惟一确定分式线性映射的条件

1、惟一决定分式线性映射的条件,含有a, b, c, d 四个常数，其中有三个是独立的常数,因此, 给定三个条件就能惟一确定分式线性映射.,(1) 分式线性映射的确定,分式线性映射,设 是扩充z平面上三个互不相同的点，,是扩充w平面上三个互不相同的点, 则,存在惟一的一个分式线性映射, 将点 依次,映射成,事实上, 如果 和 都是有限,点, 设,将 依次映射成 则,于是,从中可惟一地解出w, 得到分式线性映射.,如果 和 中含有无穷远点,把无穷远点用模充分大的有限数代替, 得出形如,的分式线性映射, 然后让该点趋于无穷远点, 即得,要证明的结论.,例如, 若z3= , 则用 代替 z3, 得到分式

2、线性,映射，,令 则 于是,如 则 理解为1.,如 则 理解为1.,问题 圆域内部被映射成什么区域?,(2) 分式线性映射对圆域的映射,结论: 在分式线性映射下, C 的内部不是映射,成像G的内部就是映射成像G的外部. 如果C或G中,有直线, 则按直线的某一侧来理解.,方法1 在圆周C内任取一点z0, 如果z0的像w0在,G内部, 则C 的内部映射,成G的内部;,如果z0的像,w0在G外部, 则C 的内部,映射G的外部.,.,.,.,.,.,.,方法2 在C 上取三个点 如果环绕方,向 与它们的像 在 G上的环绕,方向 相同, 则C的内部映射成G的内部;,如果环绕方向相反, 则C的内部映射成G

3、的外部.,.,.,.,.,.,.,.,分式线性映射的典型例子,例1求把上半平面 映射成上半平面,的分式线性映射.,解 在x轴上取三点 使得,它们依次对应于u轴上三点,.,.,.,于是所求的分式线性映射为,化简可得,注 如果选取其他三对不同点, 也能求出满足要,求, 但形式不同的的分式线性映射.,并且 与 的环绕方向相同.,w=az+b(a0, b为实数), 即相似和平移映射也满,足要求. 但它们是平凡的, 没有实际意义.,.,.,.,.,.,.,例2求把上半平面 映射成单位圆,内部 的分式线性映射.,解 在 x 轴上取三点 使得,它们依次对应于 u 轴上三点,(方法一),于是所求的分式线性映射

4、为,化简可得,并且 与 的环绕方向相同.,注 同样, 如果选取其他三对不同点, 也能求出,满足要求, 但形式不同的的分式线性映射.,方法二,解 实轴映射成单位圆周. 设上半平面中的点,.,.,.,a 关于实轴的对称点 映射成w=0关于 的对,称点z=.,z=a 映射成圆心w=0, 由保对称性和 ,上半平面映为单位圆内部的分式线性映射一般形式,说明,则所求映射为 其中k是待定常数. 由,于 映射成 上的点, 所以,设 (q 为实数), 则,取 时,取 时,(与方法一相同),例3 求把上半平面 映射成圆域内部,的分式线性映射, 使,解由例2中的解法二可知，映射,把上半平面 映射成单位圆内部,再作相

5、似映射与平移映射，得,(q 为实数),这样, 映射成 且,因为,再由已知条件 可见 即,所以要求的分式线性映射是,.,.,.,例4求把单位圆内部 映射成单位圆内,部 的分式线性映射.,解 在 内取一点z1=a 0, 设z1的像为w1=0.,因为z1=a 关于圆周 的对称点是,而条件,要求分式线性映射把 映射成 所以根据,分式线性映射的保对称性, 映射成w1=0关于,的对称点,这样的分式线性映射为,其中 是复常数.,容易验证, 当 时,因为 映射成 所以当 时,设 (q 为实数) , 则所求的分式线性映射为,(q 为实数).,注 旋转映射 (q 为实数)也满足要求. 但,它是平凡的, 没有实际意义.,例5 求一个分式线性映射, 把由两圆周,所围成的偏心圆环域D映射成中心在w=0的同心圆,环域G, 且使其外半径为1.,解 设所求分式线性映射把z平面内两点z1和z2,分别映射成w平面内的w1=0和w2=. 由于w1和w2同,同时关于同心圆环域 G 的两个边界圆周对称, 由分,式线性映射的保对称性, z1和 z2 应同时关于圆周C1,和C2对称. 因此, z1和 z2 应在 C1和 C2的圆心连线上，,即在实轴上, 设 根据对称性,解方程得 (或 ).,下面只