函数的单调性与导数上课用

1、3.3.1函数的单调性与导数（一）,1、一般地，对于给定区间D上的函数f(x)，若对于属于区间D 的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，有,问题1：函数单调性的定义怎样描述的?,(1)若f(x1)f (x2) ，那么f(x)在这个区间上 是增函数.,(2)若f(x1)f(x2)，那么f(x)在这个区间上是减函数.,(2)作差f(x1)f(x2) (作商),2用定义证明函数的单调性的一般步骤：,(1)任取x1、x2D，且x1 x2.,(4)定号(判断差f(x1)f(x2)的正负)(与比较),(3)变形(因式分解、配方、通分、提取公因式),(5)结论,一.知识回顾：,练习：讨论函数y=x2

2、4x3的单调性.,定义法,单增区间：(，+).,单减区间：(，).,图象法,二.思考与探究：,思考：那么如何求出下列函数的单调性呢?,(1)f(x)=2x3-6x2+7 (2)f(x)=ex-x+1 (3)f(x)=sinx-x,发现问题： 用单调性定义讨论函数单调性虽然可行，但十分麻烦，尤其 是在不知道函数图象时。例如：2x3-6x2+7，是否有更为 简捷的方法呢？ 下面我们通过函数的y=x24x3图象来考察单调性与导数 有什么关系,二.思考与探究：,2,.,.,.,.,.,.,.,再观察函数y=x24x3的图象：,总结: 该函数在区间（，2）上单减,切线斜率小于0,即其导数为负;,而当x=

3、2时其切线斜率为0,即导数为0. 函数在该点单调性发生改变.,在区间（2，+）上单增,切线斜率大于0,即其导数为正.,思考：这种情况是否具有一般性呢？,二.思考与探究：,观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.,结论：在定义域内的某个区间(a,b)内, 如果 ,那么函数 在这个区间内单调递增; 如果 ,那么函数 在这个区间内单调递减.,如果在某个区间内恒有f(x)=0,则f(x)为常数函数,二.思考与探究：,一般地，函数yf（x）在某个区间(a,b)内 如果 ，那么函数y =f(x)在这个区间内单调递增; 如果 ，那么函数y =f(x) 在这个区间内单调递减.,如果在某

4、个区间内恒有 ，那么f(x)为常数函数.,三.结论：函数的单调性与导数间的关系,即导函数的正负性决定原函数的增减性,则函数f(x)图象的大致形状是(）。,A,B,C,D,D,注：导函数f(x)的_与原函数f(x)的增减性有关,正负,四.例题讲解,解：由题意可知,当1x4时，f(x)为增函数,当x4,或x1时，f(x)为减函数,当x=4,或x=1时，两点为“临界点”,练习1.已知函数y=f (x)的图象如图所示，试画出其导函数f (x)图象 的大致形状。,O,四.例题讲解,练习2.设f (x)是函数f(x)的导函数，y=f (x)的图象如图所示，则 y=f(x)的图象最有可能是( ),x,y,o

5、,1,2,x,y,o,1,2,x,y,o,1,2,x,y,o,1,2,x,y,o,1,2,A,B,C,D,D,四.例题讲解,练习3.函数y=f (x)的图象如下图所示,则 的图象可能的是 ( ),四.例题讲解,练习4.以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图 象，其中一定不正确的序号是（ ）,A、 B、 C、 D、,四.例题讲解,例2. 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:,四.例题讲解,思路点拨：求可导函数 f (x)单调区间的步骤,练习3.Pg93练习1,四.例题讲解,2.利用导数求函数 f (x)的单调区间，实质上是转化为解不等式 f(x)0 或f(x)0 ，不等式的解集就是

6、函数的单调区间。 3. 如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间中间不能用“” “或” “且”连接，而只能用“逗号”“和” “及”字隔开 4. 在利用导数来讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，即解决问题的过程中，只能在定义域内通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间,题后感悟： 1.当遇到三次或三次以上的函数,或图象很难画出的函数求单调 性问题时，应考虑导数法.,四.例题讲解,例3.求证函数 在（0,2）内是减函数,思路点拨： 利用导数判断或证明可导函数f(x)在（a,b）内的单调性的步骤： (1)求导求导数f(x) (2定号判断f(x)在（a,b）内的符号 (3

7、)下结论作出单调性结论,题后感悟： 1.利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断 或证明不等式f(x)0( f(x)0)在给定区间上恒成立。 2.如果出现个别点使f(x)=0，不影响函数在包含该点的某个区间内的单调性。,例1：求函数f(x)2x2ln x的单调区间,例4.如图, 水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t 的函数关系图象.,五.导数与单调性的关系在图象上的应用,例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增或减，还可以看出其变化的快慢。结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？,

8、结论：一般地，如果一个函数在某一个范内导数的绝对值较大， 那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图像就比较 “陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图像就“平缓”一些。 如图所示函数y=f(x）在(0,b)或(a,0)内的图像“陡峭”，在(b, +) 或(-,a)内的图像“平缓”。,y,x,o,b,a,y=f(x),练习4 如图，直线l和圆c，当l从l0开始在平面上绕点O匀速旋转(旋转角度不超过90o)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图象大致是（ ）。,D,六.课堂小结,说明:函数的单调区间必定是它的定义域的子区间,故求函数的单调区间一定首先要确定函数的定义域,在求出使导数

9、的值为正或负的x的范围时,要与定义域求两者的交集.,2.证明可导函数f(x)在（a,b）内的单调性的步骤： (1)求f(x) (2)确认f(x)在（a,b）内的符号 (3)作出结论,(1) 求出函数 f(x)的定义域A；,(2) 求出函f(x)数的导数 ；,(3)不等式组 的解集为f(x)的单调增区间；,(4)不等式组 的解集为f(x)的单调减区间；,1.求函数的单调区间的一般步骤:,函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 任意x 1、x 2 G 且 x 1 x 2 时,1.函数单调性的定义,2.单调函数的图象特征,1）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )，,则 f ( x ) 在G 上是增函数；,2）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )，,则 f ( x ) 在G 上是减函数；,若 f(x) 在G上是增函数或减函数，,增函数,减函数,则 f(x) 在G上具有严格的单调性。,G 称为单调区间,G = ( a , b ),一.知识回顾：,下图(1)表示高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变化的函数的图象， 图(2)表示高台跳水运动员的速度 v 随时间 t 变化的函数的图象. 运