类似地，,65,平稳随机过程相关函数性质,3),自相关函数在=0时具有最大值,由于任何正函数的数学期望恒为非负值，于是,即,于是,同理可证,66,平稳随机过程相关函数性质,4) 周期函数的自相关函数必为周期过程，其周期与过程的周期相同.,5) 若平稳过程X(t)包含一周期分量，则RX()也包含一周期分量且周期相同. X(t)= X1(t)+ X2(t),67,平稳随机过程相关函数性质,6) 非周期平稳过程X(t)满足：,在|的情况下，两者相互独立，因此：,平稳随机过程相关函数性质,7) 若平稳过程含有平均分量 , 则相关函数也含有平均分量 , 若过程为

29、非周期平稳随机过程，则,对于平稳过程有：,非周期平稳过程有,69,平稳随机过程相关函数性质,8) 平稳过程X(t)的自相关函数对所有 必须满足,这一条件限制使自相关函数不能具有任意形状，要求其必须连续(不能出现平顶，垂直边或在幅度上的任何不连续)。,70,平稳随机过程相关函数性质,例1.10 平稳过程X(t)的自相关函数为,求其均值、均方值和方差,周期分量 非周期分量,因为周期分量的平均分量为0，根据性质7知其均值为0。,对于非周期分量，根据性质6可知：,故均值为：,均方值为：,方差为：,71,平稳随机过程相关函数性质,例1.11 判断下列曲线是否为平稳随机过程的正确的自相关函 数曲线并说明理

30、由,72,平稳过程的相关系数和相关时间,为何需要相关系数,该值大小与起伏值的强度有关，无法准确描述关联程度的大小。需要对协方差函数进行归一化处理相关系数,相关系数 定义21,73,平稳过程的相关系数和相关时间,相关时间,由于两时刻起伏值之间的相关程度随着时间间隔的增大而减弱。当时间间隔大于某个值0 ，就认为两不同时刻起伏值不相关，该间隔0就称为相关时间. 一般有两种定义方式：,1,相关系数绝对值从1下降到0.05时对应的时间间隔0 ，,2,以高为1，底边长为0的矩形面积等于rX()积分面积一半所确定的作为相关时间，即,相关时间的大小体现了随机 过程随时间变化的剧烈程度,74,遍历性随机过程,随

31、机过程统计特性的获得，需要对大量的样本函数进行统计平均，往往困难。 但存在这样一种平稳随机过程，随着观测时间的增大，其样本函数按时间平均以越来越大的概率近似于过程的统计平均。即观测时间足够长，某一个样本函数都能遍历随机过程的各种可能状态。这样的随机过程称为遍历性过程，称其具有“各态历经性”或者“遍历性”。 使用时间平均代替统计平均，大大减小了处理的复杂度，对于实际工程应用具有重要意义。,75,遍历性随机过程,遍历性过程,若平稳随机过程X(t)的各种时间平均(时间足够长)依概率1收敛于对应的集合平均(统计平均)，则称随机过程X(t)为严格(狭义)遍历性过程.,时间均值和时间相关函数,设X(t),

32、 -t为均方连续的平稳过程，,时间均值,时间相关函数,76,遍历性随机过程,均值、自相关函数、均方值遍历性,设X(t), -t为均方连续的平稳过程，若,依概率1成立，则称该平稳过程的均值具有遍历性。若,依概率1成立，则称该平稳过程的自相关函数具有遍历性。若=0时上式成立，则称该过程的均方值具有遍历性.,宽遍历性过程,若均方连续的平稳过程X(t)的均值和相关函数都具有遍历性，则称其为宽(广义)遍历性过程.,遍历性过程必是平稳过程，反之不成立,77,随机过程均值具备遍历性的条件,均值遍历性判别定理,设X(t), -t为均方连续的平稳过程，则其均值具有遍历性的充要条件为：,证：,而,78,随机过程均

