某些预备知识

1、第四章 利率期货,利率期货合约是标的资产价格仅依赖于利率水平的期货合约。,对冲某公司的利率风险暴露比对冲诸如铜价之类的风险暴露更复 杂。这是因为为了完全描述利率水平，需要整个利率的期限结构， 而铜价可以由单一数字来描述。,希望对冲利率风险暴露的公司必须确定它所要求对冲的期限，同 时还必须确定它暴露于利率风险的期限。然后它还必须寻找合适的 利率期货合约以获得相应的对冲。,1 某些预备知识,一、即期和远期利率,n年期即期利率是从今天开始计算并持续n年期限的投资的利率。 因此，3年期即期利率是投资持续3年的利率，5年期即期利率是投 资持续5年的利率等等。考虑的投资应该是 中间没有支付的“纯粹” 的n

2、年投资。这意味着所有的利息和本金在n年末支付给投资者。,n年即期利率也指的是n年期零息票收益率 （n-year zero coupon yield）。由定义可知，该收益率正好是不付息票债券的收 益率。,远期利率是由当前即期利率隐含的将来时刻的一定期限的利率。,表4.1远期利率的计算,计算方式如下：我们假设即期利率如表4.1的第二列所示。这些即 期利率以连续复利计息。因此，一年期10年利率意味着今天投资 $100，一年后投资者收到100exp0.10=$110.52；二年期10.5年 利率意味着今天投资$l00，二年后投资者收到100exp0.1052 = $123.17 ；依此类推。,表4.1

3、中第二年的远期利率是年利率11。这是一个即期利率隐 含的第一年末至第二年末之间期限的利率。它可以通过一年期10 年即期利率和二年期10.5年即期利率计算出来。正是这个第二年 的利率，与第一年10利率组合在一起，得到整个二年期间 10.5 的年利率。,为证明正确答案是11，假设投资$100，则第一年10利率和 第二年11利率在第二年末收益为： 100exp0.10exp0.11 = $123.37 二年期10.5年利率投资的收益为： 100exp0.1052 这个结果也是$123.37。,这个例子说明了一个一般的结论：即当这些利率是连续复利，并 且将相互衔接时期的利率组合在一起时，整个期间的等价

4、利率是这 些利率的简单算术平均（10.5是10和11的平均值）。当这些 利率不是连续复利时，这个结果近似成立。,第三年的远期利率是二年期 10.5年即期利率与三年期10.8年 即期利率隐含的利率，计算的结果是11.4年利率。,其它的远期利率可用类似的方法计算，列在表4.1中的第三列。 一般来说，如果r是T年期的即期利率，r*是T*年期的即期利率，且 T*T，T* -T期间的远期利率如下：,为说明这个公式，我们从表4.1中数据计算第四年远期利率。 T=3，T* =4，r=0.108，且r* =0.11，公式给出,二、 零息票收益率曲线,零息票收益率曲线 （zerocoupon yield cur

5、ve）是表示即期利 率（即零息票收益率）与到期日之间关系的曲线。,图4.1表示了表4.1中数据的零息票收益率曲线。,图4.1表4.1中数据的零息票收益率曲线,区分零息票收益率曲线与附息票债券收益率曲线是很重要的。在 图4.1所示的情况下，收益率曲线是向上倾斜的，零息票收益率曲线 总是在附息票债券收益率的上面。这是因为如下的情况影响了附息 票债券收益率：在债券到期前，投资者获得一些利息收入，对应于 这些利息收入的相应贴现率低于最后支付日期相应的贴现率。,分析家有时也考虑远期利率与远期合约期限之间的关系曲线。因 此远期利率的期限可以是3个月期、6个月期或其它任何便利的时间 期限。式（4.1）可重写

6、为：,这表明，如果收益率曲线是向上倾斜，r * r,于是,所以远期利率高于零息票收益率。,取T* 趋近于T的极限（所以r * 趋近于r），我们看到在T时刻开始 的一个相当短期间的远期利率是：,这就是所谓的时刻T的瞬态远期利率（instantaneous forward rate）。,图4.2是当收益率曲线向上倾斜时的零息票收益率曲线、附息票债 券的收益率曲线和远期利率曲线。,图4.2当收益率曲线是向上倾斜时的情况,图4.3当收益率曲线是向下倾斜时的情况,三、零息票收益率曲线的确定,实际中，即期利率（或零息票收益率）并不总是能够直接观察到 的。能够观察到的只是附息票债券的价格。因此，一个重要的问

