平面向量的夹角及坐标表示和运算

1、2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示和运算,湖南师大附中 张汝波,一般地,实数 与向量 的积是一个向量,记作:,(1) (2)当 时, 的方向与 的方向相同; 当 时, 的方向与 的方向相同; (3)当 时,或 时,复习提问,一、数乘的定义：,它的长度和方向规定如下:,二、数乘的运算律：,1.定理: 向量 与非零向量 共线的等价条件是有且只有一个实数 ,使得.,三、共线向量基本定理：,2).证明三点共线:,3. 定理的应用：,1).证明向量共线,3).证明两直线平行:,2. 定理的推论：,四.平面向量基本定理:,如果 是同一平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实

2、数 ， 使,说明：基底不唯一，且基底是不共线的两个向量。,定理的推论：,新授：1.向量的夹角：,已知两个非零向量a和b如图， 则AOB= （0180） 叫做向量的夹角,共起点,A,B,C,思考:正ABC中,向量 AB与BC的夹角为几度?,D,2.向量的正交分解,在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底时,会为我们研究问题带来方便.,3.平面向量的坐标表示,平面内的任一向量 , 有且只有一对实数x,y,使 成立,则称(x，y)是向量 的坐标,如图,在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴正方向同向的两个单位向量 作基底.,记作：,(1) 与 相等的向量的坐标均为(x, y),注意：,(4)如图以原

3、点O为起点作 ,点A的位置被 唯一确定.,此时点A的坐标即为 的坐标,（5）区别点的坐标和向量坐标,相等向量的坐标是相同的,但起点、终点的坐标可以不同,（1）与 相等的向量的坐标均为（x,y),注意：,（3）两个向量 相等的充要条件：,(6),3.平面向量的坐标表示,例1.如图,用基底 ， 分别表示向量 并求它们的坐标,解：由图可知,同理，,A1,A,A2,3.平面向量的坐标表示,随堂练习,坐标是 .,(2,3),x= ,y= .,标,坐标为 .,(-2-x,1-y),3 1,B,的坐标为,(m-i,n-j),问题探究：,1、根据平面向量的坐标表示及向量的运算，你能完成下面的问题吗？,(1)你

4、能用 表示 吗？,（2）,一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段 的终点的坐标减去始点的坐标,2.已知,问题探究：,同理可得：,两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差,4.平面向量的坐标运算,实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标,3.平面向量的坐标运算,例题讲解,如图,已知A(x1,y1),B(x2,y2),求 坐标.,一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标,的坐标.,例题讲解,例题讲解,解法1：设顶点D的坐标为（x，y）,已知ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为(2,1)、(1,3)、(3,4),求顶点D的坐标,A,B,C,D,解法2:,由向量加法的平行四边形法则可知,课堂练习：,( 2 , 4 ),（-3，9）,（-5，5）,课堂练习：,课堂练习：,(1)两向量和的坐标等