转化与化归的数学思想

1、转化与化归的数学思想,重点：1、转化与化归的含义 2、转化与化归遵循的原则 3、转化与化归目标的确定 难点：如何正确运用转化与化归思想方法解题,转化与化归,引言： 数学思想方法是数学知识的精华，它产生并作用于数学学习过程中， 对于学习知识，发现和解决问题起指导 作用。(高考试题往往对条件或结论进行伪装 ),一、转化与化归思想的含义 化归指的是转化与归结简单的化归思想就是把不熟悉的问题转化成熟悉问题的数学思想即把数学中待解决或未解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换、转化，归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题上，最终解决原问题的这种解决问题的思想，称为化

2、归思想化归思想是解决数学问题的基本思想，解题的过程实际上就是转化的过程数学中的转化比比皆是，比如将未知向已知转化；复杂问题向简单问题转化；命题间的转化；数与形的转化；空间向平面的转化；高次向低次的转化；多元向少元的转化；无限向有限的转化等都是化归思想的体现,化归的五原则：(1)熟悉化原则; (2)简单化原则; (3)和谐化原则; (4)直观化原则; (5)正难则反原则,二、化归思想的解题途径,直线位置的特殊化， 使问题变得非常容易.体现出了特殊化的强大威力！类似还有特殊值、特殊数列、特殊函数、特殊图形等!,1、一般与特殊的转化,P,Q,F,x,y,o,还有其它特殊位置吗？,2.具体与抽象的转化

3、. 把抽象问题具体化是在数学解题中常有的化归途径,它是对抽象问题的理解和再认识,在抽象语言与具体事物间建立联系,从而实现抽象向具体的化归.,设函数 的定义域为D，若所有点 构成一个正方形区域，则a的值为 A-2 B-4 C-8 D不能确定,动手就是希望！,解：如果在-1，1内没有值满足f(c) 0,p-3或p3/2,取补集为-3p3/2,即为满足条件的p的取值范围。,3.正面与反面的转化 在处理某一问题时，按习惯思维从正面思考比较困难，这时用逆向思维的方式从反面去考虑，往往使问题变得比较简单。,正难则反,4运动与静止的转化 运动是绝对的，静止是相对的。数学中特别是在解析几何中运动变化很明显的普

4、遍存在着，只有有效的相对静止，才能把握这种运动变化。,解：设双曲线的两个焦点分别是 F1（5，0）与F2（5，0），则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大，此时 |PM|PN|（|PF1|2）（|PF2|1）1019 故选D 。,5数与形的转化 数形结合就是根据问题的条件和结论内在联系分析其代数含义，揭示其几何直观，使数量关系与空间形式和谐的结合起来。华罗庚先生曾指出：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事非”。,（1）、几何问题代数化 立体几何中用向量法求角求距离等 （ 2 ）代数问题几何化,3x-4y+1=0,

5、例6.若不等式x2px4xp3对一切0p4均成立，试求实数x的取值范围.,解析 x2px4xp3 (x1)px24x30 令g(p)=(x1)px24x3， 则要使它对0p4均有g(p)0，只要有 x3或x1.,点评在有几个变量的问题中，常常有一个变元处于主要地位，我们称之为主元，由于思维定势的影响，在解决这类问题时，我们总是紧紧抓住主元不放，这在很多情况下是正确的.但在某些特定条件下，此路往往不通，这时若能变更主元，转移变元在问题中的地位，就能使问题迎刃而解.本题中，若视x为主元来处理，既繁且易出错，实行主元的转化，使问题变成关于p的一次不等式，使问题实现了从高维向低维转化，解题简单易行.,

6、6.主与次的转化,题目改成什么样的时候又不能用上述方法呢？,若不等式x2px4xp3对一切0 x4均成立，试求实数p的取值范围.,7、多元向少元转化,还有其它多元向少元转化的方法吗？,看到此题我们会想要是已知条件是两个变量该多好啊！既然有这个天真的想法如何去把它变为现实呢？！,A,x+y=3,x+y=1,y=5x2-1,y=3x2-1,B,C,D,目标函数又可转化为 利用图像知在点A 处有最小值答案是A,8.其它形式的转化,再见！,匈牙利著名数学家罗莎彼得在他的名著无穷的玩艺中，通过一个十分生动而有趣的笑话，来说明数学家是如何用化归的思想方法来解题的。有人提出了这样一个问题：“假设在你面前有煤气灶，水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？”对此，某人回答说：“在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放在煤气灶上。”提问者肯定了这一回答，但是，他又追问道：“如果其他的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够的水，那么你又应该怎样去做？”这时被提问者