7、题 是如何从附息票债券的价格得出零息票收益率曲线。,一个通常的方法就是所谓的息票剥率（bootstrap）方法。为说明 这个方法，考虑表4.2中6个债券价格的数据。,表4.2息票剥率方法的数据,*注：假设每6个月支付所列息票数额的一半,由于前3个债券不付息票，对应这些债券期限的连续复利的即期 利率可以容易地计算出来。第一个债券3个月期限，价格97.5，其 收益为2.5。连续复利的3个月期利率是：,或每年10.12%。类似地，6个月期是：,或每年10.47%。1年期是：,或每年10.54%。,第四个债券期限1.5年。按如下方式支付： 6个月期后 $4 1年期后 $4 1.5年后 $104,从前面

8、的计算中，我们知道在6个月末支付所用的贴现率是 10.47%，在1年末支付所用的贴现率是10.54。我们也知道债券 的价格$96必须等于债券持有人收到的所有收人的现值。设R表示 1.5年期的即期利率，因此：,4exp-0.10470.5+4exp-0.1054+104exp-1.5R=96 化简为： Exp-1.5R = 0.85196 或,因此，1.5年期的即期利率是10.68%。这是唯一的与6个月期、 1年期即期利率及表4.2中数据一致的即期利率。,运用6个月期、1年期、1.5年期即期利率和表4.2中第五个债券的 信息，可以计算出2年期的即期利率。如果R表示2年期的的即期利 率： 6exp

9、-0.10470.5+6exp-0.10541.0+6exp-0.10681.5 +106exp-2R=101.6 从以上可得出R=0.1081，或10.81%。,至今，我们已经求出5个对应不同期限的零息票收益率曲线上的 点。利用线性插值可以得到对应其它中间期限的点。第六个债券的 现金流如下： 3个月期后 $5 9个月期后 $5 1.25年后 $5 1.75年后 $5 2.25年后 $5 2.75年后 $105,对应于第一个现金流的贴现率已经求出为 10.12。,利用线性插值方法，求出以下三个现金流的贴现率分别为 10.505，10.61和10.745。 因此前四个现金流的现值为： 5exp-

10、0.10120.25+5exp-0.105050.75 +5exp-0.10611.25+5exp-0.107451.75 =18.018 最后两个现金流的现值为： 99.8-18.018=81.782,设2.75年期的即期利率为R，利用线性插值，2.25年期即期利率 为：,因此，R的方程为： 5exp-2.25（0.0721+R/3）+105exp-2.75R=81.782,利用试错法或诸如牛顿法的数值方法解以上方程，得出 R=0.1087。2.75年期的即期利率为10.87。,从表4.2中六个债券价格中可以描出图4.4中的零息票收益率曲 线。如果给出更长期限债券，可获得更完整的期限结构。,

11、图4.4表4.2中数据的零息票收益率曲线,四、期限结构理论,利率的期限结构是指不存在违约风险而不同期限的零息债券到期 收益率之间的关系。零息债券到期收益率也被称为即期利率。而由 各种不同期限零息债券到期收益率所构成的曲线为到期收益率曲线。,传统利率期限结构有三种不同的理论：预期理论、风险溢价理 论、市场分割理论，以及对市场分割理论的补充流动性偏好理 论。,（一）预期理论（ex-pectations theory）,该理论认为对应某一确定时期的远期利率应该等于预期的未来的 那个期限的即期利率。也就是：长期证券到期收益率等于现行短期 利率（spot interest rate）和未来预期短期利率的

12、几何平均。,预期理论有以下假设： （1）市场上的各种证券没有违约风险； （2）全部投资者都是风险中心者，服从于利润最大化原则； （3）证券买卖没有交易成本； （4）投资者都能准确预测未来的利率； （5）投资者对证券不存在期限偏好。,于是：,分别为期限为n年的证券的收益率、当期短期利率 （如1年或半年的利率）、第2期的单期预期利率以及第n期的单期 预期利率。,当n=2时,则,当n=3时,当期限为n时,也就是说，只要知道相邻两期零息债券的到期收益率，就可以计 算出单期远期利率。即投资者如果知道各种期限的收益率，他就可 以知道未来短期利率的预测值。,如果R2R1，也就是说收益率曲线下降，那么短期预测