33、值具备遍历性的条件,做变换,可得,对应的变换的雅可比式为,在上述变换下，将正方形积分区域变成菱形区域：,79,随机过程均值具备遍历性的条件,于是，积分变成：,在积分区域上先对1积分，再对2积分，则上式变为 ：,又因,，所以可将mX写成,80,随机过程均值具备遍历性的条件,结合上页的式子,可得,于是,若X(t)为实平稳过程，则RX()是偶函数，于是X(t)均值遍历的条件变为：,81,随机过程相关函数具备遍历性的条件,相关函数遍历性判别定理,设X(t), -t为均方连续的平稳过程，则其相关函数具有遍历性的充要条件为：,其中,证：,对于固定的，记,则Y(t)是均方连续的,平稳过程，且,于是X(t)相

34、关函数的遍历性相当于Y(t)均值的遍历性. 只需将Y(t)的均值和相关函数代入定理1的式子中即可，其中,82,遍历性随机过程,例1.12 设随机电报信号过程X(t)的均值和自相关函数为,，讨论其均值的遍历性,将均值和相关函数代入定理1关于实平稳过程均值遍历性判断条件中可得：,可见其均值具有遍历性,例1.13 设随机相位过程X(t)=acos(t+),其中a和实常数， 服从0,2上的均匀分布，问X(t)是否为遍历性过程,而,83,遍历性随机过程,而,可见,所以X(t)为遍历性过程,84,相关函数测量,用大量实验统计的方法求随机过程的相关函数非常困难。对遍历性过程，可使用时间自相关函数代替集合自相

35、关函数：,考虑到观测时间的有限性，只能按下列的估计式表示：,实际中经常不能给出X(t)的表达式，因此常采用下列两种方法：,1. 按实验数据确定相关函数,把观测时间以间隔为t等分，取,用求和代替积分，得近似式,85,相关函数测量,由此估计式可算出自相关函数的一系列近似值,从而得出自相关函数的近似图形。,2. 连续型相关函数测量仪,通过下图电路来测量相关函数,86,联合平稳随机过程,两个随机过程的联合概率分布,对任意m1, n 1, t1 , t2 , , tm T且,及实数,为m+n维随机矢量,的联合分布函数，联合概率密度函数为：,87,联合平稳随机过程,若两个随机过程的联合概率分布不随时间平移

36、而变化，即与所选取时间的起点无关，则称此二过程为联合严平稳或严平稳相依,两个随机过程的互相关函数,两个随机过程的互协方差函数,88,两个随机过程的数字特征,两个随机过程相互独立,则称随机过程X(t)和Y(t)相互独立,正交过程,若随机过程X(t)和Y(t)对任意两个时刻 t1 , t2 有：,或,则称X(t)和Y(t)为正交过程,89,两个随机过程的数字特征,不相关过程,若随机过程X(t)和Y(t)对任意两个时刻 t1 , t2 有：,则称X(t)和Y(t)不相关,或,若两个随机过程相互独立，且他们的二阶矩都存在，则必互不相关。正态过程的不相关与相互独立等价,90,联合平稳随机过程,联合宽平稳

37、,若两个宽平稳随机过程X(t)和Y(t)的互相关函数仅是单变量的函数，即：,则称X(t)和Y(t)联合宽平稳或宽平稳相依,联合宽平稳随机过程的互相关函数有如下性质：,1),证明：,同理可证：,例：,91,联合平稳随机过程,2),证明：因,，即,由于上式对任意实数都成立，,同理可得：,92,联合平稳随机过程,又因为任何正数的几何平均小于算术平均，所以,3),证明：由性质(2)，得,同理可得,93,联合平稳随机过程,互相关系数,为消除起伏值强度对互协方差函数的影响，引入互相关系数：,由性质2)知：rXY()1.当rXY()=0时，X(t)和Y(t)不相关,联合宽遍历,当两个随机过程X(t)和Y(t

