[考研数学]北京航天航空大学线性代数 1-1.ppt

1、第一章 n阶行列式,解n元一次方程组,常用的方法是消元法，通过消元得到axi=b，进而解出xi. 当然a, b都是由方程组中的系数确定的. 经过长期的实践，数学家们建立了行列式理论.,1 预备知识,一 二阶、三阶行列式,设下列方程组有解,用消元法解得,定义,称为二阶行列式.,同样,也是二阶行列式.,同样用消元法解三元方程组,得(a11a22a33+a12a23a31+a13a21a31a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32)x1 =b1a22a33+a12a23b3+a13b2a32 a13a22b3 a12b2a33 b1a23a32,将x1前的系数定义为,三阶行列式.,

2、考察二阶、三阶行列式的特点： 二阶、三阶行列式的每一项都是取自不同行不同列的元素的乘积. 二阶行列式有2!项，三阶行列式有3!项. 各项前的符号可能与每一元素所处的位置有关.,二 排列及其逆序数,定义 由1，2，n共n个数码组成的一个有序数组称为一个n阶排列。,例如1, 2, 3, 4可组成24=4!个不同的4阶排列.1, 2, , n可组成n!个不同的n阶排列.,对4阶排列1234及1324，1234为自然顺序，称为标准排列. 1324中3在2之前，称这两个数字构成一个逆序.,在一个排列 中，若数 则称这两个数组成一个逆序.,例如 排列32514 中，,定义,排列的逆序数,3 2 5 1 4

3、,定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列 的逆序数.,例如 排列32514 中，,3 2 5 1 4,逆序数为3,1,故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.,计算排列逆序数的方法,方法1,分别计算出排在 前面比它大的数 码之和即分别算出 这 个元素 的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求 排列的逆序数.,逆序数为奇数的排列称为奇排列;,逆序数为偶数的排列称为偶排列.,排列的奇偶性,分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码 个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数， 这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆 序数.,方法2,例1 求排列32514的逆序数.,解,在排列32514中,3排在首

4、位,逆序数为0;,2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;,3 2 5 1 4,于是排列32514的逆序数为,5的前面没有比5大的数,其逆序数为0;,1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3;,4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;,这是一个奇排列.,解,当 时为偶排列；,当 时为奇排列.,定义,把一个排列中某两个数字位置互换，而其余的数字位置保持不变，就构成了一个新的排列。我们把对排列所施行的这种变换称为排列的一个对换。,例如,53412经过15对换得到13452，这时有 (53412)=3+3+1+1=8, (13452)=3. 排列的奇偶性发生了变化.,定理1.1一次对换改变排列奇偶性,证明,设排列为,除 外，其它元素的逆序数不改变.,当 时，,经对换后 的逆序数不变 ， 的逆序数减少1.,因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.,设排列为,当 时，,现来对换 与,所以一次对换改变排列奇偶性.,注：n2时，n个数码构成的奇排列与偶排列个数相等，各为n!/2个.,重新考察二阶、三阶行列式每项的符号，可以得到以下规律：当行序取成标准排列，由列序排列的奇偶性决定每项前的正负号.,二阶：a11a22, (12)=0, 偶排列，正号； a12a21, (21)=1, 奇排列，负号. 三阶：正号三