13、利率也下 降，即,事实上,由于R2R1，所以,从而,即,一般情况下,两式相除得,如果收益率曲线向右上方倾斜，即,则,从而,到期收益率曲线向右上方倾斜，预期短期利率上升，不要理解为 未来预期短期利率不断提高。预期短期利率有时会低于前一期的短 期利率。,在经济运行中，人们经常观察到在经济扩张一开始，到期收益率 曲线斜率趋于增大，而在经济扩张的末尾到期收益率曲线斜率趋于 减小。 在实证研究中，人们也往往利用长短期利率的差别来解释或者预 测未来的经济增长。,（二）风险溢价理论,由于不同期限证券的利率风险是不同的，投资者也不完全是风险 中立者，有些是风险规避者，而有些则是风险偏好者，投资者为了 降低利率

14、风险，往往会舍弃预期收益。,在这种情况下，收益率曲线会反应如下内容：第一，投资者对未 来短期利率的预期；第二，对利率风险低的债券的需求较大；第 三，债券发行者为了节省兑现债券的麻烦而愿意增加长期债券的发 行，即长期债券的供给较大，价格低，收益率高。,因此，从风险的角度考虑，短期债券的利率风险较低，长期债券 的利率风险较高，为鼓励投资者购买长期债券，必须给投资者以贴 水，这实际上是风险溢价，属于流动性和再投资收益率双重风险的 溢价。,（三）市场分割理论（market segmentation theory）,市场分割理论又被称为期限偏好理论，是莫迪利安尼（Modiglia ni）和萨奇（Sutc

15、h）于1966年提出的。该理论认为短期、中期和 长期利率之间没有什么关系。不同的机构投资于不同期限的债券， 并不转换期限。短期利率由短期债券市场的供求关系来决定，中期 利率由中期债券市场的供求关系来决定，等等。,（四）流动性偏好理论（liquidity preference theory）,比较令人感兴趣的另一个理论是所渭的流动性偏好理论（liquidity preference theory），它是市场分割理论的补充。该理论认为远期 利率应该总是高于预期的未来的即期利率。,这个理论的基本假设是投资者愿意保持流动性并投资于较短的期 限。而另一方面，长期借款的借款者通常愿意用固定利率。,如果银行

16、和其它金融中介提供的利率使得远期利率等于预期未来 即期利率，长期利率应该等于预期未来短期利率的平均值。在没有 其它选择的情况下，投资者将倾向于存短期资金，借款者将倾向于 借长期资金。,于是金融中介发现他们需用短期存款来为长期固定利率贷款融资。 这将包含额外的利率风险。,实际上，为了使存款者和借款者匹配，避免利率风险，金融中介 将提高长期利率超过预期未来的即期利率。这将减少长期固定利率 借款的需求，鼓励投资者存更长期限的资金。,流动性偏好理论使得长期利率大于预期的未来的短期利率。经验 检验结果说明收益率曲线向上倾斜的状况比向下倾斜的状况要多， 流动性偏好理论与以上结果相一致。,附注：线性插值法,

17、许多实际问题都用函数y=f(x)来表示某种内在规律的数量关系， 其中相当一部分函数是通过实验或观测得到的。虽然f（x）在a,b 上是存在的，有的还是连续的，但只能给出a,b上的一系列点xi的 函数值yi=f(xi)(i=0,1,n)，这只是一张函数表，有的函数虽然有 解析表达式，但由于计算复杂，使用不方便，通常造一个函数表， 如大家熟悉的三角函数表、对数表等。为了研究函数的变化规律， 往往需要求出不在表上的函数值。因此，我们希望可以根据给定的 函数表做一个既能反映函数f(x)的特性，又便于计算的简单函数P(x) 用P(x)近似f(X)。通常选一类简单的函数作为P(x)，并使P(xi)=f(xi

18、) 对i=1,2,n成立。这样确定下来的P(x)就是我们希望的插值函数， 此即为插值法。,一、插值法,二、线性插值法,线性插值是数学、计算机图形学等领域广泛使用的一种简单插值 方法。,三、如何进行线性插值,假设我们已知坐标(x0,y0)与(x1,y1),要得到x0,x1区间内某一位置 x在直线上的y值根据图中所示，我们得到 （y-y0）(x1-x0)=(y1-y0)(x-x0),假设方程两边的值为，那么这个值就是插值系数从x0到x的距 离与从x0到x1距离的比值。由于x值已知，所以可以从公式得到 的值 =(x-x0)/(x1-x0) 同样， =(y-y0)/(y1-y0),这样，在代数上就可以表示成为： y = (1- )y0 + y1 或者， y = y0 + (y1 - y0) 这样通过就可以直接得到 y。,实际上，即使x不在x0到x1之间并且也不是介于0到1之间，这 个公式也是成立的。在这种情况下，这种方法叫作线性外插参 见外插