38、)联合宽平稳时，定义时间互相关函数：,若,依概率1收敛于集合互相关函数 ,则称X(t),和Y(t)联合宽遍历。,94,联合平稳随机过程,例1.14 设两个随机过程X(t)=acos(t+)和Y(t)=bcos(t+)，其中a,b, 为常数， 在(0,2)内均匀分布，讨论X(t)和Y(t)是否联合遍历,解：遍历首先要是平稳的，因此先讨论X(t)和Y(t)的平稳性,于是X(t)是平稳的。同理可证Y(t)是平稳的,95,联合平稳随机过程,再讨论两随机过程的联合平稳性和遍历性,由于,于是X(t)和Y(t)是联合平稳的,又因为,所以X(t)和Y(t)是联合遍历的,复随机过程及其数字特征,复随机过程,设X

39、(t)和Y(t)是两个实随机过程 复随机过程Z(t)= X(t)+j Y(t)。,Z(t)的统计特性可由X(t)和Y(t)的2n维联合概率分布来描述：,Z(t)的2n维联合概率密度函数为：,复随机过程及其数字特征,97,数学期望,方差,自相关函数,复随机过程及其数字特征,98,自协方差,若复随机过程Z(t)满足以下条件：,（a）,（b）,（c）,则称Z(t)为宽平稳复随机过程,复随机过程及其数字特征,99,两个复随机过程Z1(t)和Z2(t)的互相关函数：,两个复随机过程Z1(t)和Z2(t)的互协方差函数为：,复随机过程及其数字特征,100,若两个平稳的随机过程Z1(t)和Z2(t)满足：,

40、且,则称Z1(t)和Z2(t)联合平稳,若有,则称Z1(t)和Z2(t)不相关,若有,则称Z1(t)和Z2(t)为正交复过程,复随机过程及其数字特征,101,例1.15 设U和V是不相关的实随机变量，且均值都为0，方差都为1，问复过程Z(t)=U cost+jVsint是否宽平稳.,解：,因此Z(t)是宽平稳过程,离散时间随机过程,102,离散时间随机过程,当对连续时间随机过程X(,t)中的参数t取离散值t1,t2,tn时， X(t)由随机变量序列X(t1), X(t2), X(tn)构成，该序列可表示为X(n)或者X(n), n=1,2,N，这就是离散时间随机过程. 由于X(n)中的参数n表

41、示不同的等时间间隔时刻，所以X(n)又被称为时间序列。,离散时间随机过程,103,一维概率分布,设X(n), n=1,2,N为离散时间随机过程，对任意固定nN及实数xn R ，称,为离散时间随机过程X(n), n=1,2,N的一维概率分布函数,若,对xn的一阶偏导数存在，则称,为离散时间随机过程X(n), n=1,2,N的一维概率密度函数,离散时间随机过程,104,二维概率分布,设X(n), n=1,2,N为离散时间随机过程，对任意固定n,mN及实数xn, xm R ，称,为离散时间随机过程X(n), n=1,2,N的二维概率分布函数,若,对xn和 xm的二阶混合偏导数存在，则称,为离散时间随

42、机过程X(n), n=1,2,N的二维概率密度函数,离散时间随机过程,105,n维概率分布,设X(n), n=1,2,N为离散时间随机过程，对任意的n, i=1,2,n及实数x1, x2, , xn R ，称,为离散时间随机过程X(n), n=1,2,N的n维概率分布函数,若,对xn和 xm的n阶混合偏导数存在，则称,为离散时间随机过程X(n), n=1,2,N的n维概率密度函数,离散时间随机过程,106,联合分布函数,设X(n)和Y(m)为两实离散时间随机过程，其n+m维联合分布函数为：,若,的n+m阶混合偏导数存在，称,对,为离散时间随机过程X(n)和Y(m)的n+m维联合概率密度函数,离散时间随机过程,107,对某实离散时间随机过程X(n)的n个随机变量X1, X2, Xn，若,则称这n个随机变量统计独立。,若对X(n)和Y(m)这两个实离散时间随机过程的任何n+m个随机变量X1, X2, Xn; Y1, Y2, Ym ，若,则称X(n)和Y(m)相互独立。,离散时间随机过程的数字特征,108,